《双曲线》典型例题12例(含标准答案).docx
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《双曲线》典型例题
《双曲线》典型例题12例
典型例题一
例1 讨论表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征.
分析:
由于,,则的取值范围为,,,分别进行讨论.
解:
(1)当时,,,所给方程表示椭圆,此时,,,这些椭圆有共同的焦点(-4,0),(4,0).
(2)当时,,,所给方程表示双曲线,此时,,,,这些双曲线也有共同的焦点(-4,0),)(4,0).
(3),,时,所给方程没有轨迹.
说明:
将具有共同焦点的一系列圆锥曲线,称为同焦点圆锥曲线系,不妨取一些值,画出其图形,体会一下几何图形所带给人们的美感.
典型例题二
例2 根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)过点,且焦点在坐标轴上.
(2),经过点(-5,2),焦点在轴上.
(3)与双曲线有相同焦点,且经过点
解:
(1)设双曲线方程为
∵、两点在双曲线上,
∴解得
∴所求双曲线方程为
说明:
采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论,得“巧求”的目的.
(2)∵焦点在轴上,,
∴设所求双曲线方程为:
(其中)
∵双曲线经过点(-5,2),∴
∴或(舍去)
∴所求双曲线方程是
说明:
以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.
(3)设所求双曲线方程为:
∵双曲线过点,∴
∴或(舍)
∴所求双曲线方程为
说明:
(1)注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后,便有了以上巧妙的设法.
(2)寻找一种简捷的方法,须有牢固的基础和一定的变通能力,这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面.
典型例题三
例3已知双曲线的右焦点分别为、,点在双曲线上的左支上且,求的大小.
分析:
一般地,求一个角的大小,通常要解这个角所在的三角形.
解:
∵点在双曲线的左支上
∴
∴
∴
∵
∴
说明:
(1)巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中,使问题得以简单化.
(2)题目的“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键,应引起我们的重视,若将这一条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢?
请读者试探索.
典型例题四
例4已知、是双曲线的两个焦点,点在双曲线上且满足,求的面积.
分析:
利用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积.
解:
∵为双曲线上的一个点且、为焦点.
∴,
∵
∴在中,
∵
∴
∴
∴
说明:
双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用.
典型例题五
例5 已知两点、,求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹.
分析:
问题的条件符合双曲线的定义,可利用双曲线定义直接求出动点轨迹.
解:
根据双曲线定义,可知所求点的轨迹是双曲线.
∵,
∴
∴所求方程为动点的轨迹方程,且轨迹是双曲线.
说明:
(1)若清楚了轨迹类型,则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算.
(2)如遇到动点到两个定点距离之差的问题,一般可采用定义去解.
典型例题六
例6 在中,,且,求点的轨迹.
分析:
要求点的轨迹,需借助其轨迹方程,这就要涉及建立坐标系问题,如何建系呢?
解:
以所在直线为轴,线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系,则,.
设,由及正弦定理可得:
∵
∴点在以、为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为:
∴,
∴,
∴
∴所求双曲线方程为
∵
∴
∴点的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分
典型例题七
例7 求下列动圆圆心的轨迹方程:
(1)与⊙内切,且过点
(2)与⊙和⊙都外切.
(3)与⊙外切,且与⊙内切.
分析:
这是圆与圆相切的问题,解题时要抓住关键点,即圆心与切点和关键线段,即半径与圆心距离.如果相切的⊙、⊙的半径为、且,则当它们外切时,;当它们内切时,.解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程.
解:
设动圆的半径为
(1)∵⊙与⊙内切,点在⊙外
∴,,
∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支,且有:
,,
∴双曲线方程为
(2)∵⊙与⊙、⊙都外切
∴,,
∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支,且有:
,,
∴所求的双曲线的方程为:
(3)∵⊙与⊙外切,且与⊙内切
∴,,
∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支,且有:
,,
∴所求双曲线方程为:
说明:
(1)“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法.
(2)巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小,提高了解题的速度与质量.
(3)通过以上题目的分析,我们体会到了,灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标.
典型例题八
例8 在周长为48的直角三角形中,,,求以、为焦点,且过点的双曲线方程.
分析:
首先应建立适当的坐标系.由于、为焦点,所以如图建立直角坐标系,可知双曲线方程为标准方程.由双曲线定义可知,,所以利用条件确定的边长是关键.
解:
∵的周长为48,且,
∴设,,则.
由,得.
∴,,.
以所在直线为轴,以∴的中点为原点建立直角坐标系,设所求双曲线方程为.
由,得,,.
由,得,.
由,得所求双曲线方程为.
说明:
坐标系的选取不同,则又曲线的方程不同,但双曲线的形状不会变.解题中,注意合理选取坐标系,这样能使求曲线的方程更简捷.
典型例题九
例9 是双曲线上一点,、是双曲线的两个焦点,且,求的值.
分析:
利用双曲线的定义求解.
解:
在双曲线中,,,故.
由是双曲线上一点,得.
∴或.
又,得.
说明:
本题容易忽视这一条件,而得出错误的结论或.
典型例题十
例10 若椭圆和双曲线有相同的焦点和,而是这两条曲线的一个交点,则的值是( ).
A. B. C. D.
分析:
椭圆和双曲线有共同焦点,在椭圆上又在双曲线上,可根据定义得到和的关系式,再变形得结果.
解:
因为在椭圆上,所以.
又在双曲线上,所以.
两式平方相减,得,故.选(A).
说明:
(1)本题的方法是根据定义找与的关系.
(2)注意方程的形式,,是,,是.
典型例题十一
例11若一个动点到两个定点、的距离之差的绝对值为定值,讨论点的轨迹.
分析:
本题的关键在于讨论.因,讨论的依据是以0和2为分界点,应讨论以下四种情况:
,,,.
解:
.
(1)当时,轨迹是线段的垂直平分线,即轴,方程为.
(2)当时,轨迹是以、为焦点的双曲线,其方程为.
(3)当时,轨迹是两条射线或.
(4)当时无轨迹.
说明:
(1)本题容易出现的失误是对参变量的取值范围划分不准确,而造成讨论不全面.
(2)轨迹和轨迹方程是不同的,轨迹是图形,因此应指出所求轨迹是何种曲线.
典型例题十二
例12 如图,圆与轴的两个交点分别为、,以、为焦点,坐标轴为对称轴的双曲线与圆在轴左方的交点分别为、,当梯形的周长最大时,求此双曲线的方程.
分析:
求双曲线的方程,即需确定、的值,而,又,所以只需确定其中的一个量.由双曲线定义,又为直角三角形,故只需在梯形的周长最大时,确定的值即可.
解:
设双曲线的方程为(),(,),().
连结,则.
作于,则有.
∴,即.
∴梯形的周长
即.
当时,最大.
此时,,.
又在双曲线的上支上,且、分别为上、下两焦点,
∴,即.
∴,即.
∴.
∴所求双曲线方程为.
说明:
解答本题易忽视的取值范围,应引起注意.
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