用判别式法求函数值域的几点思考.pdf

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用判别式法求函数值域的几点思考邱旭（成都市第十八中学,四川610072）形如y=ax2+bx+cdx2+ex+f（其中a2+d20）的有理分式函数一般可转化为关于x的一元二次方程（dy-a）x2+（ey-b）x+（fy-c）=0（以下简称方程,其中将y看作方程的系数）,由方程有实根的条件0来求函数值域的方法叫做“判别式法”.在运用此法的过程中若稍有疏忽便会导致函数值域的不完备或不纯粹.例1求函数y=x2-xx2-x+1的值域.解函数式变形为（y-1）x2+（1-y）x+y=0

（1）当y=1时,方程

（1）为1=0,这显然不成立,因此y=1不在函数值域中:

当y1时,xR,=（1-y）2-4y（y-1）0,解得-13y0或y-89,函数值域为（-,-89（0,+）.思考3为什么函数定义域不为R时仍可使用0求解呢?

一般地,分式函数y=ax2+bx+cdx2+ex+f（其中a2+d20）转化为方程y（dx2+ex+f）=ax2+bx+c（再恒等变形得到方程）,若存在0时的y值所对应的x值使分母dx2+ex+f=0,则由于等式成立,必有分子ax2+bx+c=0,于是分子、分母有公因式.因此,当分子、分母无公因式时,使方程成立的x值不可能使分式函数的分母等于零,从而仍然可用0求y的范围.也就是说,象这类自然定义域（使函数解析式有意义的x的取值集合）的分式函数求值域,当分子、分母无公因式时判别式法仍然适用.例4求函数y=x2+x-2x2-3x+2的值域.解函数式变形为（y-1）x2-（3y+1）x+2y+2=0（4）当y=1时,方程（4）为-4x+4=0,解x=1不在函数定义域内,y=1不在函数值域中;当y1时,方程有实根,=（3y+1）2-4（y-1）（2y+2）0即（y+3）20,而该不等式恒成立.yR且y1.但当=0即y=-3时,方程（4）的解为x=1不在函数定义域内.函数值域为y|y1且y-3,yR.思考4为什么必须且只需检验=0时的y值呢?

当分式函数y=ax2+bx+cdx2+ex+f（其中a2+d20）分子、分母有公因式时,可先约去公因式后再来求值域,但必须在值域中去掉使公因式为零的x值所对应的y值.当分子、分母只有一个一次公因式时,分式函数可化成yd（x-x1）（x-x2）=a（x-x1）（x-x3）（其中x2x3）,再恒等变形为方程,判别式=0时,其唯一解便是x=x1,显然不符合题意,因而象这种情形须且只需检验=0时的y值是否在函数的值域内.（顺便提及,若有两个公因式,函数为常量函数,值域显然）例5求函数y=x2-x+3x（x0）的值域.解原函数可变形为x2-（y+1）x+3=0（5）令f（x）=x2-（y+1）x+3（x0）,注意到f（0）=30,所以方程（5）在x0时有解的条件为0,且y+120,解得y23-1.于是原函数值域为y|y23-1.思考5为什么这里不仅仅只用0来求函数值域?

当分式函数的定义域不为自然定义域时,尽管分子、分母无公因式,也不能仅用判别式来求值域,可考虑其他方法,如根据方程在自变量的限制条件下有实根的充要条件即一元二次方程的实根分布理论来解决.（收稿日期:

2001-04-16）52001年第20期数学通讯