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文科数学试题第1页（共21页）绝密启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试

（一）年广州市普通高中毕业班综合测试

（一）文科数学注意事项：

1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3回答第卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第卷一选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

（1）已知集合11Axx，220Bxxx，则AB【】（A）12xx（B）10xx（C）12xx（D）01xx

（2）已知复数3i1iz，其中i为虚数单位，则复数z所对应的点在【】（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知函数2,1,1,1,1xxxfxxx则2ff的值为【】（A）12（B）15（C）15（D）12（4）设P是ABC所在平面内的一点，且2CPPA，则PAB与PBC的面积之比是【】（A）13（B）12（C）23（D）34（5）如果函数cos4fxx0的相邻两个零点之间的距离为6，则的值为【】（A）3（B）6（C）12（D）24（6）执行如图所示的程序框图，如果输入3x，则输出k的值为【】（A）6（B）8（C）10（D）12开始0k23xx2kk结束输入x是否输出k100?

x文科数学试题第2页（共21页）（7）在平面区域,0112xyxy，内随机投入一点P，则点P的坐标,xy满足2yx的概率为【】（A）14（B）12（C）23（D）34（8）已知sin6fxx，若3sin52，则12f【】（A）7210（B）210（C）210（D）7210（9）如果1P，2P，nP是抛物线C：

24yx上的点，它们的横坐标依次为1x，2x，nx，F是抛物线C的焦点，若1210nxxx，则12nPFPFPF【】（A）10n（B）20n（C）210n（D）220n（10）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为【】（A）（B）2053（C）5（D）556（11）已知下列四个命题：

1p：

若直线l和平面内的无数条直线垂直，则l；2p：

若22xxfx，则xR，fxfx；3p：

若11fxxx，则00,x，01fx；4p：

在ABC中，若AB，则sinsinAB其中真命题的个数是【】（A）1（B）2（C）3（D）4（12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为【】（A）88246（B）88226（C）2226（D）126224文科数学试题第3页（共21页）第卷本卷包括必考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题第24题为选考题，考生根据要求做答二填空题：

本大题共4小题，每小题5分（13）函数33fxxx的极小值为（14）设实数x，y满足约束条件230,230,3xyxyx，则23zxy的取值范围是（15）已知双曲线C：

22221xyab0,0ab的左顶点为A，右焦点为F，点0,Bb，且0BABF，则双曲线C的离心率为（16）在ABC中，点D在边AB上，CDBC，53AC，5CD,2BDAD，则AD的长为三解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）已知数列na是等比数列，24a，32a是2a和4a的等差中项.（）求数列na的通项公式；（）设22log1nnba，求数列nnab的前n项和nT.文科数学试题第4页（共21页）（18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间55,65，65,75，75,85内的频率之比为4:

2:

1（）求这些产品质量指标值落在区间75,85内的频率；（）用分层抽样的方法在区间45,75内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间45,65内的概率（19）（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCDABCD的底面ABCD是菱形，ACBDO，1AO底面ABCD，21AAAB（）证明：

BD平面1ACO；（）若60BAD，求点C到平面1OBB的距离质量指标值0.0120.0040.0190.03015253545556575850频率组距ABCDO1A1B1C1D文科数学试题第5页（共21页）（20）（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为120F，点2B2,在椭圆C上，直线0ykxk与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N（）求椭圆C的方程；（）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（21）（本小题满分12分）已知函数eln1xfxmx.（）当1m时，求曲线yfx在点11f，处的切线方程；（）当1m时，证明：

1fx.文科数学试题第6页（共21页）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修41：

几何证明选讲如图所示，ABC内接于O，直线AD与O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DECA交BA的延长线于点E（）求证：

2DEAEBE；（）若直线EF与O相切于点F，且4EF，2EA，求线段AC的长（23）（本小题满分10分）选修44：

坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin2，0,2.（）求曲线C的直角坐标方程；（）在曲线C上求一点D，使它到直线l：

33,32xtyt（t为参数，tR）的距离最短，并求出点D的直角坐标.（24）（本小题满分10分）选修45：

不等式选讲设函数1fxxaxa（）当1a时，求不等式12fx的解集；（）若对任意0,1a，不等式fxb的解集为空集，求实数b的取值范围FCDOABE文科数学试题第7页（共21页）绝密启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试

（一）年广州市普通高中毕业班综合测试

（一）文科数学试题答案及评分参考评分说明:

1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题不给中间分一选择题

（1）D

（2）D（3）C（4）B（5）B（6）C（7）A（8）B（9）A（10）D（11）B（12）A二填空题（13）2（14）6,15（15）512（16）5三解答题（17）解）解：

（）设数列na的公比为q，因为24a，所以34aq，244aq1分因为32a是2a和4a的等差中项，所以32422aaa2分即224244qq，化简得220qq因为公比0q，所以2q4分所以222422nnnnaaq（*nN）5分（）因为2nna，所以22log121nnban所以212nnnabn7分则231123252232212nnnTnn，23412123252232212nnnTnn.9分文科数学试题第8页（共21页）得，2312222222212nnnTn10分11142221262321212nnnnn，所以16232nnTn12分（18）解解：

（）设区间75,85内的频率为x，则区间55,65，65,75内的频率分别为4x和2x1分依题意得0.0040.0120.0190.03010421xxx，3分解得0.05x所以区间75,85内的频率为0.054分（）由（）得，区间45,55，55,65，65,75内的频率依次为0.3，0.2，0.1用分层抽样的方法在区间45,75内抽取一个容量为6的样本，则在区间45,55内应抽取0.3630.30.20.1件，记为1A，2A，3A在区间55,65内应抽取0.2620.30.20.1件，记为1B，2B在区间65,75内应抽取0.1610.30.20.1件，记为C6分设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间45,65内”为事件M，则所有的基本事件有：

12,AA，13,AA，11,AB，12,AB，1,AC，23,AA，21,AB，22,AB，2,AC，31,AB，32,AB，3,AC，12,BB，1,BC，2,BC，共15种8分事件M包含的基本事件有：

12,AA，13,AA，11,AB，12,AB，23,AA，21,AB，22,AB，31,AB，32,AB，12,BB，共10种10分所以这2件产品都在区间45,65内的概率为10215312分（19）（）证明：

证明：

因为1AO平面ABCD，BD平面ABCD，文科数学试题第9页（共21页）所以1AOBD1分因为ABCD是菱形，所以COBD2分因为1AOCOO，1AO，CO平面1ACO，所以BD平面1ACO3分（）解法一：

解法一：

因为底面ABCD是菱形，ACBDO，21AAAB，60BAD，所以1OBOD，3OAOC4分所以OBC的面积为13132212OBCSOBOC5分因为1AO平面ABCD，AO平面ABCD，所以1AOAO，22111AOAAOA6分因为11AB平面ABCD，所以点1B到平面ABCD的距离等于点1A到平面ABCD的距离1AO7分由（）得，BD平面1AAC因为1AA平面1AAC，所以BD1AA因为11AABB，所以BD1BB8分所以1OBB的面积为111121212OBBSOBBB9分设点C到平面1OBB的距离为d，因为11COBBBOBCVV，所以111133OBBOBCSdSAODD=gg10分所以11313212OBCOBBSAOdS所以点C到平面1OBB的距离为3212分文科数学试题第10页（共21页）解法二：

解法二：

由（）知BD平面1ACO，因为BD平面11BBDD，所以平面1ACO平面11BBDD4分连接11AC与11BD交于点1O，连接1CO，1OO，因为11AACC，11/AACC，所以11CAAC为平行四边形又O，1O分别是AC，11AC的中点，所以11OAOC为平行四边形所以111OCOA6分因为平面11OAOC与平面11BBDD交线为1OO，过点C作1CHOO于H，则CH平面11BBDD8分因为11OCAO，1AO平面ABCD，所以1OC平面ABCD因为OC平面ABCD，所以1OCOC，即1OCO为直角三角形10分所以1113322OCOCCHOO所以点C到平面1OBB的距离为3212分（20）（）解法一：

解法一：

设椭圆C的方程为22221（0）xyabab，因为椭圆的左焦点为120F，所以224ab1分设椭圆的右焦点为220F，已知点22B,在椭圆C上，由椭圆的定义知122BFBFa，所以232242a2分所以22a，从而2b3分所以椭圆C的方程为22184xy4分ABCDO1A1B1C1DH1O文科数学试题第11页（共21页）解法二：

解法二：

设椭圆C的方程为22221（0）xyabab，因为椭圆的左焦点为120F，所以224ab1分因为点22B,在椭圆C上，所以22421ab2分由解得，22a，2b3分所以椭圆C的方程为22184xy4分（）解法一：

解法一：

因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为22,05分因为直线（0）ykxk与椭圆22184xy交于两点E，F，设点00,Exy（不妨设00x），则点00,Fxy联立方程组22,184ykxxy消去y得22812xk所以022212xk，022212kyk6分所以直线AE的方程为222112kyxk7分因为直线AE与y轴交于点M，令0x得222112kyk，即点2220,112kMk8分同理可得点2220,112kNk9分假设在x轴上存在点（,0）Pt，使得MPN为直角，则0MPNP10分即22222220112112kktkk，即240t11分解得2t或2t故存在点2,0P或2,0P，无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角文科数学试题第12页（共21页）12分解法二：

解法二：

因为椭圆C的左端点为A，则点A的坐标为22,05分因为直线（0）ykxk与椭圆22184xy交于两点E，F，设点00（,）Exy，则点00（,）Fxy所以直线AE的方程为002222yyxx6分因为直线AE与y轴交于点M，令0x得002222yyx，即点00220,22yMx7分同理可得点00220,22yNx8分假设在x轴上存在点,0Pt，使得MPN为直角，则0MPNP即20000222202222yytxx，即22020808ytx（）9分因为点00（,）Exy在椭圆C上，所以2200184xy，即220082xy10分将220082xy代入（）得240t11分解得2t或2t故存在点2,0P或2,0P，无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角12分解法三：

解法三：

因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为22,05分因为直线（0）ykxk与椭圆22184xy交于两点E，F，设点22cos,2sinE（0），则点22cos,2sinF6分所以直线AE的方程为2sin2222cos22yx7分因为直线AE与y轴交于点M，文科数学试题第13页（共21页）令0x得2sincos1y，即点2sin0,cos1M8分同理可得点2sin0,cos1N9分假设在x轴上存在点（,0）Pt，使得MPN为直角，则0MPNP10分即22sin2sin0cos1cos1t，即240t11分解得2t或2t故存在点2,0P或2,0P，无论非零实数k怎样变化，总有MPN为直角12分（21）（）解：

解：

当1m时，（）eln1xfxx，所以1（）exfxx1分所以

（1）e1f，

（1）e1f.2分所以曲线（）yfx在点11f，处的切线方程为（e1）（e1）

（1）yx即e1yx.3分（）证法一：

证法一：

当1m时，（）eln1eln1xxfxmxx.要证明（）1fx，只需证明eln20xx.4分以下给出三种思路证明以下给出三种思路证明eln20xx.思路思路1：

设（）eln2xgxx，则1（）exgxx.设1（）exhxx，则21（）e0xhxx，所以函数（）hx1（）exgxx在0+（，）上单调递增6分因为121e202g，

（1）e10g，所以函数1（）exgxx在0+（，）上有唯一零点0x，且01,12x.8分文科数学试题第14页（共21页）因为0（）0gx时，所以001exx，即00lnxx.9分当00,xx时，（）0gx；当0,xx时，（）0gx.所以当0xx时，（）gx取得最小值0gx10分故000001（）=eln220xgxgxxxx综上可知，当1m时，1fx.12分思路思路2：

先证明e1xxxR5分设e1xhxx，则e1xhx因为当0x时，0hx，当0x时，0hx，所以当0x时，函数hx单调递减，当0x时，函数hx单调递增所以00hxh所以e1xx（当且仅当0x时取等号）7分所以要证明eln20xx，只需证明1ln20xx8分下面证明ln10xx设ln1pxxx，则111xpxxx当01x时，0px，当1x时，0px，所以当01x时，函数px单调递减，当1x时，函数px单调递增所以10pxp所以ln10xx（当且仅当1x时取等号）10分由于取等号的条件不同，所以eln20xx综上可知，当1m时，1fx.12分文科数学试题第15页（共21页）（若考生先放缩（若考生先放缩lnx，或，或ex、lnx同时放缩，请参考此思路给分同时放缩，请参考此思路给分！

）思路思路3：

先证明eln2xx.因为曲线exy与曲线lnyx的图像关于直线yx对称，设直线xt0t与曲线exy，lnyx分别交于点A，B，点A，B到直线yx的距离分别为1d，2d，则122ABdd其中1e2ttd，2ln2ttd0t设ethtt0t，则e1tht因为0t，所以e10tht所以ht在0,上单调递增，则01hth所以1e222ttd设lngttt0t，则111tgttt因为当01t时，0gt；当1t时，0gt，所以当01t时，lngttt单调递减；当1t时，lngttt单调递增所以11gtg所以2ln222ttd所以122222222ABdd综上可知，当1m时，1fx.12分证法二：

证法二：

因为（）eln1xfxmx，要证明1fx，只需证明eln20xmx.4分以下给出两种思路证明以下给出两种思路证明eln20xmx.文科数学试题第16页（共21页）思路思路1：

设（）eln2xgxmx，则1（）exgxmx.设1（）exhxmx，则21（）e0xhxmx所以函数hx1exgxmx在0+，上单调递增6分因为11221e2e202mmgmmmm，1e10gm，所以函数1（）exgxmx在0+，上有唯一零点0x，且01,12xm.8分因为00gx，所以001exmx，即00lnlnxxm9分当00,xx时，0gx；当0,xx时，0gx.所以当0xx时，gx取得最小值0gx10分故000001eln2ln20xgxgxmxxmx综上可知，当1m时，1fx12分思路思路2：

先证明e1（）xxxR，且ln1（0）xxx5分设（）e1xFxx，则（）e1xFx因为当0x时，（）0Fx；当0x时，（）0Fx，所以（）Fx在（,0）上单调递减，在（0,）上单调递增所以当0x时，（）Fx取得最小值（0）0F所以（）（0）0FxF，即e1xx（当且仅当0x时取等号）7分由e1（）xxxR，得1exx（当且仅当1x时取等号）8分所以ln1（0）xxx（当且仅当1x时取等号）9分再证明eln20xmx因为0x，1m，且e1xx与ln1xx不同时取等号，文科数学试题第17页（共21页）所以eln2112xmxmxx11mx0综上可知，当1m时，1fx12分（22）（）证明：

证明：

因为AD是O的切线，所以DACB（弦切角定理）1分因为DECA，所以DACEDA2分所以EDAB因为AEDDEB（公共角），所以AEDDEB3分所以DEAEBEDE即2DEAEBE4分（）解：

解：

因为EF是O的切线，EAB是O的割线，所以2EFEAEB（切割线定理）5分因为4EF，2EA，所以8EB，6ABEBEA7分由（）知2DEAEBE，所以4DE8分因为DECA，所以BACBED9分所以BAACBEED所以6438BAEDACBE10分（23）（）解：

解：

由sin2，0,2，可得22sin1分因为222xy，siny，2分FCDOABE文科数学试题第18页（共21页）所以曲线C的普通方程为2220xyy（或2211xy）4分（）解法一：

解法一：

因为直线的参数方程为33,32xtyt（t为参数，tR），消去t得直线l的普通方程为35yx5分因为曲线C：

2211xy是以G1,0为圆心，1为半径的圆，设点00,Dxy，且点D到直线l：

35yx的距离最短，所以曲线C在点D处的切线与直线l：

35yx平行即直线GD与l的斜率的乘积等于1，即00131yx7分因为220011xy，解得032x或032x所以点D的坐标为3122，或3322，9分由于点D到直线35yx的距离最短，所以点D的坐标为3322，10分解法二：

解法二：

因为直线l的参数方程为33,32xtyt（t为参数，tR），消去t得直线l的普通方程为350xy5分因为曲线C2211xy是以G1,0为圆心，1为半径的圆，因为点D在曲线C上，所以可设点Dcos,1sin0,27分所以点D到直线l的距离为3cossin42d2sin38分文科数学试题第19页（共21页）因为0,2，所以当6时，min1d9分此时D3322，所以点D的坐标为3322，10分（24）（）解：

解：

当1a时，12fx等价于112xx1分当1x时，不等式化为112xx，无解；当10x时，不等式化为112xx，解得104x；当0x时，不等式化为112xx，解得0x3分综上所述，不等式1xf的解集为1,44分（）因为不等式fxb的解集为空集，所以maxbfx5分以下给出两种思路求以下给出两种思路求fx的最大值的最大值.思路思路1：

因为1fxxaxa01a，当xa时，1fxxaxa1aa0当1axa时，1fxxaxa21xaa211aaa1aa当1xa时，1fxxaxa1aa所以maxfx1aa7分思路思路2：

因为1fxxaxa1xaxa1aa文科数学试题第20页（共21页）1aa，当且仅当1xa时取等号所以maxfx1aa7分因为对任意0,1a，不等式fxb的解集为空集，所以max1baa8分以下给出三种思路求以下给出三种思路求1gaaa的最大值的最大值.思路思路1：

令1gaaa，所以2121gaaa22112aa当且仅当1aa，即12a时等号成立所以max2ga所以b的取值范围为2+，10分思路思路2：

令1gaaa，因为01a，所以可设2cosa02，则ga1cossin2sin24aa，当且仅当4时等号成立所以b的取值范围为2+，10分思路思路3：

令1gaaa，因为01a，设,1,xaya=-则221xy+=（）01,01xy问题转化为在221xy+=（）01,01xy的条件下，求zxy=+的最大值利用数形结合的方法容易求得z的最大值为2，此时22xy=xyO文科数学试题第21页（共21页）所以b的取值范围为2+，10分