Mathematica使用说明.pdf

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1Mathematica入门入门一、引一、引言言Mathematica是美国Wolfram公司开发的一个功能强大的数学软件系统,它主要包括:

数值计算、符号计算、图形功能和程序设计.本指导书力图在不大的篇幅中给读者提供该系统的一个简要的介绍.指导书是按Mathematica4.0版本编写的,但是也适用于Mathematica的任何其它图形界面的版本.Mathematica在数值计算、符号运算和图形表示等方面都是强有力的工具,并且其命令句法惊人地一致,这个特性使得Mathematica很容易使用.不必担心你还不太熟悉计算机.本入门将带你迅速了解Mathematica的基本使用过程,但在下面的介绍中,我们假定读者已经知道如何安装及启动Mathematica.此外,始终要牢记的几点是:

Mathematica是一个敏感的软件.所有的Mathematica函数都以大写字母开头;圆括号（）,花括号,方括号都有特殊用途,应特别注意;句号“.”,分号“;”,逗号“,”感叹号“！

”等都有特殊用途,应特别注意;用主键盘区的组合键Shfit+Enter或数字键盘中的Enter键执行命令.二、一般介绍二、一般介绍1.输入与输出输入与输出例例1计算1+1:

在打开的命令窗口中输入1+2+3并按组合键Shfit+Enter执行上述命令,则屏幕上将显示:

In1:

=1+2+3Out1=6这里In1:

=表示第一个输入,Out1=表示第一个输出,即计算结果.2.数学常数数学常数Pi表示圆周率;E表示无理数e;I表示虚数单位i;Degree表示/180;Infinity表示无穷大.注注:

Pi,Degree,Infinity的第一个字母必须大写,其后面的字母必须小写.3.算术运算算术运算Mathematica中用“+”、“-”、“*”、“/”和“”分别表示算术运算中的加、减、乘、除和乘方.例例2计算213121494891100.输入100（1/4）*（1/9）（-1/2）+8（-1/3）*（4/9）（1/2）*Pi则输出3103这是准确值.如果要求近似值,再输入N%则输出10.543这里%表示上一次输出的结果,命令N%表示对上一次的结果取近似值.还用%表示上上次输出的结果,用%6表示Out6的输出结果.2注注:

关于乘号*,Mathematica常用空格来代替.例如,xyz则表示x*y*z,而xyz表示字符串,Mathematica将它理解为一个变量名.常数与字符之间的乘号或空格可以省略.4.代数运算代数运算例例3分解因式232xx输入Factorx2+3x+2输出）x2）（x1（例例4展开因式）2）（1（xx输入Expand（1+x）（2+x）输出2xx32例例5通分3122xx输入Together1/（x+3）+2/（x+2）输出）x3）（x2（x38例例6将表达式）3）（2（38xxx展开成部分分式输入Apart（8+3x）/（2+x）（3+x）输出3x12x2例例7化简表达式）3）（1（）2）（1（xxxx输入Simplify（1+x）（2+x）+（1+x）（3+x）输出2x2x75三、函数三、函数1.内部函数内部函数Mathematica系统内部定义了许多函数,并且常用英文全名作为函数名,所有函数名的第一个字母都必须大写,后面的字母必须小写.当函数名是由两个单词组成时,每个单词的第一个字母都必须大写,其余的字母必须小写.Mathematica函数（命令）的基本格式为函数名表达式,选项下面列举了一些常用函数:

算术平方根xSqrtx指数函数xeExpx对数函数xalogLoga,x对数函数xlnLogx三角函数Sinx,Cosx,Tanx,Cotx,Secx,Cscx反三角函数ArcSinx,ArcCosx,ArcTanx,ArcCotx,AsrcSecx,ArcCscx双曲函数Sinhx,Coshx,Tanhx,反双曲函数ArcSinhx,ArcCoshx,ArcTanhx四舍五入函数Roundx（*取最接近x的整数*）取整函数Floorx（*取不超过x的最大整数*）取模Modm,n（*求m/n的模*）3取绝对值函数Absxn的阶乘n!

符号函数Signx取近似值Nx,n（*取x的有n位有效数字的近似值,当n缺省时,n的默认值为6*）例例8求的有6位和20位有效数字的近似值.输入NPi输出3.14159输入NPi,20输出3.1415926535897932285注:

第一个输入语句也常用另一种形式:

输入Pi/N输出3.14159例例9计算函数值

（1）输入SinPi/3输出23

（2）输入ArcSin.45输出0.466765（3）输入Round-1.52输出-2例例10计算表达式）6.0arctan（226sin2ln1132e的值输入1/（1+Log2）*SinPi/6-Exp-2/（2+2（2/3）*ArcTan.6输出0.2749212.自定义函数自定义函数在Mathematica系统内,由字母开头的字母数字串都可用作变量名,但要注意其中不能包含空格或标点符号.变量的赋值有两种方式.立即赋值运算符是“=”,延迟赋值运算符是“:

=”.定义函数使用的符号是延迟赋值运算符“:

=”.例例11定义函数12）（23xxxf,并计算）2（f,）4（f,）6（f.输入Clearf,x;（*清除对变量f原先的赋值*）fx_:

=x3+2*x2+1;（*定义函数的表达式*）f2（*求）2（f的值*）fx/.x-4（*求）4（f的值,另一种方法*）x=6;（*给变量x立即赋值6*）fx（*求）6（f的值,又一种方法*）输出1797289注注:

本例1、2、5行的结尾有“;”,它表示这些语句的输出结果不在屏幕上显示.四、解方程四、解方程在Mathematica系统内,方程中的等号用符号“=”表示.最基本的求解方程的命令为Solveeqns,vars4它表示对系数按常规约定求出方程（组）的全部解,其中eqns表示方程（组）,vars表示所求未知变量.例例12解方程0232xx输入Solvex2+3x+2=0,x输出1x,2x例例13解方程组10dycxbyax输入Solveax+by=0,cx+dy=1,x,y输出adbcay,adbcbx例例14解无理方程axx11输入SolveSqrtx-1+Sqrtx+1=a,x输出24a4a4x很多方程是根本不能求出准确解的,此时应转而求其近似解.求方程的近似解的方法有两种,一种是在方程组的系数中使用小数,这样所求的解即为方程的近似解;另一种是利用下列专门用于求方程（组）数值解的命令:

NSolveeqns,vars（*求代数方程（组）的全部数值解*）FindRooteqns,x,x0,y,y0,后一个命令表示从点）,（00yx出发找方程（组）的一个近似解,这时常常需要利用图像法先大致确定所求根的范围,是大致在什么点的附近.例例15求方程013x的近似解输入NSolvex3-1=0,x输出x-0.5-0.866025ii,x-0.5+0.866025ii,x1.输入FindRootx3-1=0,x,.5输出x1.下面再介绍一个很有用的命令:

Eliminateeqns,elims（*从一组等式中消去变量（组）elims*）例例16从方程组11）1（）1（1222222yxzyxzyx消去未知数y、z.输入Eliminatex2+y2+z2=1,x2+（y-1）2+（z-1）2=1,x+y=1,y,z输出0x3x22注注:

上面这个输入语句为多行语句,它可以像上面例子中那样在行尾处有逗号的地方将行与行隔开,来迫使Mathematica从前一行继续到下一行在执行该语句.有时候多行语句的意义不太明确,通常发生在其中有一行本身就是可执行的语句的情形,此时可在该行尾放一个继续的记号“”,来迫使Mathematica继续到下一行再执行该语句.五、保存与退出五、保存与退出5Mathematica很容易保存Notebook中显示的内容,打开位于窗口第一行的File菜单,点击Save后得到保存文件时的对话框,按要求操作后即可把所要的内容存为*.nb文件.如果只想保存全部输入的命令,而不想保存全部输出结果,则可以打开下拉式菜单Kernel,选中DeleteAllOutput,然后再执行保存命令.而退出Mathematica与退出Word的操作是一样的.六、查询与帮助六、查询与帮助查询某个函数（命令）的基本功能,键入“?

函数名”,想要了解更多一些,键入“?

函数名”,例如,输入?

Plot则输出Plotf,x,xmin,xmaxgeneratesaplotoffasafunctionofxfromxmintoxmax.Plotf1,f2,x,xmin,xmaxplotsseveralfunctionsfi它告诉了我们关于绘图命令“Plot”的基本使用方法.例例17在区间1,1上作出抛物线2xy的图形.输入Plotx2,x,-1,1则输出-1-0.50.510.20.40.60.81例例18在区间2,0上作出xysin与xycos的图形.输入PlotSinx,Cosx,x,0,2Pi则输出123456-1-0.50.51如果输入?

Plot则Mathematica会输出关于这个命令的选项的详细说明,请读者试之.此外,Mathematica的Help菜单中提供了大量的帮助信息,其中Help菜单中的第一项HelpBrowser（帮助游览器）是常用的查询工具,读者若想了解更多的使用信息,则应自己通过Help菜单去学习.6空间图形的画法空间图形的画法（基础实验基础实验）实验目的实验目的掌握用Mathematica绘制空间曲面和曲线的方法.熟悉常用空间曲线和空间曲面的图形特征,通过作图和观察,提高空间想像能力.深入理解二次曲面方程及其图形.基本命令基本命令1.空间直角坐标系中作三维图形的命令Plot3D命令Plot3D主要用于绘制二元函数）,（yxfz的图形.该命令的基本格式为Plot3Dfx,y,x,x1,x2,y,y1,y2,选项其中fx,y是yx,的二元函数,x1,x2表示x的作图范围,y1,y2表示y的作图范围.例如,输入Plot3Dx2+y2,x,-2,2,y,-2,2则输出函数22yxz在区域22,22yx上的图形（图2.1）-2-1012-2-101202468-2-1012图图2.1与Plot命令类似,Plot3D有许多选项.其中常用的如PlotPoints和ViewPoint.PlotPoints的用法与以前相同.由于其默认值为PlotPoints-15,常常需要增加一些点以使曲面更加精致,可能要用更多的时间才能完成作图.选项ViewPoint用于选择图形的视点（视角）,其默认值为ViewPoint-1.3,-2.4,2.0,需要时可以改变视点.2.利用参数方程作空间曲面或曲线的命令ParametricPlot3D用于作曲面时,该命令的基本格式为ParametricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,u1,u2,v,v1,v2,选项其中xu,v,yu,v,zu,v是曲面的参数方程表示式.u1,u2是作图时参数u的范围,v1,v2是参数v的范围.例如，对前面的旋转抛物面,输入ParametricPlot3Du*Cosv,u*Sinv,u2,u,0,3,v,0,2Pi同样得到曲面22yxz的图形（图2.2）.7-202-20202468-202图图2.2由于自变量的取值范围不同,图形也不同.不过,后者比较好的反映了旋转曲面的特点,因而是常用的方法.又如,以原点为中心,2为半径的球面.它是多值函数,不能用命令Plot3D作图.但是,它的参数方程为,20,0,cos2,sinsin2,cossin2zyx因此,只要输入ParametricPlot3D2Sinu*Cosv,2Sinu*Sinv,2Cosu,u,0,Pi,v,0,2Pi便作出了方程为22222yxz的球面（图2.3）.-2-1012-2-1012-2-1012-2-1012-2-1012图图2.38.用于作空间曲线时,ParametricPlot3D的基本格式为ParametricPlot3Dxt,yt,zt,t,t1,t2,选项其中xt,yt,zt是曲线的参数方程表示式.t1,t2是作图时参数t的范围.例如,空间螺旋线的参数方程为）.80（10/,sin,costtztytx输入ParametricPlot3DCost,Sint,t/10,RGBColor1,0,0,t,0,8Pi则输出了一条红色的螺旋线（图2.4）.-1-0.500.51-1-0.500.51012-1-0.500.51图图2.4在这个例子中，请读者注意选项RGBColor1,0,0的位置.用于作空间曲线时,ParametricPlot3D的选项PlotPoints的默认值是30,选项ViewPoint的默认值没有改变.3.作三维动画的命令MoviPlot3D:

无论在平面或空间,先作出一系列的图形,再连续不断地放映,便得到动画.例如,输入调用作图软件包命令12则作出了12幅曲面图,选中任一幅图形,双击它便可形成动画.实验举例实验举例一般二元函数作图一般二元函数作图例例2.1（教材例2.1）作出平面yxz326的图形,其中20,30yx.输入Plot3D6-2x-3y,x,0,3,y,0,2则输出所作平面的图形（图2.5）.9012300.511.52-5050123图图2.5如果只要位于第一卦限的部分,则输入Plot3D6-2x-3y,x,0,3,y,0,2,PlotRange-0,6观察图形.其中作图范围选项为PlotRange-0,6,而删除的部分显示为一块水平平面（图2.6）.012300.511.5202460123图图2.6例例2.2（教材例2.2）作出函数2214yxz的图形.输入kx_,y_:

=4/（1+x2+y2）Plot3Dkx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoints-30,PlotRange-0,4,BoxRatios-1,1,1则输出函数的图形2.7.观察图形,理解选项PlotRange-0,4和BoxRatios-1,1,1的含义.选项BoxRatios的默认值是1,1,0.4.10-2-1012-2-101201234-2-1012-2-1012图图2.7例例2.3（教材例2.3）作出函数22yxxyez的图形.输入命令Plot3D-x*y*Exp-x2-y2,x,-3,3,y,-3,3,PlotPoints-30,AspectRatio-Automatic;则输出所求图形（图2.8）.-202-202-0.0500.05-202图图2.8例例2.4（教材例2.4）作出函数）94cos（22yxz的图形.输入Plot3DCos4x2+9y2,x,-1,1,y,-1,1,Boxed-False,Axes-Automatic,PlotPoints-30,Shading-False则输出网格形式的曲面图2.9,这是选项Shading-False起的作用,同时注意选项Boxed-False的作用.11-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.51图图2.9二次曲面二次曲面例例2.5（教材例2.5）作出椭球面1194222zyx的图形.这是多值函数,用参数方程作图的命令ParametricPlot3D.该曲面的参数方程为,cos,sinsin3,cossin2uzvuyvux（20,0vu）.输入ParametricPlot3D2*Sinu*Cosv,3*Sinu*Sinv,Cosu,u,0,Pi,v,0,2Pi,PlotPoints-30则输出椭球面的图形（图2.10）.其中选项PlotPoints-30是增加取点的数量,可使图形更加光滑.-2-1012-202-1-0.500.51-2-1012图图2.10例例2.6（教材例2.6）作出单叶双曲面1941222zyx的图形.曲面的参数方程为12,tan3,cossec2,sinsecuzvuyvux（.20,2/2/vu）输入ParametricPlot3DSecu*Sinv,2*Secu*Cosv,3*Tanu,u,-Pi/4,Pi/4,v,0,2Pi,PlotPoints-30则输出单叶双曲面的图形（图2.11）.-101-202-202-101-202图图2.11例例2.7作双叶双曲面13.14.15.1222222zyx的图形.曲面的参数方程是,csc3.1,sincot4.1,coscot5.1uzvuyvux其中参数vu,20时对应双叶双曲面的一叶,参数vu,02时对应双叶双曲面的另一叶.输入sh1=ParametricPlot3D1.5*Cotu*Cosv,1.4*Cotu*Sinv,1.3/Sinu,u,Pi/1000,Pi/2,v,-Pi,Pi,DisplayFunction-Identity;（*DisplayFunction-Identity是使图形暂时不输出的选项*）sh2=ParametricPlot3D1.5*Cotu*Cosv,1.4*Cotu*Sinv,1.3/Sinu,u,-Pi/2,-Pi/1000,v,-Pi,Pi,DisplayFunction-Identity;Showsh1,sh2,DisplayFunction-$DisplayFunction（*命令Showsh1,sh2是把图形sh1,sh2放置在一起,DisplayFunction-$DisplayFunction是恢复显示图形的选项*）输出为图2.12.13-5-2.502.55-5-2.502.55-505-5-2.502.55图图2.12例例2.8可以证明:

函数xyz的图形是双曲抛物面.在区域22,22yx上作出它的图形.输入Plot3Dx*y,x,-2,2,y,-2,2,BoxRatios-1,1,2,PlotPoints-30输出图形略.也可以用ParametricPlot3命令作出这个图形,输入ParametricPlot3r*Cost,r*Sint,r2*Cost*Sint,r,0,2,t,0,2Pi,PlotPoints-30输出为图2.13比较这些图形的特点.-2-1012-2-1012-2-1012-2-1012-2-1012图图2.13例例2.9（教材例2.7）作出圆环vzuvyuvxsin7,sin）cos38（,cos）cos38（,（22/,2/30vu）14的图形.输入ParametricPlot3D（8+3*Cosv）*Cosu,（8+3*Cosv）*Sinu,7*Sinv,u,0,3*Pi/2,v,Pi/2,2*Pi;则输出所求圆环的图形（图2.14）.-10-50510-10-50510-505-10-50510图图2.14例例2.10画出参数曲面2,001.0,4,0）5/2/ln（tancossinsinsincosvuuvvzvuyvux的图形.输入命令ParametricPlot3DCosu*Sinv,SinuSinv,Cosv+LogTanv/2+u/5,u,0,4*Pi,v,0.001,2;则输出所求图形（图2.15）.15-1-0.500.51-1-0.500.51-1012-1-0.500.51图图2.15曲面相交曲面相交例例2.11（教材例2.8）作出球面22222zyx和柱面1）1（22yx相交的图形.输入g1=ParametricPlot3D2Sinu*Cosv,2Sinu*Sinv,2Cosu,u,0,Pi,v,0,2Pi,DisplayFunction-Identity;g2=ParametricPlot3D2Cosu2,Sin2u,v,u,-Pi/2,Pi/2,v,-3,3,DisplayFunction-Identity;Showg1,g2,DisplayFunction-$DisplayFunction则输出所求图形（图2.16）.-2-1012-2-1012-202-2-1012图图2.1616例例2.12作出锥面222zyx和柱面1）1（22yx相交的图形.输入g3=ParametricPlot3Dr*Cost,r*Sint,r,r,-3,3,t,0,2Pi,DisplayFunction-Identity;Showg2,g3,DisplayFunction-$DisplayFunction输出为图2.17.-202-202-202-202-202图图2.17例例2.13画出以平面曲线xycos为准线,母线平等Z轴的柱面的图形.写出这一曲面的参数方程为szRsttytx,cos取参数s的范围为0,8.输入命令ParametricPlot3Dt,Cost,s,t,-Pi,Pi,s,0,8则输出所求图形（图2.18）.17-202-1-0.500.5102468-1-0.500.5102468图图2.18例例2.14（教材例2.9）作出曲面xyxyxz2222,1及xOy面所围成的立体图形.输入g1=ParametricPlot3Dr*Cost,r*Sint,r2,t,0,2*Pi,r,0,1,PlotPoints-30;g2=ParametricPlot3DCost*Sinr,SintSinr,Cosr+1,t,0,2*Pi,r,0,Pi/2,PlotPoints-30;Showg1,g2则输出所求图形（图2.19）.-1-0.500.51-1-0.500.5100.511.52-1-0.500.51-1-0.500.51图图2.19例例2.15（教材例2.10）作出螺旋线tztytx2,sin10,cos10（Rt）在xOz面上的正投影曲线的图形.18所给螺旋线在xOz面上的投影曲线的参数方程为tztx2,cos10.输入ParametricPlot2t,10Cost,t,-2Pi,2Pi;则输出所求图形（图2.20）.-10-5510-10-5510图图2.20注注:

将表示曲线的方程组,消去其中一个变量,即得到曲线在相应于这一变量方向上的正投影曲线的方程,不考虑曲线所在平面,它就是投影柱面方程;对于参数方程,只要注意将方程中并不存在的那个变元看成第二参数而添加第三个方程即可.例例2.16（教材例2.11）作出默比乌斯带默比乌斯带（单侧曲面）的图形.输入Clearr,x,y,z;rt_,v_:

=2+0.5*v*Cost/2;xt_,v_:

=rt,v*Costyt_,v_:

=rt,v*Sintzt_,v_:

=0.5*v*Sint/2;ParametricPlot3Dxt,v,yt,v,zt,v,t,0,2Pi,v,-1,1,PlotPoints-40,4,Ticks-False则输出所求图形（图2.21）.观察所得到的曲面,理解它是单侧曲面.图图2.2119空间曲线空间曲线例例2.17（教材例2.12）作出空间曲线）60（2,sin,costtzttyttx的图形.输入ParametricPlot3Dt*Cost,t*Sint,2*t,RGBColor1.0,0,0.5,t,0,6Pi则输出所求图形（图2.22）.-10010-100100102030-10010