数学与思维发展的关系.doc

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数学与思维发展的关系

引论

思维是大脑借助于符号系统对客观世界的反映，它是符号掌握基础上的不同认知水平的反映，是认知水平与操作能力的统一。

数学是一种知识体系，是经过严密的逻辑推理而形成的系统化的理论知识总和，它既反映了人们对“现实世界的空间形式和数量关系”的认识，又反映了人们对“可能的量的关系和形式”的认识。

数学既可以来自现实世界的直接抽象，也可以来自人类思维的能动创造。

数学和思维的关系是辩证的，两者相互制约、相互促进。

我们可以从以下几个方面来把握这种关系：

一．数学对思维的影响

（一）数学对思维发展的促进作用

1．数学学习发展抽象逻辑思维

抽象逻辑思维是人类思维发展的高级阶段，是人脑借助概念、判断、推理及其他逻辑方法反映现实生活的认识过程，是一种确定的、前后一贯的、有条理的、有根有据的思维。

在数学中它的特性表现为善于从已知前提中推导出结果。

还表现在各种数学结论的推导，一些法则、性质的得出及运用法则、公式、性质解题等方面。

从小学生学习数学的过程中看：

数学知识的内在规律与儿童智力活动的规律以及儿童抽象逻辑思维的发展具有一致性。

当数学知识的内在规律和联系，符合儿童智力活动规律地去教学，会使儿童的抽象思维获得巨大的发展。

发展和培育儿童的抽象逻辑思维能力，是小学各学科教学的一个极其重要的任务；小学儿童的思维总特点，就是正在从具体的形象思维向抽象的逻辑思维过渡。

这个过渡并不是一下子就能完成的，而是要经历一个由简单到复杂，由低级到高级，由不完善到比较完善，由量变到质变的长期发展过程。

一年级儿童的思维特点，正是在教师的指导下，有计划有步骤地实现这个过渡的开始。

例如：

在学习掌握10以内数的认识和加减法，从具体事物的实际数量上升到抽象的数的概念，进行运算也就是从具体形象思维向抽象逻辑思维的具体过渡。

这可以说是认识上的一个飞跃。

因此，对刚入学的儿童来讲，并不是那么轻而易举的。

儿童虽然入学前在他的生活中接触了大量的事物，但他们注意的往往是事物外部的表面特点，什么颜色、形状、气味以及它的实用意义等等。

而对事物的数量方面是容易被忽视的，头脑里的数量观念也是极其淡薄的。

特别是在小学一年级的数学教材与教学中体现得最为充分。

教学中当每个数的概念出现，总是在一定数量的生动形象的直观事物的基础上用抽象概念概括出来，经过一段时间的培养，一年级的小学生渐渐关注事物的数量，知道用数量来描述事物，从而抽象出数，在学习加减法以后，他们能够用算式来抽象的表示题目中的意思，这是孩子抽象思维发展的一个里程碑，由此可见，数学对培养学生抽象逻辑思维的巨大作用。

2．数学学习促进思维的深刻性

  数学思维的深刻性是学生对实际事物中的数学关系进行抽象概括而获得数学问题，对具体数学材料、数学问题进行分析概括而得出数学模型，选择恰当的数学方法、用合适的数学计算求出此模型的解或近似解，以及对解的实践检验、对模型的修正等过程中，思考的广度、深度、难度和严谨性水平的集中反映。

也即在数学知识的学习与应用过程中，在对事物的观察、比较、分析、综合、抽象和概括的过程中，在归纳、演绎、类比等推理过程中，在对自己的数学思想方法的阐述过程中，都会体现出思维深刻性的差异来。

“刨根问底”、“打破沙锅问到底”是深刻性的写照，“去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里”也是深刻性的体现。

   小学生数学思维深刻性的发展主要在运算过程中体现出来：

第一，寻找“标准量”的水平逐渐提高，推理的间接性在不断增强；第二，不断掌握运算法则，对事物数量变化规律性的认识不断加深；第三，不断提出“假设”，自编应用题过程中的抽象逻辑性在不断提高。

中学生数学思维深刻性的发展主要表现在从具体事例中归纳问题的本质，通过分析、比较、类比等活动抽象出概念、原理或解题方法，善于开展系统的理性思维等的不断发展。

例如：

在小学六年级

3．数学促进思维的灵活性。

   思维灵活主要是指能够根据客观事物的发展与变化，及时调整自己的思路，改变已有的思维过程，寻找新的解决问题的方法。

所以，数学思维的灵活性主要是学生在数学思维活动中，思考的方向多、过程活、思维技巧能够适时转换，即思维的应变能力强。

数学学习中思维灵活性往往表现在随着具体条件而确定解题方向，并能随着条件的变化而有的放矢地转化解题方法；表现在从新的高度、新的角度看待已知知识；还表现在从已知的数学关系中看出新的数学关系。

思维的灵活性与思维的发散性有一致的地方。

发散思维的特点是多开端、灵活、精致和新颖。

例如，能够给出一个数学问题的多种不同解答，就是思维具有发散性的表现。

所以思维的灵活来自于求异思维，而求异思维又来自于迁移。

因为灵活性越大，思维的发散性越好，越能多解，说明迁移的效果越显著。

“举一反三”是高水平的发散，正是因为有知识的迁移。

而迁移又来自于概括。

成语有“触类旁通”，“旁通”是灵活迁移，而“旁通”的得来需要“触类”，这个“类”又需要通过概括才能获得。

   小学生在数学运算中思维灵活性的发展趋势是：

一个问题的不同解法的数量在增加；灵活解题的精细性增加，即解题不仅方法多而且正确程度高，思维过程中不是机械重复，而是根据思维对象的具体特征进行灵活运算；组合分析水平在提高。

中学生数学思维灵活性品质继续发展，具体问题具体分析、“举一反三”、思维发散都有较大发展，而且有稳定性，男生优于女生。

我曾进行过一个小试验：

4．数学学习促进思维的敏捷性。

思维的敏捷性是指思维过程中正确前提下的迅速和简捷。

有了思维的敏捷性，在处理和解决问题的过程中就能根据具体情况进行积极思考，正确作出判断并迅速作出选择。

这就要求人的认知结构系统化、结构化，具有清晰性、稳定性和可利用性一旦需要便能迅速而正确地进行检索和提取。

   在数学学习中，思维的敏捷性主要表现为能够缩短运算环节和推理过程，而这又有赖于在正确前提下的速度训练。

经过练习，从中总结经验，进而概括出规律。

并通过应用而达到熟练的程度，从而产生思维的敏捷性。

因此，敏捷性又与概括性紧密相联，推理的缩短取决于概括，“能‘立即’进行概括的学生，也能‘立即’进行推理的缩短。

”

   小学生数学思维敏捷性的发展趋势主要表现为运算速度在不断提高。

值得注意的是正确与迅速并不能完全一致，思维的敏捷性主要是思维的速度问题。

中学生在数学运算中的敏捷程度有显著的个性差异，而且从初二开始，随着年级的递增，差异越来越大。

在计算和应用题的训练中，我们进行了试验

（二）数学思维不是唯一的思维方式。

数学思维有着巨大的优势，但是它并不是唯一的、最好的思维方式，它有时要与其他思维方式进行配合，有时数学思维定势还会对思维产生制约，有些时候有比数学更好的解决方法。

在一次国际数学竞赛中一道问题是：

一天中时针和分针重合多少次？

身经百战、基础过硬的中国学生们首先想到用数学方法来解决，在纸上进行演算，而美国学生却另辟蹊径摘下手表来拨，哪种方法更好更快自然不言而喻。

二．思维发展对数学学习的作用

l.思维的发展对数学学习的制约作用。

   数学学习的实质是数学认知结构的建构过程，这种建构是在同化与顺应的作用下，将新的数学知识与已有数学认知结构相整合而实现的。

这样，学生必须具备一定的数学知识、技能和数学学习动机才能进行有效学习。

所以，数学学习依赖于学生数学认知结构的发展水平。

 同时，数学思维的发展也受到个体心理发展规律的制约。

布鲁纳说，“在发展的每个阶段，儿童都有他自己的观察世界和解释世界的独特方式。

”因此，如果提出的学习要求超越了学生的思维发展阶段，那么数学学习效果就无法保证。

我所教过的两种教材给我们提供了对比的机会：

  2.一定的思维发展状态不仅为新学习提供了基础，而且也为数学学习创造了新的发展可能。

数学学习不是消极地适应数学思维已有的发展水平，而是要积极地促进数学思维的发展，将发展的可能转变为发展的现实。

因此，教师在数学教学中，应当同时考虑学生数学思维的现实发展和可能发展，以现实发展为出发点，以可能发展为定向，使学生通过学习把新数学知识内化为自己的经验，从而实现学习对数学思维发展的促进作用。