高等代数北大版课件6.3维数基与坐标.ppt

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2线性空间的定义与简单性质,3维数基与坐标,4基变换与坐标变换,1集合映射,5线性子空间,7子空间的直和,8线性空间的同构,6子空间的交与和,小结与习题,第六章线性空间,6.3维数基坐标,一、线性空间中向量之间的线性关系,二、线性空间的维数、基与坐标,6.3维数基与坐标,6.3维数基坐标,引入,即线性空间的构造如何？

怎样才能便于运算？

问题,如何把线性空间的全体元素表示出来？

这些元素之间的关系又如何呢？

（基的问题）,问题,线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西,数发生联系,使其能用比较具体的数学式子来表达？

（坐标问题）,6.3维数基坐标,一、线性空间中向量之间的线性关系,1、有关定义,设V是数域P上的一个线性空间,则称向量可经向量组线性表出；,使,6.3维数基坐标,若向量组中每一向量皆可经向量组,线性表出，则称向量组,可经向量组线性表出；,若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组,为等价的,，使得,则称向量组为线性相关的；,6.3维数基坐标,（4）如果向量组不是线性相关的，即,只有在时才成立，,则称为线性无关的,

（1）单个向量线性相关,单个向量线性无关,向量组线性相关,中有一个向量可经其余向量线性表出,2、有关结论,6.3维数基坐标,

（2）若向量组线性无关，且可被,向量组线性表出，则,若与为两线性无关的,等价向量组，则,（3）若向量组线性无关，但向量组,线性相关，则可被向量组,线性表出，且表法是唯一的,6.3维数基坐标,因为，对任意的正整数n，都有n个线性无关的向量,1、无限维线性空间,若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量，,则称V是无限维线性空间,例1所有实系数多项式所成的线性空间Rx是,无限维的.,1，x，x2，xn1,二、线性空间的维数、基与坐标,6.3维数基坐标,2、有限维线性空间,n维线性空间；常记作dimVn.,

（1）n维线性空间：

若在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是,任意n1个向量都是线性相关的，则称V是一个,注：

零空间的维数定义为0.,dimV0V0,6.3维数基坐标,在n维线性空间V中，n个线性无关的向量,

（2）基,，称为V的一组基；,下的坐标，记为,（3）坐标,设为线性空间V的一组基，,则数组，就称为在基,若,6.3维数基坐标,有时也形式地记作,注意：

唯一确定的即向量在基下的坐标唯一的.,但是，在不同基下的坐标一般是不同的,6.3维数基坐标,3、线性空间的基与维数的确定,定理：

若线性空间V中的向量组满足,）线性无关；,）可经线性表出,则V为n维线性空间，为V的一组基,6.3维数基坐标,证明：

线性无关，,V的维数至少为n,任取V中n1个向量，,由），向量组可用向量组,若是线性无关的，则n1n，矛盾,线性表出.,V中任意n1个向量是线性相关的,故，V是n维的，就是V的一组基,6.3维数基坐标,例23维几何空间R3,是R3的一组基；,也是R3的一组基,一般地，向量空间,为n维的，,就是Pn的一组基称为Pn的标准基.,6.3维数基坐标,n维线性空间V的基不是唯一的，V中任意n个,任意两组基向量是等价的,例3

（1）证明：

线性空间Pxn是n维的，且,注意：

线性无关的向量都是V的一组基,

（2）证明：

1，xa，（xa）2，（xa）n1,1，x，x2，xn1为Pxn的一组基,也为Pxn的一组基,6.3维数基坐标,证:

（1）首先，1，x，x2，xn1是线性无关的,1，x，x2，xn1为Pxn的一组基，,从而，Pxn是n维的.,其次，,可经1，x，x2，xn1线性表出,注：

在基1，x，x2，xn1下的坐标就是,此时，,6.3维数基坐标,

（2）1，xa，（xa）2，（xa）n1是线性无关的,即,f（x）可经1，xa，（xa）2，（xa）n1线性表出.,1，xa，（xa）2，（xa）n1为Pxn的一组基,在基1，xa，（xa）2，（xa）n1下的坐标是,注：

此时，,6.3维数基坐标,若把C看成是实数域R上的线性空间呢？

而实数域R上的线性空间C为2维的，数1，i就为,例4求全体复数的集合C看成复数域C上的线性,空间的维数与一组基；,解：

复数域C上的线性空间C是1维的，数1就是它的,一组基；,它的一组基,注：

任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的，数1就是它的一组基.,6.3维数基坐标,解：

令,有,例5求数域P上的线性空间的维数和一组基,6.3维数基坐标,矩阵在基下的,坐标就是,一般地，数域P上的全体矩阵构成的线性空间,为维的，,注：

就是的一组基,矩阵单位,6.3维数基坐标,下的坐标，其中,例6在线性空间中求向量在基,6.3维数基坐标,练习,1.已知全体正实数R对于加法与数量乘法：

构成实数域R上的线性空间，求R的维数与一组基.,2.求实数域R上的线性空间V的维数与一组基.这里,6.3维数基坐标,1解:

数1是R的零元素.,即x可由a线性表出.,任取R中的一个数a,且，则a是线性无关的.,故R是一维的，任一正实数就是R的一组基.,6.3维数基坐标,2解:

6.3维数基坐标,下证线性无关.设,得齐次线性方程组,其系数行列式,6.3维数基坐标,方程组只有零解：

故线性无关.,又由知，任意均可表成的线性组合，,所以V为三维线性空间，就是V的一组基.,