E用恒定电流场模拟静电场05.doc
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实验名称用恒定电流场模拟静电场
一、前言
静电场是由电荷分布决定的。
给定区域内的电荷分布和介质分布及边界条件，可根据麦克斯韦方程组和边界条件来求解电场分布。
但大多数情况下求不出解析解，因此，要靠数值解法求出或实验方法测出电场分布。
直接测量静电场很困难，因为仪表（或其探测头）放入静电场中会使被测电场发生一定变化。
如果用静电式仪表测量，由于场中无电流流过，不起作用。
实验中采用恒定电流场来模拟静电场，即通过测绘点定电流场的分布来测绘对应的静电场分布。
二、教学目标
1、学会用模拟法描绘和研究静电场的分布状况。
2、测绘柱形电极和平行板电极间的电场分布。
3、掌握了解模拟法应用的条件和方法。
4、加深对电场强度及电势等基本概念的理解。
三、教学重点
1、用模拟法描绘静电场的原理。
2、模拟法应用的条件和方法。
四、教学难点
1、正确选择等势点，掌握打点的方法。
2、学会用半对数坐标纸作图。
五、实验原理
电场强度和电势是表征电场特征的两个基本物理量，为了形象地表示静电场，常采用电场线和等势面来描绘静电场。
电场线与等势面处处正交，因此有了等势面的图形就可大致画出电场线的分布图，反之亦然。
当我们要测出某个带电体的静电场分布时，由于其形状一般来说比较复杂，用理论计算其电场分布非常困难。
同时仪表（或其探测头）放入静电场，总要使被测场原有分布状态发生畸变，不可能用实验手段直接测绘真实的静电场。
为了克服上述困难，本实验采用数学模拟法，仿造一个与待测静电场分布完全一样的电流场（称为模拟场），使它的分布和静电场的分布完全一样，当用探针去探测模拟场时，它不受干扰，因此可以间接测出被模拟的静电场。
一般情况下，要进行数学模拟，模拟者和被模拟者在数学形式上要有相同的方程，在相同的初始条件和边界条件下，方程的特解相同，这样才可以进行模拟。
由电磁学理论可知，电解质（或水）中稳恒电流的电流场与电介质（或真空）中的静电场具有相似性，都是有源场和保守场，都可以引入电势，两个场的电势都是拉普拉斯方程。
对于电流场有：
对于静电场有：
在相同的边界条件下，这两个方程的特解相同，即这两种场的电势分布相似。
实验中只要两种场的带电体的形状和大小，相对位置以及边界条件一样，就可以用电流场来研究和测绘静电场的分布。
下面以同轴圆柱形电极的静电场和相应的模拟场——稳恒电流场来讨论这种等效性。
图1同轴圆柱电极（a）及其静电场分布图（b）
如图1（a）所示为一个同轴圆柱电极，内电极半径为，外电极内半径为，内电极电势，外电极电势，其间充以电容率为的均匀电介质，在两极间距轴心处的电势为
（1）
由高斯定理知半径为r的圆柱面上的电场强度为
（2）
其中是柱形电极的电荷线密度，是两极间介电常数，由
（1）式和
（2）式可得 （3）
当时，，则，代入（3）式有：
（4）
（4）式即为同轴圆柱电极间静电场中的电势分布公式。
距中心r处电场强度为
（5）
图2同轴圆柱电极的模拟模型
若上述圆柱形导体A与圆筒形导体B之间不是真空，而是均匀地充满了一种电导率为σ的不良导体，且A和B分别与直流电源的正负极相连（见图2），则在A、B间将形成径向电流，建立起一个稳恒电流场。
可以证明不良导体中的稳恒电流场与原真空中的静电场是相同的。
取高度为t的圆柱形同轴不良导体片来研究。
设材料的电阻率为ρ（ρ=1/σ），则从半径为r的圆周到半径为r+dr的圆周之间的不良导体薄块的电阻为
（6）
半径r到rb之间的圆柱片电阻为
（7）
由此可知，半径ra到rb之间圆柱片的电阻为
（8）
若设Ub=0，则径向电流为
（9）
距中心r处的电势分布公式为
（10）
（11）
其中均为常数。
稳恒电流场为
（12）
（4）式同（10）式相比较，说明恒定电流场与静电场的电势分布函数是相同的，从（11）可看出柱面之间的电势与为直线关系，并且即相对电势仅是坐标的函数，与电场电势的绝对值无关。
因此可用尺寸相同，边界条件相同的稳恒电流场来模拟静电场。
当采用电流场模拟法研究静电场时，应注意以下适用条件：
稳恒电流场中的电极形状应与被模拟的静电场中的带电体几何形状相同，边界条件相同；电流场中导电介质的分布必须相应于静电场中的介质分布，如果模拟真空中的电场，则模拟场的介质应是均匀分布的；由于静电场中导体表面是等势面，导体内场强为零，因此电流场中电极也应满足这一条件，故稳恒电流场中的导电介质应是不良导体且电导率分布均匀，并满足σ电极>>σ导电质才能保证电流场中的电极（良导体）的表面也近似是一个等势面；测定电流场的电势时，必须保证探测支路无电流通过，不能干扰原来的电流场分布。
检测电流场中各等势点时，为了不影响电流线的分布，探测支路不能从电流场中取出电流，因此必须使用高内阻电压表或平衡电桥法进行测绘。
但直流电压长时间加在电极上，会使电极产生“极化作用”而影响电流场的分布，若把直流电压换成交流电压则可消除这种影响。
当电极接上交流电压时，产生交流电场的瞬时值是随时间变化的，但交流电压的有效值与直流电压是等效的，所以在交流电场中用交流电压表测量有效值的等势线与直流电场中测量同值的等势线，其效果和位置完全相同。
由式（12）式可知，场强在数值上等于电势梯度，方向指向电位降落的方向。
考虑到是矢量，而电势U是标量，从实验测量来讲，测定电势比测定场强容易实现，所以可先测绘等势线，然后根据电场线与等势线正交，画出电场线。
实验中把连接电源的两个电极放在不良导体如稀薄溶液（或水）中，在溶液中将产生电流场。
电流场中有许多电势彼此相等的点，测出这些电势相等的点，描绘成面就是等势面。
这些面也是静电场中的等势面。
通常电场分布是在三维空间中，但在水中进行模拟实验时，测出的电场是在一个水平面内的分布。
这样等势面就变成了等势线，根据电场线与等势线正交的关系，即可画出电场线。
这些电场线上每一点切线方向就是该点电场强度的方向，这样用等势线和电场线就可以形象地描绘静电场的分布。
用不同形状的电极，可以模拟不同形状的静电场，如平行板电极，可以模拟平行板电容器中的静电场。
六、实验仪器
水槽式静电场模拟仪（包含水槽、探针、电极等），WQE-3电场描绘仪，游标卡尺，白纸。
1、水槽式静电场模拟仪
水槽式静电场模拟仪如图3所示。
仪器主要由上层板、下层板、可移动探针和放置电极的水槽组成。
上下层用四根立柱隔开，上层放记录用的白纸，四个角上用弹簧片将白纸压住。
下层放装有电极的水槽，水槽内放自来水作为介质。
电极依模拟对象不同可以更换。
电极接50Hz的低压交流电。
当移动探针座时，下探针在水中探测等势点，处于同一垂线的上探针便可在记录纸上打出相应的等势点。
在测量时，探针内基本上没有电流流过，对原电流场的分布几乎没有影响。
1—水槽2—电极3—下探针4—上探针5—移动座6—下层板7—上层板8—白纸9—立柱
图3水槽式静电场模拟实验仪
七、实验内容与步骤
1、用游标卡尺测量同轴电极的内电极直径和外电极内径。
2、按图1（b）连接线路。
输出电压调节旋钮逆时针旋到最小。
。
3、用水准仪调平水槽架底座。
在水槽内注入适量的水，将其水平端正地放在电极架下层，在模拟仪上层板压好白纸，用于记录测绘点，探针置于水槽外。
4、接通电源，数字电压表置“输出”档，调节电压至10V，。
5、将电表转换开关拨向“探测”，让探针接触中心电极，电压显示为10V。
若电压显示为0V，则改变电源电压输出极性。
6、用探针沿外电极内、外侧分别取三个和一个记录点，用于确定电极的圆心和外电极的厚度；记录内电极直径和外电极内直径。
7、将探针置于水中，在两极间慢慢移动，依次测出电压分别为7.0V、5.0V、3.0V、1.0V的等势线，每条等势线均匀测8个点，测绘时沿径向移动，能较快确定测绘点。
8、用平行板电极换下同轴圆柱电极重复（3、4）两个步骤，分别沿7.5V、5.0V、2.5V三个等势线各记录8-10个测量点（内少外多），并打出确定电极位置的点。
9、在平行板电极测量纸上用不同符号标注出各等势线上的测量点和等势线数值，画出电极，绘出实验等势线和电场线。
10、在同轴圆柱电极记录纸上，用几何方法确定圆心，画出内、外电极，用不同符号标注出各等势线上的测量点和等势线数值，绘出理论等势线（根据公式计算）和电场线。
11、量出同轴圆柱电极记录纸上等势线各测量点到圆心的距离，求出平均值。
在半对数坐标纸上绘出理论曲线，标出对应实验测量点，画出实验曲线。
八、数据表格及数据处理
1、静电场等势线的理论计算（仅对同轴圆柱电极进行）
已知，由测量得到，,则,由公式（4）可知，则当时，，有，可得
同理可求得，r5.0V＝1.88cm；r3.0V＝2.61cm；r1.0V＝3.64cm；
2、模拟场等势线的分布
测量点
等势线
（cm）
（cm）
（cm）
（cm）
（cm）
（cm）
（cm）
（cm）
平均值
（cm）
理论值
r理（cm）
（7.0V）
1.43
1.30
1.25
1.21
1.30
1.44
1.50
1.50
1.37
1.34
（5.0V）
1.90
1.90
1.78
1.85
1.80
1.98
2.00
2.05
1.91
1.88
（3.0V）
2.70
2.57
2.45
2.50
2.56
2.69
2.70
2.74
2.61
2.61
（1.0V）
3.65
3.60
3.50
3.50
3.60
3.65
3.70
3.71
3.61
3.64
由上表可看出各测量电势点到圆心的距离的平均值与理论半径值基本吻合。
通过测量值与理论值的比较，显然可以得到用模拟法描绘静电场是完全可行的这一结论。
3、同轴圆柱电极电场分布
4、平行板电极电场分布
5、曲线
九、指导要点及注意事项
1、模拟场除满足与被测场有相似地数学方程和边界条件外，还要求水槽电极放置时要端正水平，水槽中装入的水不可太少，也不可漫过电极，以避免等势线失真。
2、导线的连接一定要牢固，避免因接触电阻而导致输出电压达不到要求。
3、打开电源开关前，输出电压调节旋钮应逆时针旋到最小。
关电源前，也应如此操作，以避免冲击电流过大损坏仪器。
4、使用同步探针时，应轻移轻放，避免变形以致上、下探针不在同一条轴线上；在上层记录纸上打点时，不要用力过猛，轻轻按即可，以免移动电极，带来误差。
5、描绘电场线应始于高电势电极的外表面，终止于低电势电极的内表面，且处处与等势线垂直。
电场线的密度反映了电场强度的大小。
6、做实验时，要确定圆心；要确定电极位置；要描出两极板之间的区域外向外延伸的边缘效应。
7、实验结束后，将水槽中的水倒掉并将其倒扣放置，避免点击氧化生锈。
8、作图时，不仅要画出等势线，还应画出电场线（起于正电荷，止于负电荷）。
7.5V
5.0V
2.5V
10.0V
0.0V
平行板电极电场分布
9、在半对数坐标纸上作图时，要把理论直线和实验直线同时作出，图中理论曲线过（，1）和（，0）。
十、实验管理和成绩记载
1、实验管理
（1）预习检查：
检查学生的学生证，检查学生预习报告并签字，随机提问（约占实验学生的四分之一）检查学生的预习情况。
无预习报告或预习检查不合格的学生取消当堂课实验资格，重新预约该实验。
（2）操作管理：
巡回检查学生的实验操作和实验数据记录情况，及时发现、指导、解决学生在实验操作中遇到的问题，检查完成实验学生的数据记录并签字；对在1小时左右完成实验的学生进行认真的检查并要求其完成实验的选做内容。
（3）实验报告批改：
要求学生认真作好实验报告，并于实验后一周内交给任课教师（地点：
主教学楼1楼走廊信箱）；及时批改学生的实验报告，作好成绩记载并及时发还给学生。
2、成绩记载
平时成绩：
实验操作60%；实验报告40%；及时在实验预约单上记载平时成绩。
综合成绩：
平时成绩60%；考试成绩40%。
十一、实验思考题
1、本实验对静电场的测绘采用的是什么方法？
为什么要用此方法？
用恒定电流场模拟静电场采用的是数学模拟。
因为直接测量静电场的分布，需用探针对空间各点逐点进行测量。
当把探针放入静电场后，由于静电感应，探针上会产生感应电荷，则会改变原电极的电荷分布，从而引起原电场的畸变。
显然直接测量不可行，所以采用模拟法来进行测绘。
2、用恒定电流场模拟静电场的理论依据是什么？
模拟的条件是什么？
用电流场模拟静电场的理论依据是：
对稳恒场而言，微分方程及边界条件唯一地决定了场的结构或分布，若两种场满足相同的微分方程及边界条件，则它们的结构也必然相同，静电场与模拟区域内的稳恒电流场具有形式相同的微分方程，只要使他们满足形式相同的边界条件，则两者必定有相同的场结构。
模拟的条件是：
稳恒电流场中的电极形状应与被模拟的静电场中的带电体几何形状相同，模拟所用电极系统与被模拟电极系统的边界条件相同；稳恒电流场中的导电介质是不良导体且电导率分布均匀，并满足以保证电流场中的电极（良导体）的表面也近似是一个等势面；测定电流场的电势势时，必须保证探测支路无电流通过，不能干扰原来的电流场分布。
从本质上讲就是要保证测量时，恒定电流场的电位分布在极间区域内和边界上不会因测量操作而发生改变。
3、为什么不良导体内的电场分布与真空中的静电场分布相同？
因为在不良导体内没有电流通过时，其中任一宏观体积元中的正负电荷数量相等，没有净电荷，呈电中性。
当有直流电流通过时，单位时间内流出体积元的电荷被流入的同号电荷所代替，体积元内正负电荷数量还是相等，因而整个体积内呈电中性。
换言之，真空中的静电场是由电极上的电荷产生的，而在有恒定电流通过的不良导体中，电场也是由电极上的电荷产生的。
不同的是静电场中电极上的电荷静止不动，而恒流场中电极上的电荷一边流失，一边由电源随时补充，在动态平衡状态下保持电荷的数量不变。
所以，两种状况下电场的分布是相同的。
4、模拟法分为哪两种模拟，其应用的条件是什么？
模拟法分为物理模拟和数学模拟。
物理模拟的应用条件为物理相似和几何相似，即模型和原型都遵从同样的物理规律；模型的几何尺寸与原型的几何尺寸成比例的放大或缩小。
数学模拟应用的条件为模型与原型在物理实质上可以完全不同，但它们都遵从相同的数学规律，即满足相似的数学方程，还要带电体（即电极）的形状和大小，它们之间的相对位置以及边界条件一样。
5、能否模拟平行轴电线或带有等量异号电荷的平行长直圆柱体的电场？
为什么?
能。
由电磁学理论可知电解质（或水液）中稳恒电流的电流场与电介质（或真空）中的静电场具有相似性。
在电流场的无源区域中，电流密度矢量和静电场中的电场强度矢量所遵从的物理规律具有相同的数学形式，所以这两种场具有相似性。
在相似的场源分布和相似的边界条件下，它们的解的表达式具有相同的数学模型。
如果把连接电源的两个电极放在不良导体如稀薄溶液（或水液）中，在溶液中将产生电流场。
电流场中有许多电位彼此相等的点，测出这些电位相等的点，描绘成面就是等势面。
这些面也是静电场中的等势面。
通常电场分布是在三维空间中，但在水液中进行模拟实验时，测出的电场是在一个水平面内的分布。
这样等势面就变成了等位线，根据电力线与等位线正交的关系，即可画出电力线。
这些电力线上每一点切线方向就是该点电场强度的方向。
这就可以用等位线和电力线形象地表示静电场的分布了。
6、如果电源电压增大一倍，等势线和电场线的形状是否发生变化？
电场强度和电势分布是否发生变化？
为什么？
如果电源电压增大一倍，等势线和电场线的形状没有发生变化，但电场强度增强，电势的分布更为密集。
因为边界条件和导电介质都没有变化，所以电场的空间分布形状就不会变化，等势线和电场线的形状也就不会发生变化，但两电极间的电势差增大，等势线的分布就更为密集，相应的电场强度就会增加。
7、在测绘长直同轴圆柱面的电场时，什么因素会使等势线偏离圆形？
可能原因有：
电极形状偏离圆形，导电介质分布不均匀，测量时的偶然误差等等。
8、从对长直同轴圆柱面的等势线的定量分析看，测得的等势线半径和理论值相比是偏大还是偏小？
有哪些可能的原因导致这样的结果？
（1）偏大，可能原因有电极直径测量偏大，外环电极表面有氧化层产生附加电阻，电压标示器件显示偏大等；
（2）偏小，可能原因有电极直径测量偏小，中心电极表面有氧化层产生附加电阻，电压标示器件显示偏小等。
9、实验中如何做测量点？
（1）同轴柱形电极沿半径做测量点。
首先沿与实验者垂直的两个半径做测量点，沿半径由高电势向低电势（由中心电极向外电极）依次做四个测量点；再反方向沿另一个半径线做四个测量点；其次沿水平方向的两个半径做测量点，最后再做左斜和右斜的四个半径线，其布局如同一个“米”形。
这样做测量点的优点在于不会遗漏测量点，同时也可使同一条等势线上的测量点均匀分布。
做完所有等势线上测量点后，还需沿外电极外沿做三个测量点，以确定电极的圆心。
（2）平行板电极沿等势线做测量点，由高电势向低电势依次做出等势线。
沿等势线做测量点时，不可只局限于电极两端之间的区域内，一定要向外延伸扩展。
因为实验中的平行板电极是有限长的，在电极两端电场存在边缘效应，所以，在测量中沿等势线先在中间做四个测量点，其次在电极两端各做一个测量点，然后向两端外延约1厘米再各做一个测量点，最后，再沿两个电极板的四个角各做一个测量点，确定电极的位置。
10、如何绘制电场分布图？
（1）同轴柱形电极：
首先根据外电极外沿的三个测量点，用几何作图法确定圆心，由测出的半径a、b，画出完整的同轴柱形电极。
由公式算出各等势线的理论半径值，按理论半径值画出等势线。
用同一种符号标出同一等势线上的八个测量点，并注明等势线的量值。
再依据电场线与等势线处处正交的特性，画出电场线，标出其方向（由公式E=-dU/dr知，电场的方向是由高电势指向低电势）。
因为在静电平衡状态下，导体内部电场为零，电荷分布于导体表面。
所以电场线始于中心电极的外表面，终止于外电极的内表面。
最后写出图名（同轴柱形电极电场分布图）。
（2）平行板电极
根据确定电极位置的测量点画出两电极板，分别用光滑曲线连接同一电势的八个测量点，画出等势线，用同一种符号将测量点标出，并注明等势线量值。
与同轴电极一样，画出电场线及其方向。
在画电场线时，要特别注意靠近极板两端电场的边缘效应。
写出图名（平行板电极电场分布图）。
11、如何为什么对柱形电极要用半对数坐标纸作图？
怎样用半对数坐标纸作图？
由极间电势的公式可知
仅仅只是坐标的函数，所以用半对数坐标纸可以表现出与的线性关系，且作图比较便捷。
半对数坐标纸（又称单对数坐标纸）在制作时已将某个轴向取好对数，从坐标纸上看刻度值，一个轴向是均匀分布，而另一个轴向则是对数分布。
在做同轴柱形电极～理论曲线图时，在坐标纸上以均匀分布刻度为纵轴取名，以对数分布刻度为横轴取名，以点（,1）和点（,0）为端点，画出理论直线。
然后，分别量出各等势线上8个测量点的实际半径记录于数据表中，并算出各等势线实际平均半径值，在坐标纸上描出平均值点，观察其是否落在理论直线上。
12、请给出模拟平面板与其中垂面上长直带电圆柱体的电场的主要步骤？
（1）按线路图连接线路。
（2）用水准仪调平水槽架底座。
在水槽内注入一定量的水，在水槽架上层压好白纸，用于记录测绘点；接通电源，电压调至10V，其值由数字电压表置“输出”时读出，探针置于水槽外。
（3）将探针与内电极紧密接触，电压显示为10V，其值由数字电压表置“检测”时读出。
若电压显示为0V，则改变电源电压输出极性。
（4）让探针在两极间慢慢移动，依次测出电压分别为7.5V、5.0V、2.5V的等势线，每一个等势线8个测量点。
（5）用探针沿带电圆柱体电极外侧取三个记录点，用探针沿带电平面板电极外侧取四个记录点，用于确定电极的圆心和电极的厚度。
（6）在测量纸上用不同符号标注出各等势线上的测量点和等势线数值，画出电极，绘出实验等势线和电场线。
十二、教学后记
1、本实验所用介质溶液导电率远小于电极且处处均匀，所选的交流电的频率不能高，否则会出现电极间点电势不是目前增减的效应，本实验选用的是50HZ的交流电，以防止电介质的极化。
2、提醒学生槽内水液深度应各处相同，否则导电液不能视为均匀的不良导体薄层，模拟场和静电场的分布会不相同。
3、提醒学生在打点时，注意一条等势线上相邻两个记录点的距离约为为宜，曲线急转弯或两条曲线靠近处，记录应取得密一些，否则连线时会遇到困难。
4、提醒学生靠近水槽边界的图线不必绘出。
由于水槽边界条件的限制（水槽边界处水液中的电流只能沿边界平行流过等势线必然与边界垂直）边上的等势线和电场线的分布严重失真，失去了模拟的意义。
5、为了提高学生对该实验的兴趣和认识，可让学生对下列问题进行讨论和实验：
（1）如果电源电压增大一倍，等势线和电场线的形状是否发生变化？
电场强度和电势分布是否发生变化？
为什么？
（2）若在槽中自来水某处放入一个金属块，会出现什么现象？
若放入绝缘块又会出现什么现象？
（3）如果实验中水槽放置不平，沿某个方向倾斜，将对实验造成什么影响？
十三、实验成绩评定标准
实验操作要求
实验报告要求
等级
1
预习充分
格式规范
A：
达到要求
B：
基本达到要求
C：
达不到要求
D：
不及格
各档对应分数
（100）（95）（90）
（85）（80）（75）
（70）（65）（60）
2
目的明确
书写整洁
3
原理清楚
作图完美
4
步骤正确
表达完整
5
操作规范
结果分析
6
数据正确
实验体会
7
遵守纪律
见解创新
8
整理仪器
习题正确
1、实验有新发现，有创新或独到见解，实验成绩评定后，提高一档。
2、迟到，成绩降一档。
3、缺席，该次实验成绩为零分。
4、无故迟交报告，成绩降一档。
5、篡改实验数据，成绩降一档。
6、抄袭实验报告或数据，该实验成绩为零分。
十四、教材和教学参考书
教材：
杨长铭，等．大学物理实验教程．武汉：
武汉大学出版社，2012．
教学参考书：
1、杨述武．普通物理实验．北京：
高等教育出版社，2000．
2、漆安慎，杜婵英．普通物理学教程．北京：
高等教育出版社，2001．
3、李天应．物理实验．武汉：
武汉大学出版社，2002．
4、周殿清．大学物理实验．武汉：
武汉大学出版社，2002．
5、杨长铭，等．大学物理实验．武汉：
武汉大学出版社，2003．
6、熊永红，等．大学物理实验．武汉：
华中科技大学出版社，2004．
7、熊永红，张昆实，等．大学物理实验．北京：
科学出版社，2008．
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