韦达定理教案.docx
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韦达定理教案
教师一对一个性化教案
学生姓名
年级
日期
时间段
科目
授课教师
课时
授课类型
新课/复习课/作业讲解课
教学目标
教学重
点、难点及
考点分析
教学内容
个性化学习问
题解决
求代数式的值
一元二次韦达定理一应用
方程的求根公式
【内容分析】
求待定系数
构造方程
解特殊的二元二次方程组二次三项式的因式分解
韦达定理：
对于一元二次方程ax2•bx•c=0（a=0），如果方程有两个实数根捲，x2，那么
be
x,x2,x1x2:
aa
说明：
（1）定理成立的条件:
_0
教学过程
（2）注意公式重x,x2--b的负号与b的符号的区别
a
根系关系的三大用处
（1）计算对称式的值
例若x,,x2是方程x22x-2007=0的两个根，试求下列各式的值:
2211
（1）x1x2；
（2）—:
一；（3）（X1-5）（X2-5）；⑷|X1-X2〔.
x1他
解：
由题意，根据根与系数的关系得：
x1x^-2,）^X2二-2007
2222
（1）x1x2^（x1x2）—2x^2=（-2）—2（—2007）=4018
1丄1X]+x2-22
（2）12
X!
x2X!
x2-20072007
⑶（捲-5）（x2-5^x1x2-5（x1x2）25二-2007-5（-2），25二-1972
⑷|为—x2,（捲一x2）2=,（为x2）2—4x^2二.（一2）2-4（一2007）=22008
说明：
利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：
教学过程
2丄2/丄、2c11Xi+X2\2/丄\2,
Xi+x2—（论+x2）—2x^2，十一,（捲一x2）—（论+x2）—4x^2,
x-ix2x-ix2
|xi—X2|=J（xi+x2）■—4x|x2,xix2+xiX2=X1X2（xi*X2）,
333
Xi+X2=（Xi+X2）-3X|X2（Xi+X2）等等.韦达定理体现了整体思想.
【课堂练习】
222
1.设Xi,X2是方程2x—6x+3=0的两根，贝yXi+X2的值为
2.已知Xi,X2是方程2x—7x+4=0的两根，则xi+X2=,Xi•X2=,
（xi—X2）2=
2i
3.已知方程2x—3x+k=0的两根之差为22，贝Uk=;
4.若方程x2+（a2—2）x—3=0的两根是I和一3，贝Ua=;
5.右关于x的方程x+2（m—i）x+4m=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为；
6.设xi,X2是方程2x2—6x+3=0的两个根，求下列各式的值：
22iI
（i）xiX2+XIX2
（2）———
XiX2
7.已知Xi和X2是方程2x2—3x—I=0的两个根，禾U用根与系数的关系，求下列各式的值：
—i
22
XiX2
（2）构造新方程
理论：
以两个数帀、乃为根的一元二次方程是X（町+乃）兀+可乃°。
例解方程组x+y=5
xy=6
解：
显然，x，y是方程z2-5z+6=0①的两根
由方程①解得zi=2,z2=3
•••原方程组的解为xi=2,yi=3
x2=3,y2=2
显然，此法比代入法要简单得多。
（3）定性判断字母系数的取值范围
例一个三角形的两边长是方程2忑&+2.-0的两根，第三边长为2，求k的取值范围。
解：
设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为2/-也+2二°的两根，贝yc=2
•0,二是-人=X2，所以要分
AM,3
=0=k=
2
k=-1，由于
由题意知
2
△=k-4X2X2>0,k>4或kw-4
=|>0,>0
u
tlb=I
c=2
Sr
—>c=2.上》4
2
\a-b\=yj（a+by2-Aab=+JF二IE<.c=2,-A-Jl【典型例题】
1
k的值.
例1已知关于x的方程x2—（k+1）x+—k2+1=0，根据下列条件，分别求出
4
（1）方程两实根的积为5；
（2）方程的两实根X-I,x2满足|X1\=x2.
分析：
（1）由韦达定理即可求之；
（2）有两种可能，一是x,=X2
类讨论.
解：
（1）•••方程两实根的积为5
212
:
H-（k1）]-4屮1）_03
4二k_3,k=4
12
NX?
k21=5
L4
所以，当k=4时，方程两实根的积为5.
（2）由\X1〔=X2得知：
1当X1一0时，-X2，所以方程有两相等实数根，故
2当x1:
:
0时，=x2=%x2=0=k1=0=
3
；一0=k「―，故k■-1不合题意，舍去.
2
3
综上可得，k=2时，方程的两实根X!
X2满足\X1戶X2.
说明：
根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件,
即所求的字母应满足:
-0.
2
例2已知X1,x2是一元二次方程4kx-4kxk^0的两个实数根.
（2）求使空十竺_2的值为整数的实数k的整数值.
x2x1
3
解：
⑴假设存在实数k，使（2xi-X2）（xi-2x2）成立.
•••一元二次方程4kx2-4kxk^0的两个实数根
4k=0
2=k:
:
0,
.■:
=（_4k）2-44k（k1）二―16k_0
2
又Xi,X2是一元二次方程4kx-4kxk^0的两个实数根
Xx2=1x1x2
4k
222
•（2捲一x2）（为一2x2）=2（捲x2）-5x^2二2（x1x2）-9x1x2
-「3二k=9，但k0.
4k25
3
•不存在实数k，使（2为一X2）（X1-2x2）成立.
•••要使其值是整数，只需k1能被4整除，故k，1=：
「1,_2,_4,
要使生+生_2的值为整数的实数k的整数值为-2,-3,-5.x2x-i
说明：
（1）存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在.
4
（2）本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法.
k+1
一元二次方程根与系数的关系练习题
A组
1.一元二次方程（1-k）x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A.k2B.k：
：
2,且k=1C.k2D.k2,且k=1
11
2•若x1,x2是方程2x2-6x■3=0的两个根，则一•一的值为（X-IX?
A.2B.-2
C.
D.
3.已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于0点，且OA0B的长分别是关于X的方程
x2（2m—1）xm23=0的根，贝Um等于（）
A.一3B.5C.5或—3D.-5或3
4.若t是一元二次方程ax2bx0（a=0）的根，则判别式厶=b2-4ac和完全平方式
2
M=（2atb）的关系是（）
A.=MB.厶.MC..「：
：
MD.大小关系不能确定
22b—1a—1
5.若实数a=b，且a,b满足a—8a•5=0,b—8b•5=0,则代数式亠的值为（）
a-1b-1
A.-20B.2C.2或—20D.2或20
6.如果方程（b—c）x2+（c—a）x+（a—b）=0的两根相等，则a,b,c之间的关系是
7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x2_8x•7=0的两个根，则这个直角三角形的
斜边长是.
&若方程2x2—（k+1）x+k+3=0的两根之差为1，则k的值是.
9.设x1,x2是方程x2px0的两实根，x11,x21是关于x的方程x2•qx•p=0的两实根，
贝Hp=,q=.
10.已知实数a,b,c满足a=6—b,c2=ab—9，贝ya=,b=,c=.
11.对于二次三项式x2-10x36,小明得出如下结论：
无论x取什么实数，其值都不可能等于10.您是否同意他的看法？
请您说明理由.
1rm
12•若n，关于x的方程x2-（m-2n）x•-mn=0有两个相等的的正实数根，求一的值.
4n
13.已知关于x的一元二次方程x2（4mT）x•2m-1=0.
（1）求证：
不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
111
（2）若方程的两根为x（,x2，且满足，求m的值.
x-ix22
1
14.已知关于x的方程x2-（k1）^-k2•1=0的两根是一个矩形两边的长.
4
（1）k取何值时，方程存在两个正实数根？
（2）当矩形的对角线长是「5时，求k的值.
B组
2
1已知关于x的方程（k-1）x•（2k-3）x•k•1=0有两个不相等的实数根X!
X2.
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？
如果存在，求出k的值；如果不存在，请您说
明理由.
2.已知关于x的方程X2•3x-m=0的两个实数根的平方和等于11•求证：
关于x的方程
22
（k-3）xkmx-m6m-4=0有实数根.
3•若x「X2是关于x的方程x2-（2k1）xk20的两个实数根，且x「X2都大于1.
（1）求实数k的取值范围；
⑵若x1=1，求k的值.
x22
答案
A组
1.
B2.A3.A4.A
5.A
6.
ac=2b,且b=c
7.
38.9或-3
9.p--1,q--3
10.
a=3,b=3,c=0
11.正确
12.4
21
13.（1p=16m250⑵m=
3
14.
（1）k：
_—
（2）k=2
1.
2.
（1K13且k=1
12
（2）不存在
m=1
（1）当k=3时，方程为3x*1=0，有实根;
⑵当k=3时，厶也有实根.
3.
（1）k一3且k=1；
（2）k=7.
4
课后作业
可附页
班主任收回审批签字
教学主任课前审批签字（或盖早）
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