韦达定理教案.docx
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韦达定理教案
教师一对一个性化教案
学生姓名
年级
日期
时间段
科目
授课教师
课时
授课类型
新课/复习课/作业讲解课
教学目标
教学重
点、难点及
考点分析
教学内容
个性化学习问
题解决
求代数式的值
一元二次韦达定理一应用
方程的求根公式
【内容分析】
求待定系数
构造方程
解特殊的二元二次方程组二次三项式的因式分解
韦达定理:
对于一元二次方程ax2•bx•c=0(a=0),如果方程有两个实数根捲,x2,那么
be
x,x2,x1x2:
aa
说明:
(1)定理成立的条件:
_0
教学过程
(2)注意公式重x,x2--b的负号与b的符号的区别
a
根系关系的三大用处
(1)计算对称式的值
例若x,,x2是方程x22x-2007=0的两个根,试求下列各式的值:
2211
(1)x1x2;
(2)—:
一;(3)(X1-5)(X2-5);⑷|X1-X2〔.
x1他
解:
由题意,根据根与系数的关系得:
x1x^-2,)^X2二-2007
2222
(1)x1x2^(x1x2)—2x^2=(-2)—2(—2007)=4018
1丄1X]+x2-22
(2)12
X!
x2X!
x2-20072007
⑶(捲-5)(x2-5^x1x2-5(x1x2)25二-2007-5(-2),25二-1972
⑷|为—x2,(捲一x2)2=,(为x2)2—4x^2二.(一2)2-4(一2007)=22008
说明:
利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:
教学过程
2丄2/丄、2c11Xi+X2\2/丄\2,
Xi+x2—(论+x2)—2x^2,十一,(捲一x2)—(论+x2)—4x^2,
x-ix2x-ix2
|xi—X2|=J(xi+x2)■—4x|x2,xix2+xiX2=X1X2(xi*X2),
333
Xi+X2=(Xi+X2)-3X|X2(Xi+X2)等等.韦达定理体现了整体思想.
【课堂练习】
222
1.设Xi,X2是方程2x—6x+3=0的两根,贝yXi+X2的值为
2.已知Xi,X2是方程2x—7x+4=0的两根,则xi+X2=,Xi•X2=,
(xi—X2)2=
2i
3.已知方程2x—3x+k=0的两根之差为22,贝Uk=;
4.若方程x2+(a2—2)x—3=0的两根是I和一3,贝Ua=;
5.右关于x的方程x+2(m—i)x+4m=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为;
6.设xi,X2是方程2x2—6x+3=0的两个根,求下列各式的值:
22iI
(i)xiX2+XIX2
(2)———
XiX2
7.已知Xi和X2是方程2x2—3x—I=0的两个根,禾U用根与系数的关系,求下列各式的值:
—i
22
XiX2
(2)构造新方程
理论:
以两个数帀、乃为根的一元二次方程是X(町+乃)兀+可乃°。
例解方程组x+y=5
xy=6
解:
显然,x,y是方程z2-5z+6=0①的两根
由方程①解得zi=2,z2=3
•••原方程组的解为xi=2,yi=3
x2=3,y2=2
显然,此法比代入法要简单得多。
(3)定性判断字母系数的取值范围
例一个三角形的两边长是方程2忑&+2.-0的两根,第三边长为2,求k的取值范围。
解:
设此三角形的三边长分别为a、b、c,且a、b为2/-也+2二°的两根,贝yc=2
•0,二是-人=X2,所以要分
AM,3
=0=k=
2
k=-1,由于
由题意知
2
△=k-4X2X2>0,k>4或kw-4
=|>0,>0
u
tlb=I
c=2
Sr
—>c=2.上》4
2
\a-b\=yj(a+by2-Aab=+JF二IE<.c=2,-A-Jl【典型例题】
1
k的值.
例1已知关于x的方程x2—(k+1)x+—k2+1=0,根据下列条件,分别求出
4
(1)方程两实根的积为5;
(2)方程的两实根X-I,x2满足|X1\=x2.
分析:
(1)由韦达定理即可求之;
(2)有两种可能,一是x,=X2
类讨论.
解:
(1)•••方程两实根的积为5
212
:
H-(k1)]-4屮1)_03
4二k_3,k=4
12
NX?
k21=5
L4
所以,当k=4时,方程两实根的积为5.
(2)由\X1〔=X2得知:
1当X1一0时,-X2,所以方程有两相等实数根,故
2当x1:
:
0时,=x2=%x2=0=k1=0=
3
;一0=k「―,故k■-1不合题意,舍去.
2
3
综上可得,k=2时,方程的两实根X!
X2满足\X1戶X2.
说明:
根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,
即所求的字母应满足:
-0.
2
例2已知X1,x2是一元二次方程4kx-4kxk^0的两个实数根.
(2)求使空十竺_2的值为整数的实数k的整数值.
x2x1
3
解:
⑴假设存在实数k,使(2xi-X2)(xi-2x2)成立.
•••一元二次方程4kx2-4kxk^0的两个实数根
4k=0
2=k:
:
0,
.■:
=(_4k)2-44k(k1)二―16k_0
2
又Xi,X2是一元二次方程4kx-4kxk^0的两个实数根
Xx2=1x1x2
4k
222
•(2捲一x2)(为一2x2)=2(捲x2)-5x^2二2(x1x2)-9x1x2
-「3二k=9,但k0.
4k25
3
•不存在实数k,使(2为一X2)(X1-2x2)成立.
•••要使其值是整数,只需k1能被4整除,故k,1=:
「1,_2,_4,
要使生+生_2的值为整数的实数k的整数值为-2,-3,-5.x2x-i
说明:
(1)存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存在.
4
(2)本题综合性较强,要学会对为整数的分析方法.
k+1
一元二次方程根与系数的关系练习题
A组
1.一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()
A.k2B.k:
:
2,且k=1C.k2D.k2,且k=1
11
2•若x1,x2是方程2x2-6x■3=0的两个根,则一•一的值为(X-IX?
A.2B.-2
C.
D.
3.已知菱形ABCD的边长为5,两条对角线交于0点,且OA0B的长分别是关于X的方程
x2(2m—1)xm23=0的根,贝Um等于()
A.一3B.5C.5或—3D.-5或3
4.若t是一元二次方程ax2bx0(a=0)的根,则判别式厶=b2-4ac和完全平方式
2
M=(2atb)的关系是()
A.=MB.厶.MC..「:
:
MD.大小关系不能确定
22b—1a—1
5.若实数a=b,且a,b满足a—8a•5=0,b—8b•5=0,则代数式亠的值为()
a-1b-1
A.-20B.2C.2或—20D.2或20
6.如果方程(b—c)x2+(c—a)x+(a—b)=0的两根相等,则a,b,c之间的关系是
7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x2_8x•7=0的两个根,则这个直角三角形的
斜边长是.
&若方程2x2—(k+1)x+k+3=0的两根之差为1,则k的值是.
9.设x1,x2是方程x2px0的两实根,x11,x21是关于x的方程x2•qx•p=0的两实根,
贝Hp=,q=.
10.已知实数a,b,c满足a=6—b,c2=ab—9,贝ya=,b=,c=.
11.对于二次三项式x2-10x36,小明得出如下结论:
无论x取什么实数,其值都不可能等于10.您是否同意他的看法?
请您说明理由.
1rm
12•若n,关于x的方程x2-(m-2n)x•-mn=0有两个相等的的正实数根,求一的值.
4n
13.已知关于x的一元二次方程x2(4mT)x•2m-1=0.
(1)求证:
不论为任何实数,方程总有两个不相等的实数根;
111
(2)若方程的两根为x(,x2,且满足,求m的值.
x-ix22
1
14.已知关于x的方程x2-(k1)^-k2•1=0的两根是一个矩形两边的长.
4
(1)k取何值时,方程存在两个正实数根?
(2)当矩形的对角线长是「5时,求k的值.
B组
2
1已知关于x的方程(k-1)x•(2k-3)x•k•1=0有两个不相等的实数根X!
X2.
(1)求k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使方程的两实根互为相反数?
如果存在,求出k的值;如果不存在,请您说
明理由.
2.已知关于x的方程X2•3x-m=0的两个实数根的平方和等于11•求证:
关于x的方程
22
(k-3)xkmx-m6m-4=0有实数根.
3•若x「X2是关于x的方程x2-(2k1)xk20的两个实数根,且x「X2都大于1.
(1)求实数k的取值范围;
⑵若x1=1,求k的值.
x22
答案
A组
1.
B2.A3.A4.A
5.A
6.
ac=2b,且b=c
7.
38.9或-3
9.p--1,q--3
10.
a=3,b=3,c=0
11.正确
12.4
21
13.(1p=16m250⑵m=
3
14.
(1)k:
_—
(2)k=2
1.
2.
(1K13且k=1
12
(2)不存在
m=1
(1)当k=3时,方程为3x*1=0,有实根;
⑵当k=3时,厶也有实根.
3.
(1)k一3且k=1;
(2)k=7.
4
课后作业
可附页
班主任收回审批签字
教学主任课前审批签字(或盖早)
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