小五数学第9讲:工程问题(教师版).docx
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第九讲工程问题
1基本公式:
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
2解题关键:
这类题一般不给出总量,所以要把工作总量看做单位“1”,那么工效=1/时间
3用分数解工程问题的方法:
把工作总量看作单位“1”。
分别找出各自的工作效率和合作工作效率。
根据“工程总量÷工作效率和=合作的时间”列式解答。
4基本题型
普通合作问题、交替工作问题、功效变化问题、方程组型问题、水池注水问题
熟记基本公式,把工作总量看作单位1
例1、一项工作,甲独做12天完成,乙独做20天完成。
①甲乙合做1天完成全工程的几分之几?
②甲乙合做3天完成全工程的几分之几?
还剩几分之几没完成?
③甲乙合做几天可完成全工程?
④甲乙合做几天完成全工程的一半?
⑤甲乙合做5天后,余下的再由乙单独完成,还需几天?
⑥甲先做2天后,余下的乙也参加同做,还需几天完成?
答案:
①2/15②2/53/5③15/2④15/4⑤20/3⑥75/12
解析:
①甲乙合做1天完成全工程的1/12+1/20=2/15
②甲乙合做3天完成全工程的2/15×3=2/5还剩1-2/5=3/5
③1÷2/15=15/2④1/2÷2/15=15/4⑤甲乙合做5天完成2/15×5=2/3还剩1-2/3=1/3乙单独完成,还需1/3÷1/20=20/3⑥甲先做2天完成1/12×2=1/6还剩1-1/6=5/65/6÷2/15=75/12
例2、一堆沙子,甲车运完要6小时,乙车运完要8小时,丙车运完要9小时。
①甲、乙、丙三车合运1小时,可以运走这堆沙子的几分之几?
②甲、乙、丙同时合运几小时可运完?
③甲、乙、丙合运几小时,还剩这堆沙子的2/3?
④甲、乙同时合运3小时后,丙也参加,还需几小时运完?
答案:
①29/72②72/29③24/29④9/29
解析:
①甲车的工作效率为1/6,乙车的工作效率为1/8,丙车的工作效率为1/9.
甲、乙、丙三车合运1小时,可以运走这堆沙子的1/6+1/8+1/9=29/72
②1÷29/72=72/29
③1/3÷29/72=24/29
④甲、乙同时合运3小时后完成(1/6+1/8)×3=7/8,1-7/8=1/8
1/8÷29/72=9/29
例3、一件工作,甲单独做12小时完成,乙单独做9小时可以完成。
如果按照甲先乙后的顺序,每人每次1小时轮流进行,完成这件工作需要几小时?
答案:
31/3
解析:
设这件工作为“1”,则甲、乙的工作效率分别是1/12和1/9。
按照甲先乙后的顺序,每人每次1小时轮流进行,甲、乙各工作1小时,完成这件工作的7/36,甲、乙这样轮流进行了5次,即10小时后,完成了工作的35/36,还剩下这件工作的1/36,剩下的工作由甲来完成,还需要1/3小时,因此完成这件工作需要31/3小时。
例4甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。
在晴天,一队完成甲工程需要12天。
二队完成乙工程需要15天;在雨天,一队的工作效率要下降40%,二队的工作效率要下降10%。
结果两队同时完成这两项工程,那么在施工的日子里,雨天有多少天?
答案:
10
解析:
晴天,一队完成甲工程的工作效率为1/12,二队完成乙工程的工作效率为1/15,
雨天,一队完成甲工程的工作效率为1/12×60%=1/20,二队完成乙工程的工作效率为
1/15×90%=3/50
设雨天x天,(1-1/20x)÷1/12=(1-3/50x)÷1/15x=10
例5一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元,问:
(1)甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元?
(2)已知甲组单独做需12天完成,乙组单独做需24天完成,单独请哪组,商店所付费用最少?
答案:
甲组单独做一天商店应付300元,乙组单独做一天商店应付140元。
乙组单独做费用最少
解析:
(1)设甲组单独做一天商店应付x元,乙组单独做一天商店应付y元,依题意得:
解得
答:
甲组单独做一天商店应付300元,乙组单独做一天商店应付140元。
(2)单独请甲组做,需付款300×12=3600元,单独请乙组做,需付款24×140=3360元,
故请乙组单独做费用最少。
答:
请乙组单独做费用最少。
例6一个游泳池,甲管放满水需6小时,甲、乙两管同时放水,放满需4小时。
如果只用乙管放水,则放满需多少小时?
答案:
12小时
解析:
设游泳池放满水的工作量为1,甲管放满水需6小时,则甲每小时完成工作量的1/6甲、乙两管同时放水,放满需4小时,则甲乙共同注水,每小时可注游泳池的1/4,则乙每小时注水的量为1/4-1/6=1/12,则如果只用乙管放水,则放满需12小时。
另法:
甲乙同时放水需要4小时=甲4乙4=甲6 则乙=0.5甲,需要12小时。
A
1、修一条路,甲队独修要12天,乙队独修要15天。
①两队合修,多少天可以完成?
②甲队先修4天后,剩下的由乙队来修,还要多少天才能修完?
③两队合修5天后,剩下的由甲队来修,还要多少天才能修完?
答案:
①20/3②10③3
解析:
①甲乙合修一天完成1/12+1/15=3/201÷3/20=20/3
②甲队先修4天后完成1/12×4=1/3,还剩1-1/3=2/3,2/3÷1/15=10
③两队合修5天后完成3/20×5=3/4,还剩1-3/4=1/4,1/4÷1/12=3
2、一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成。
现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续完成,乙还需要做几天可以完成全部工作?
答案:
4
解析:
甲的工作效率为1/9,乙的工作效率为1/6.甲先做了3天完成1/9×3=1/3,还剩1-1/3=2/3.2/3÷1/6=4
3一件工程,甲、乙合作6天可以完成。
现在甲、乙合作2天后,余下的工程由乙独做又用8天正好做完。
这件工程如果由甲单独做,需要几天完成?
答案:
12
解析:
甲、乙合作2天,甲2乙2,剩下应该是甲4乙4=乙8.则甲=乙,所以甲单独完成需要甲6+乙6=12天。
4、加工一批零件,单独1人做,甲要10天完成,乙要15天完成,丙要12天完成。
如果先由甲、乙两人合做5天后,剩下的由丙1人做,还要几天完成?
答案:
2
解析:
甲的工作效率1/10,乙的工作效率1/15,丙工作效率1/12.甲、乙两人合做5天后完成(1/10+1/15)×5=5/6.还剩1-5/6=1/6,丙还需做1/6÷1/12=2天
5.甲乙两个水管单独开,注满一池水,分别需要20小时,16小时.丙水管单独开,排一池水要10小时,若水池没水,同时打开甲乙两水管,5小时后,再打开排水管丙,问水池注满还是要多少小时?
答案:
5
解析:
1/20+1/16=9/80表示甲乙的工作效率
9/80×5=45/80表示5小时后进水量
1-45/80=35/80表示还要的进水量
35/80÷(9/80-1/10)=35表示还要35小时注满
答:
5小时后还要35小时就能将水池注满。
B
6 一件工程,甲、乙合作6天可以完成。
现在甲、乙合作2天后,余下的工程由乙独做又用8天正好做完。
这件工程如果由甲单独做,需要几天完成?
答案:
12
解析:
甲、乙合作2天,甲2乙2,剩下应该是甲4乙4=乙8.则甲=乙,所以甲单独完成需要12天。
7、一项工作,甲、乙两人合作8天完成,乙、丙两人合作9天完成,丙、甲两人合作18天完成。
那么丙一个人来做,完成这项工作需要多少天?
答案:
48
解析:
甲、乙两人合作一天完成1/8,乙、丙两人合作一天完成1/9,丙、甲两人合作一天完成1/18,甲-丙=1/8-1/9=1/72,甲+丙=1/18,丙的工作效率=(1/18-1/72)÷2=1/48,完成这项工作需要1÷1/48=48天
8有一条公路,甲队独修需10天,乙队独修需12天,丙队独修需15天,现在让三个队合修,但中间甲队撤出去到另外工地,结果用了6天才把这条公路修完。
当甲队撤出后,乙、丙两队一同合修了多少天才完成?
答案:
34/15
解析:
甲的工作效率=1/10,乙的工作效率=1/12,,丙的工作效率=1/15
设当甲队撤出后,乙、丙两队一同合修了x天才完成.
(1/10+1/12+1/15)(6-x)+(1/12+1/15)x=1x=34/15
9一件工程,甲、乙两人合作8天可以完成,乙、丙两人合作6天可以完成,丙、丁两人合作12天可以完成。
那么甲、丁两人合作多少天可以完成?
答案:
24
解析:
总量为1,工作效率甲+乙=1/8,乙+丙=1/6,丙+丁=1/12,
则甲+丁=1/8-1/6+1/12=1/24甲、丁两人合作1÷1/24=24天可以完成
10抄一份书稿,甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和;丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的。
如果三人合抄,只需8天就完成了,那么乙一人单独抄,需要多少天才能完成?
答案:
6
解析:
工作总量为1,依题意,工作效率甲=乙+丙①,丙=(甲+乙)×1/5②,甲+乙+丙=1/8③,①代入②得,乙=2丙④,①代入③得,乙+丙=1/4⑤。
由④⑤得乙=1/6,乙一人单独抄,需要1÷1/6=6天才能完成。
11一份稿件,甲、乙、丙三人单独打各需20、24、30小时。
现在三人合打,但甲因中途另有任务提前撤出,结果用12小时全部完成。
那么,甲只打了几小时?
答案:
2
解析:
设打这份稿件的总工作量是“1”,则甲、乙、丙三人的工作效率分别1/20、1/24和1/30。
在甲中途撤出前后,其实乙、丙二人始终在打这份稿件,乙、丙12小时打了这份稿件的9/10,还剩下稿件的1/10,这就是甲打的。
所以,甲只打了2小时。
C
12 铺设一条自来水管道,甲队单独铺设8天可以完成,而乙队每天可铺设50米。
如果
甲、乙两队同时铺设,4天可以完成全长的2/3,这条管道全长是多少米?
A1000米 B1100米 C1200米 D1300米
答案:
C
解析:
设乙需要X天完成这项工程,依题意可列方程
(1/8+1/X)×4=2/3
解得X=24
也即乙每天可完成总工程的1/24,也即50米,所以管道总长为1200米。
所以,正确答案为C。
另法:
甲4天完成1/2,乙4天完成200米=1/6,全长1200米。
13.两根同样长的蜡烛,点完一根粗蜡烛要2小时,而点完一根细蜡烛要1小时,一天晚上停电,小芳同时点燃了这两根蜡烛看书,若干分钟后来电了,小芳将两支蜡烛同时熄灭,发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍,问:
停电多少分钟?
答案:
40分钟。
解析:
设停电了x分钟
根据题意列方程
1-1/120*x=(1-1/60*x)*2
解得x=40
14.一项工程,第一天甲做,第二天乙做,第三天甲做,第四天乙做,这样交替轮流做,
恰好用整数天完工;如果第一天乙做,第二天甲做,第三天乙做,第四天甲做,这样交替轮流做,那么完工时间要比前一种多半天。
已知乙单独做这项工程需17天完成,甲单独做这项工程要多少天完成?
答案:
8.5
解析:
由题意可知
1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲=1
1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5=1
(1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率,最后结束必须如上所示,否则第二种做法就不比第一种多0.5天)
1/甲=1/乙+1/甲×0.5(因为前面的工作量都相等)
得到1/甲=1/乙×2
又因为1/乙=1/17
所以1/甲=2/17,甲等于17÷2=8.5天
15.修一条水渠,单独修,甲队需要20天完成,乙队需要30天完成。
如果两队合作,由于彼此施工有影响,他们的工作效率就要降低,甲队的工作效率是原来的五分之四,乙队工作效率只有原来的十分之九。
现在计划16天修完这条水渠,且要求两队合作的天数尽可能少,那么两队要合作几天?
答案:
10
解析:
由题意得,甲的工效为1/20,乙的工效为1/30,甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10=7/100,可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。
又因为,要求“两队合作的天数尽可能少”,所以应该让做的快的甲多做,16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。
只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。
设合作时间为x天,则甲独做时间为(16-x)天
1/20*(16-x)+7/100*x=1x=10
答:
甲乙最短合作10天
16 一个水池有两个排水管甲和乙,一个进水管丙.若同时开放甲、丙两管,20小时可将满池水排空;若同时开放乙、丙两水管,30小时可将满池水排空,若单独开丙管,60小时可将空池注满.若同时打开甲、乙、丙三水管,要排空水池中的满池水,需几小时?
答案:
10
解析:
工程问题最好采用方程法。
由题可设甲X小时排空池水,乙Y小时排空池水,则可列方程组
1/X-1/60=1/20 解得X=15
1/Y-1/60=1/30 解得Y=20
则三个水管全部打开,则需要1÷(1/15+1/20-1/60)=10
所以,同时开启甲、乙、丙三水管将满池水排空需10小时。
1.师徒俩人加工同样多的零件。
当师傅完成了1/2时,徒弟完成了120个。
当师傅完成了任务时,徒弟完成了4/5这批零件共有多少个?
答案:
300个
解析:
120÷(4/5÷2)=300个
可以这样想:
师傅第一次完成了1/2,第二次也是1/2,两次一共全部完工,那么徒弟第二次后共完成了4/5,可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5,刚好是120个。
2.一件工作,甲、乙合做需4小时完成,乙、丙合做需5小时完成。
现在先请甲、丙合做2小时后,余下的乙还需做6小时完成。
乙单独做完这件工作要多少小时?
答案:
20
解析:
由题意知,1/4表示甲乙合作1小时的工作量,1/5表示乙丙合作1小时的工作量
(1/4+1/5)×2=9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。
根据“甲、丙合做2小时后,余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。
所以1-9/10=1/10表示乙做6-4=2小时的工作量。
1/10÷2=1/20表示乙的工作效率。
1÷1/20=20小时表示乙单独完成需要20小时。
答:
乙单独完成需要20小时。
3.某工程队需要在规定日期内完成,若由甲队去做,恰好如期完成,若乙队去做,要超过规定日期三天完成,若先由甲乙合作二天,再由乙队单独做,恰好如期完成,问规定日期为几天?
答案:
6天
解析:
由“若乙队去做,要超过规定日期三天完成,若先由甲乙合作二天,再由乙队单独做,恰好如期完成,”可知:
乙做3天的工作量=甲2天的工作量
即:
甲乙的工作效率比是3:
2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2:
3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷(3-2)×2=6天,就是甲的时间,也就是规定日期
方程方法:
[1/x+1/(x+2)]×2+1/(x+2)×(x-2)=1解得x=6
4.小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元;若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周完成,需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成,从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司?
请你说明理由.
答案:
选乙
解析:
设甲、乙两公司每周完成总工程的和,由题意得:
,解得:
所以甲、乙单独完成这项工程分别需要10周、15周。
设需要付甲、乙每周的工钱分别是万元,万元,根据题意得:
,解得:
故甲公司单独完成需工钱:
(万元);乙公司单独完成需工钱:
(万元)。
答:
甲公司单独完成需6万元,乙公司单独完成需4万元,故从节约的角度考虑,应选乙公司单独完成.
5、甲乙两根进水管,单开甲管10小时注满水池,单开乙管15小时注满水池,若两管齐开,几小时可注满水池?
答案:
6
解析:
单开甲管每小时注入1/10,单开乙管每小时注入1/15,两管齐开每小时注入1/10+1/15=1/6注满水池需1÷1/6=6
6一个池上装有3根水管。
甲管为进水管,乙管为出水管,20分钟可将满池水放完,丙管也是出水管,30分钟可将满池水放完。
现在先打开甲管,当水池水刚溢出时,打开乙,丙两管用了18分钟放完,当打开甲管注满水是,再打开乙管,而不开丙管,多少分钟将水放完?
答案:
45分钟。
解析:
1÷(1/20+1/30)=12表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
1/12*(18-12)=1/12*6=1/2表示乙丙合作将漫池水放完后,还多放了6分钟的水,也就是甲18分钟进的水。
1/2÷18=1/36表示甲每分钟进水
最后就是1÷(1/20-1/36)=45分钟。
1.一批树苗,如果分给男女生栽,平均每人栽6棵;如果单份给女生栽,平均每人栽10棵。
单份给男生栽,平均每人栽几棵?
答案:
15棵
解析:
1÷(1/6-1/10)=15棵
2蓄水池有甲丙两条进水管和乙丁两台排水管。
要注满一池水,单开甲管要3小时,单开丙管要5小时。
要排光一池水,单开乙管要4小时,单开丁管要6小时。
现知池内有1/6池水,如果按甲乙丙丁、甲乙丙丁……的顺序轮流各开一小时,问多少时间后,水开始溢出水池?
答案:
20.75
解析:
甲乙丙丁四条水管各开一个小时以后,也就是一个轮回,水池的水量是:
(1/3+1/5)-(1/4+1/6)=7/60;
当N个轮回结束,水池水量超过2/3时候,再单独开甲就要有水溢出。
1/6+N×7/60=2/3 解得N≈4.3,取N=5
1-1/6-5×7/60=1/4 需要3/4小时。
则总时间为4×5+3/4=20.75
3一项工程,甲独做需10天,乙独做需15天,如果两人合做,他们的工作效率就要降低,甲只能完成原来的,乙只能完成原来的,现在要8天完成这项工程,两人合作天数尽可能少,那么两人要合作多少天?
答案:
5
解析:
甲单独做的工作效率为1/10,乙单独做的工作效率为1/15。
甲乙合作后,甲的工作效率为1/10×4/5=2/25,乙的工作效率为1/15×9/10=3/50,甲乙合作每小时完成2/25+3/50=7/50。
甲的速度比乙快,正确做法甲单独做+两人合作,
设两人要合作x天,则1/10×(8-x)+7/50×x=1x=5
4某项工程,甲单独做需36天完成,乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合
做,中途甲队退出转做新的工程,那么乙队又做了18天才完成任务。
问:
甲队干了多少天?
答案:
12
解析:
甲的工作效率为1/36,乙的工作效率为1/45,乙队做了18天完成1/45×18=2/5
甲乙共完成了1-2/5=3/5,甲乙合作3/5÷(1/36+1/45)=12
5单独完成某工程,甲队需10天,乙队需15天,丙队需20天。
开始三个队一起干,因工作需要甲队中途撤走了,结果一共用了6天完成这一工程。
问:
甲队实际工作了几天?
答案:
3
解析:
甲的工作效率=1/10,乙的工作效率=1/15,丙的工作效率=1/20;甲乙丙合作一天完成1/10+1/15+1/20=13/60;乙丙合作一天完成1/15+1/20=7/60;
设甲队实际工作了x天,13/60×(6-x)+7/60×x=1x=3
6一批零件,张师傅独做20时完成,王师傅独做30时完成。
如果两人同时做,那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。
这批零件共有多少个?
答案:
300
解析:
把工作总量看作单位1,则张师傅的工作效率为1/20,王师傅的工作效率为1/30.
张师傅王张师傅完成总量需1÷(1/20+1/30)=12小时。
张师傅比王师傅多做(1/20-1/30)×12=1/5.这批零件共有60÷1/5