插板法原理及应用Word格式文档下载.docx

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8个完全一样的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放两个球，有C〔42〕种；

这三种根本形式，要牢牢掌握。

例1：

某单位订阅了30份一样的学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。

问共有多少种不同的发放方法？

【2021】

A.12B.10C.9D.7

每个局部先提前分8份材料，还剩下30-3×

8=6份；

相当于6份材料分给3个部门，每个部门至少分1份，插板法C〔52〕=10种，选B

例2：

某办公室接到15份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。

假设每名工作人员处理的公文份数不得少于3份，也不得多于10份，那么共有〔〕种分配方式。

A.15B.18C.21D.28

每人先分2份、还剩下15-3×

2=9份；

相当于9份公文分给三个人，每人至少1份、至多8份，插板法C〔82〕=28种，选D

例3：

某单位共有10个进修的名额分到下属科室，每个科室至少一个名额，假设有36种不同分配方案，问该单位最多有多少个科室？

【2021】

A.7B.8C.9D.10

C〔10-1，n-1〕=36，代入n=8满足，选B

补充：

假设问最少有多少个科室，因为C〔92〕=36，此时为3个科室。

例4：

把10个一样的球放入编号为1，2，3的三个盒子中，使得每个盒子中的球数不小于它的编号，那么不同的方法有〔　　〕种。

A.10B.15C.20D.25

第二个盒子先提前放1个球、第三个盒子先提前放2个球，还剩下10-1-2=7个球；

相当于把7个一样的球放入三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，插板法C〔62〕=15种，选B

例5：

把10个一样小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？

A.15B.28C.36D.66

第二个盒子先提前放2个球、从第三个盒子拿出1个球，还剩下10-2+1=9个球；

相当于把9个一样的球放入三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，插板法C〔82〕=28种，选D

例6：

现有9块巧克力〔其中5块有夹心〕，假设将这些巧克力分给3个小朋友，平均每个人都有3块，问每个小朋友都至少分得1块夹心巧克力的情况有多少种？

【粉笔模考】

A.6B.9C.12D.25

相当于把5块夹心巧克力分给3个人，每人至少1块、至多3块，插板法C〔42〕=6种，然后再分配非夹心巧克力使得每人恰好3块即可，选A

对于插板法的根底题型来说，最关键的一步就是把题中的条件转化成插板法的标准形式，即“每组至少一个〞。

★插板法技巧进阶篇

①在直接使用插板法时，有时会出现不满足题意的情况，需要减掉。

某单位购置了10台新电脑，方案分配给甲、乙、丙3个部门使用。

每个部门都需要新电脑,且每个部门最多得到5台，那么电脑分配方法共有〔〕种。

A.9B.12C.18D.27

插板法C〔92〕=36种；

然后去掉不满足题意的情况〔即有的部门多于5台〕：

选一个部门C〔31〕、先分给这个部门5台，再把剩下的5台分给3个部门，插板法C〔42〕，那么不满足题意的情况有C〔31〕×

C〔42〕=18种，满足题意的情况有36-18=18种，选C

例7：

有3个单位共订300份?

人民日报?

，每个单位最少订99份，最多101份。

问一共有多少种不同的订法？

A.4B.5C.6D.7

解法一：

分类：

99+100+101的情况有A〔33〕=6种，100+100+100的情况有一种，共7种，选D

解法二：

每个单位先提前分98份，还剩下300-3×

98=6份；

相当于把6份日报分给3个单位，每个单位至少分1份、至多分3份，插板法减去有单位分到4份的情况，C〔52〕-C〔31〕=7种，选D

②有时直接正面使用插板法，因为需要减掉的情况比较多，可以考虑从反面入手，利用“先全局部下去再收回一局部〞的思想。

四个小朋友分17个一样的玩具，每人至多分5个，至少分1个，那么有多少种分法？

【招警2021】

A.18B．19C．20D．21

每个小朋友先分5个、共分了20个，再收回20-17=3个，每人至少交回0个，插板法C〔63〕=20种，选C

某快问快答节目第一关设置4道题，选手答错任意一题那么立即停顿答题。

比赛规定：

第一题到第四题的答题时间分别限定在10、8、6、3秒〔选手每题的答题时间都计为整秒且至少为1秒〕，某位选手通过第一关，答题用时24秒，那么该选手在4道题上的答题用时组合有多少种：

A.8B.15C.19D.20

总的时间上限=10+8+6+3=27秒，相当于从27秒中去掉3秒，每题可以去0秒、第四题最多去2秒；

转化为三个名额分给四道题，每道题至少分0个，再去掉三个名额都分给第四题的情况，插板法，C〔63〕-1=19种，选C

如果对于以上知识都已理解，可以通过下面几道练习题进展稳固。

练习1：

，每个单位最少订99份，最多102份。

A.6B.7C.8D.10

相当于把6份日报分给3个单位，每个单位至少分1份、至多分4份，插板法C〔52〕=10种，选D

练习2：

假设每名工作人员处理的公文份数不得少于2份，也不得多于10份，那么共有多少种分配方式：

A.52B.53C.54D.55

每人先分1份、还剩下12份；

相当于把12份公文分给3个人，每人至少1份、至多9份，插板法C〔112〕=55种，去掉有人分到多于9份的情况〔即10+1+1〕、有C〔31〕=3种，那么满足题意的情况有55-3=52种，选A

练习3：

某办公室接到18份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。

假设每名工作人员处理的公文份数不得少于3份，也不得多于10份，那么共有多少种分配方式：

A.43B.46C.51D.55

每人先分2份、还剩下12份；

相当于把12份公文分给3个人，每人至少1份、至多8份，插板法C〔112〕=55种，去掉有人分到多于8份的情况：

先选一个人分给他8份，剩下的4份分给3个人，每人至少1个，有C〔31〕×

C〔32〕=9种，那么满足题意的情况有55-9=46种，选B

练习4：

某办公室接到16份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙、丁四名工作人员处理。

假设每名工作人员处理的公文份数不得少于2份，也不得多于5份，那么共有多少种分配方式：

A.20B.27C.31D.35

每人先分5份、共分了20份，再收回4份，每人至少交出0份、至多交出3份，插板法C〔73〕=35种，去掉有人交出4份的情况C〔41〕=4种，那么满足题意的情况有35-4=31种，选C

练习5：

袋中有红、白、黑三种颜色的球各10个，从中抽出16个，要求三种颜色的球都有，有多少种不同的抽法？

A.35B.45C.75D.105

相当于16个名额分给三种颜色，每种颜色至少一个名额，插板C〔152〕=105种；

去掉某种颜色多于10个球的情况，先选一种颜色C〔31〕、先分给它10个，剩下6个名额再分给三种颜色，每种颜色至少一个名额，插板C〔52〕=10，那么满足题意的情况有105-3×

10=75种，选C

★插板法技巧之比赛得分计算

〔1〕某社区组织开展知识竞赛，有5个家庭成功晋级决赛的抢答环节，抢答环节共5道题。

计分方式如下：

每个家庭有10分为根底分；

假设抢答到题目，答对一题得5分，答错一题扣2分；

抢答不到题目不得分。

那么，一个家庭在抢答环节有可能获得〔〕种不同的分数。

A.18B.21C.25D.36

有没有根底分并不影响得分的情况数；

相当于把5道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C〔72〕=21种，选B

通过分类可以看的更加清楚，答对一道和答错一道相差5+2=7分；

①抢到0道时，得分只有一种，即根底分10分；

②抢到1道时，得分有两种，答错为8分、答对为15分；

③抢到2道时，得分有三种，分别是6、13、20；

④抢到3道时，得分有四种，分别是4、11、18、25；

⑤抢到4道时，得分有五种，分别是2、9、16、23、30；

⑥抢到5道时，得分有六种，分别是0、7、14、21、28、35；

共1+2+3+4+5+6=21种，选B

〔2〕某次数学竞赛共有10道选择题，评分方法是答对一道得4分，答错一道扣1分，不答得0分。

设这次竞赛最多有N种可能的成绩，那么N应等于多少？

A.45B.47C.49D.51

相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C〔122〕=66种，但是注意此时有些情况的得分是重复的，出现重复的原因是4×

1+〔-1〕×

4=0，即答对一道+答错四道=不答五道=0分。

如果先拿出5道题、这五道题共得了0分、而得到0分的情况有两种，所以在对剩余的五道题进展插板分配时C〔72〕=21，这21种情况出现的得分跟前五道题的0分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次，所以满足题意的情况数有66-21=45种，选A

也可以结合一个具体的得分进展说明，比方8这个得分，8=4×

2=4×

3+〔-1〕×

4，有两种可能：

〔1〕答对两道、不答八道，〔2〕答对三道、答错四道、不答三道；

两种可能性进展比照，消掉一样局部〔答对两道、不答三道〕后，〔1〕不答五道，〔2〕答对一道、答错四道。

这其实就是出现重复的根源，或者说，对于任何一种重复得分，消掉一样局部后，剩下的局部都是不答五道=答对一道+答错四道，即如果先拿出五道题，对剩下五道题进展插板，这C〔72〕=21种情况都会出现重复、需要减掉。

〔3〕某测验包含10道选择题，评分标准为答对得3分，答错扣1分，不答得0分，且分数可以为负数。

如所有参加测验的人得分都不一样，问最多有多少名测验对象？

【B2021】

A.38B.39C.40D.41

相当于把10道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分0道题，插板法C〔122〕=66种，但是注意此时有些情况的得分是重复的，出现重复的原因是3×

3=0，即答对一道+答错三道=不答四道=0分。

如果先拿出4道题、这四道题共得了0分、而得到0分的情况有两种，所以在对剩余的六道题进展插板分配时C〔82〕=28，这28种情况出现的得分跟前四道题的0分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次，所以满足题意的情况数有66-28=38种，选A

也可以结合一个具体的得分进展说明，比方15这个得分，15=3×

5=3×

6+〔-1〕×

3，有两种可能：

〔1〕答对五道、不答五道，〔2〕答对六道、答错三道、不答一道；

两种可能性进展比照，消掉一样局部〔答对五道、不答一道〕后，〔1〕不答四道，〔2〕答对一道、答错三道。

这其实就是出现重复的根源，或者说，对于任何一种重复得分，消掉一样局部后，剩下的局部都是不答四道=答对一道+答错三道，即如果先拿出四道题，对剩下六道题进展插板，这C〔82〕=28种情况都会出现重复、需要减掉。

对于加分和减分不互质的情况，需要进展一步转化。

〔4〕某次数学竞赛共有10道选择题，评分方法是答对一道得4分，答错一道扣2分，不答得0分。

A.21B.30C.38D.51

1+〔-2〕×

2=0，即答对一道+答错两道=不答三道=0分。

如果先拿出3道题、这三道题共得了0分、而得到0分的情况有两种，所以在对剩余的七道题进展插板分配时C〔92〕=36，这36种情况出现的得分跟前三道题的0分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一次，所以满足题意的情况数有66-36=30种，选B

〔5〕某次数学竞赛共有10道选择题，评分方法是答复完全正确得5分，不完全正确得3分，完全错误得0分。

A.30B.38C.45D.60

先做一步转化，使之转化为标准型。

鸡兔同笼思想：

假设初始为30分，相当于10道题全部不完全正确，在此根底上，每对一道增加2分、每错一道减少3分，那么就变成了答复完全正确得2分，不完全正确得0分，完全错误得-3分。

插板法C〔122〕=66种，去掉重复的局部：

先拿出3+2=5道题，剩下的五道题插板C〔72〕=21种，66-21=45种，选C

〔6〕在一次数学考试中，有10道选择题，评分方法是：

答对一题得4分，答错一题倒扣1分，不答得0分，参加考试的学生中，至少有4人得分一样。

那么，参加考试的学生至少有多少人？

A.91B.103C.136D.199

先求得分情况有多少种；

插板法，C〔122〕-C〔72〕=45种，抽屉原理之最不利原那么，每种得分先分3个人，再分一个人必然满足题意，45×

3+1=136人，选D

〔7〕学生参加数学竞赛，共20道题，有20分根底分，答对一题给3分，不答给0分，答错一题倒扣l分，假设有l978人参加竞赛，至少有多少人得分一样？

A.26B.27C.49D.50

插板法，C〔222〕-C〔182〕=78种，抽屉原理之平均分配问题，1978÷

78=25…28，所以每种得分先分25人，剩下的28个人也尽可能平均分配，那么至少有25+1=26个人得分一样，选A

〔8〕小梁买了一个会走路的机器猫玩具，这个机器猫只能走直线不能拐弯，并且只有向前走1cm、3cm、5cm这三种步伐。

小梁可以通过遥控器控制机器猫的每一种步伐。

假设在小梁的控制下机器猫走了4步，该机器猫可以到达〔〕种不同的距离。

A.8B.9C.10D.11

最少走4cm、最多走20cm，所以4～20之间的偶数都可以到达，选B

转化为4道题，每道题完全答对加5分、局部答对加3分、答错加1分，鸡兔同笼转化为完全答对加2分、局部答对加0分、答错加-2分，插板法C〔62〕-C〔42〕=9种，选B

〔9〕有1元、10元、100元的纸币共60，每种至少一，总钱数有多少种可能？

A.583B.592C.604D.617

转化为完全正确得100分，不完全正确得10分，完全错误得1分；

利用鸡兔同笼再转化为完全正确得90分，不完全正确得0分，完全错误倒扣9分；

插板法C〔592〕=1711种；

去掉重复的情况：

1道完全正确+10道完全错误=11道不完全正确，先拿出11道题，剩下的插板C〔482〕=1128种；

1711-1128=583种，选A

★插板法技巧之常见应用模型

〔1〕方程a+b+c=10有多少组正整数解？

A.15B.20C.28D.36

相当于把10个一样的苹果分给三个人，每人至少一个，插板法C〔92〕=36种，选D

〔2〕不等式a+b+c≤10有多少组非负整数解？

A.66B.78C.84D.286

补一个字母d，转化为a+b+c+d=10，此时a、b、c、d都是≥0的，相当于把10个一样的苹果分给四个人，每人至少0个，插板法C〔133〕=286种，选D

〔3〕〔A+B+C〕10的展开式中共有多少项？

A.36B.45C.66D.91

对于〔A+B+C〕10的展开式中的任何一项Ax×

By×

Cz，都有x+y+z=10，其中

x、y、z都是≥0的；

相当于把10个一样的苹果分给三个人，每人至少0个，插板法C〔122〕=66种，选C

〔4〕有10颗糖，如果每天至少吃一颗〔至多不限〕，吃完为止，问有多少种不同的吃法？

A.144B.217C.512D.640

假设1天吃完，只有1种；

假设2天吃完，插板法有C〔91〕种；

假设3天吃完，插板法有C〔92〕种…，共C〔90〕+C〔91〕+C〔92〕+…+C〔99〕=29=512种，选C

10颗糖之间有9个空，每个空都可以选择是否插板，对应的吃糖数就不同，共29=512种，选C

〔5〕有一类自然数，从第三个数字开场，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257、303369、1347等等，这类数共有多少个？

A.36B.45C.55D.66

前两位固定，那么第三位及之后的数都固定，首位+第二位≤9，补成a+b+c=9，其中b、c都可为0，插板法C〔102〕=45个，选B

〔6〕有一类自然数，从第三个数字开场，每个数字都恰好是它前面两个数字之差，直至不能再写为止，如7523、9817、63303等等，这类数共有多少个？

A.45B.50C.54D.55

从最后两位考虑，假设个位和十位固定，那么往前依次固定，个位+十位≤9，补成a+b+c=9，其中a、b、c单独都可为0，插板法C〔112〕=55，去掉a、b同时为0的情况，满足题意的情况有55-1=54种，选C

这类自然数中最大的为85321101

〔7〕4位同学分五个苹果、1个梨，每位同学至少分到一个水果，有多少种不同的分法？

A.16种B.24种C.40种D.48种

先分梨有C〔41〕=4种，假设分给了甲；

接下来把五个苹果分给甲乙丙丁，其中甲可以分0个，插板法C〔53〕=10种；

共4×

10=40种，选C

〔8〕5个一样的苹果和3个一样的梨分给4个小朋友，每人至少分1个水果，有多少种分配方式？

A.210B.420C.630D.840

先分梨，分类；

〔1〕3个梨分给同一个人，C〔41〕=4种，假设都分给了甲；

接下来5个苹果分给甲乙丙丁，乙丙丁每人至少分1个苹果，插板法C〔53〕=10种，共4×

10=40种；

〔2〕3个梨分给了两个人，C〔42〕×

2=12种，假设分给甲2个、乙1个；

接下来5个苹果分给甲乙丙丁，丙丁每人至少分1个苹果，插板法C〔63〕=20种，共12×

20=240种；

〔3〕3个梨分给了两个人，C〔43〕=4种，假设分给甲乙丙各1个；

接下来5个苹果分给甲乙丙丁，丁至少分1个苹果，插板法C〔73〕=35种，共4×

35=140种；

共40+240+140=420种，选B

直接容斥，苹果和梨分别插板-至少1人没分到+至少2人没分到-至少3人没分到=C〔83〕×

C〔63〕-C〔41〕×

C〔72〕×

C〔52〕+C〔42〕×

C〔61〕×

C〔41〕-C〔43〕=420种，选B

〔9〕有一个两位数A，将其个位数字与十位数字互换得到与之不同的两位数B，再将A和B相加，结果仍为一个两位数。

问这样的两位数A有多少个？

A.9B.32C.36D.64

ab+ba=11〔a+b〕，那么2＜a+b＜10，补上百位、用百位去凑满10；

相当于把10个名额分给百十个位，每位至少分1个名额，插板法C〔92〕=36种，去掉a=b的四种〔11、22、33、44〕，满足题意的有36-4=32个，选B

〔10〕小明将一颗质地均匀的正六面体骰子，先后抛掷2次，两次点数之和大于5的概率是多少？

【粉笔事业模考】

A.1/6B.5/18C.5/6D.13/18

总情况数有6×

6=36种；

不满足题意的情况数，两次点数和＜6，相当于6个名额分给三个人，每个人至少分1个，插板法C〔52〕=10种，概率=〔36-10〕/36=13/18，选D

★插板法技巧应用之取球问题

〔1〕箱子里有大小一样的3种颜色玻璃珠各假设干颗，每次从中摸出3颗为一组，问至少要摸出多少组，才能保证至少有2组玻璃珠的颜色组合是一样的？

【联考2021】

A.11B.15C.18D.21

相当于三个名额分给3种颜色，每种颜色至少分0个，插板法C〔52〕=10种，抽屉原理，10+1=11种，选A

刚学插板法时应用起来不熟练，为了更加便于记忆，特做如下总结：

三种颜色的球各一颗，取三颗，有C〔3，3〕=1种取法。

三种颜色的球足够多，取三颗，【取三补二】，有C〔3+2，3〕=C〔53〕=10种取法。

n种颜色的球足够多，取m颗，【取m补m-1】，有C〔n+m-1，m〕种取法。

〔2〕从5个一样的苹果、6个一样的橘子、7个一样的香蕉中取4个水果，有多少种取法？

A.15B.20C.35D.3060

相当于四个名额分给3种水果，每种水果至少分0个，插板法C〔62〕=15种，选A

〔3〕一个袋里有四种不同颜色的小球假设干个，每次摸出两个，要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次？

A.55B.87C.41D.91

相当于两个名额分给4种颜色，每种颜色至少分0个，插板法C〔53〕=10种，抽屉原理，每种情况分9次，此时刚好不满足题意，再分一次必然满足，10×

9+1=91次，选D

四种颜色的球足够多、取两个，取2补1，C〔4+1，2〕=10种，抽屉原理，每种情况分9次