芜湖市二十七中九年级二模数学.docx
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芜湖市二十七中九年级二模数学
2021年九年级毕业暨升学模拟考试
（二）
数学试卷
温馨提示：
1．数学试卷共8页，八大题，共23小题．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题．考试时间共120分钟，请合理分配时间．
2．请你仔细思考、认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
（1～10）
（11～14）
15
16
17
18
19
20
21
22
23
得分
得分
评卷人
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）
每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内，每一小题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分.
1.
的值是【】
A.－3B.3或－3C.9D.3
2.图1所示几何体是一个球体的一部分，下列选项中是它的俯视图的是【】
3.下列运算错误的是【】
A.－（a－b）=－a+bB.a2·a3=a6
C.a2－2ab+b2=（a－b）2D.3a－2a=a
4.对任意实数
，多项式
的值是【】
A.负数B.非负数C.正数D.无法确定
5.2012年11月中国共产党第十八次全国代表大会报告中提出“2020年实现国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番”.假设2010年某地城乡居民人均收入为3万元，到2020年该地城乡居民人均收入达到6万元，设每五年的平均增长率为a％,下列方程正确的是【】
A.3（1+a％）=6B.3（1+a%）
=6
C.3+3（1+a％）+3（1+a％）
=6D.3（1+2a％）=6
6.分式
与下列分式相等是【】
A.
B.
C.
D.
7.从2，－2，1，－1四个数中任取2个数求和，其和为0的概率是【】
A.
B．
C．
D．
8.如图，已知矩形OABC的面积为25，它的对角线OB与双曲线
（k＞0）相交于点G，且OG：
GB=3：
2，则k的值为【】
A.9B．15
C．
D.
9.如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为【】
A.∠AIB=∠AOBB.∠AIB≠∠AOB
C.2∠AIB－
∠AOB=180°D.2∠AOB－
∠AIB=180°
10.如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，
以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿B→C→D方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t秒，△APQ的面积为S，则表示S与t之间的函数关系的图象大致是【】
A．B．C．D．
得分
评卷人
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.2012年，某市享受九年义务教育免除学杂费的初中学生数约68000人，将68000用科学记数法表示应是______________.
12.已知样本1、3、2、2、a、b、c的众数为3，平均数为2，那么此样本的方差为_____．
13.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（－1，3）、B（－2，－2）、C（4，－2），则△ABC外接圆半径的长为_______．
14.若抛物线
与
满足
，则称
互为“相关抛物线”.给出如下结论：
①y1与y2的开口方向，开口大小不一定相同;
②y1与y2的对称轴相同;
③若y2的最值为m，则y1的最值为k2m;
④若y2与x轴的两交点间距离为d，则y1与x轴的两交点间距离也为
.
其中正确的结论的序号是___________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.
得分
评卷人
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.化简：
.
解：
16.解方程：
解：
得分
评卷人
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.如图，一个4×2的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形．
（1）一个3×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数可以是__________________；
一个5×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数可以是__________________；
（2）一个n×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数最少是___________________。
（以上均直接填写结果）．
18.如图，在平面直角坐标系中，对Rt△OAB依次进行旋转变换、位似变换和平移变换，得到△
。
设M（x，y）为Rt△OAB边上任意一点，点M的对应点的坐标依次为：
M（x,y）→（-x,-y）→（-2x,-2y）→（-2x+3,-2y+6）.
（1）在网格图中（边长为单位1），画出这几次变换的相应图形；
（2）△
能否由△
通过一次位似变换得到？
若可以，请指出位似中心的坐标.
得分
评卷人
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.如图，A、B、C是三座城市，A市在B市的正西方向，C市在A市北偏东60º的方向，在B市北偏东30º的方向．这三座城市之间有高速公路l1、l2、l3相互贯通．小丁驾车从A市出发，以平均每小时80公里的速度沿高速公路l2向C市驶去，3小时后小丁到达了C市．
（1）求C市到高速公路l1的最短距离；
（2）如果小丁以相同的速度从C市沿C→B→A的路线从高速公路返回A市，那么经过多长时间后，他能回到A市？
（结果精确到0.1小时）（
）
20.某校积极开展每天锻炼1小时活动，老师对本校八年级学生进行一分钟跳绳测试，并对跳绳次数进行统计，绘制了八
（1）班一分钟跳绳次数的频数分布直方图和八年级其余班级一分钟跳绳次数的扇形统计图.已知在如下左图中，组中值为190次一组的频率为0.12.（说明:
组中值为190次的组别为180≤次数＜200，以此类推.）
请结合统计图完成下列问题：
（1）八
（1）班的人数是，组中值为110次一组的频率为；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）如果一分钟跳绳次数不低于120次的同学视为达标，已知八年级同学一分钟跳绳的达标率不低于90％，那么八年级同学至少有多少人？
得分
评卷人
六、（本题满分12分）
21.2012年十一黄金周，由于7座以下小型车辆免收高速公路通行费，使汽车租赁市场需求旺盛.某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出;当租出的车辆每减少1辆，每辆车的日租金将增加50元，另公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出x（x≤20）辆车时,日收益为y元.（日收益=日租金收入－平均每日各项支出）
（1）公司每日租出x（x≤20）辆车时,每辆车的日租金增加为_______元；此时每辆车的日租金为__________元.（用含x的代数式表示）；
（2）当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大？
是多少元？
得分
评卷人
七、（本题满分12分）
22.如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．
（1）求证：
△ABE≌△BCF；
（2）试求△ABE和△BCF重叠部分的面积；
（3）如图2，将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB＇E＇，点E落在CD边上的点E＇处，则△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？
请说明理由．
得分
评卷人
八、（本题满分14分）
23.如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．
（1）若图1中，∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；
（2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：
画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明．）
②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？
如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．
（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B＝90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE与BE的数量关系并说明理由．
2021年九年级毕业暨升学模拟考试
（二）数学参考答案及评分标准
一、选择题
1.D2.C3.B4.A5.B6.B7.C8.A9.C10.A
二、填空题
11.6.8×10412.
13.
14.①②④
三、15.原式=
=
…………4分
=
…………8分
16.原方程可化为
…………4分
∴
，
…………8分
四、17.
（1）3或6……………2分（每答对一个给1分，多答或答错不给分）
4、7或10……………5分（每答对一个给1分，多答或答错不给分）
（2）当n为偶数时，最少
个，……………6分
当n为奇数时，最少
个.……………8分
18.
（1）作图如图所示.……………4分
（2）能.如图，分别连接△OAB与△O’A’B’的对应顶点，其连线交于C（1，2），点C即为位似中心.……………8分
五、
19．
（1）解：
过点C作CD⊥l1于点D，……1分
则由已知得AC=3×80=240（km），∠CAD=30º
∴CD=
AC=
×240=120（km）
∴C市到高速公路l1的最短距离是120km.…4分
（2）解：
由已知得∠CBD=60º
在Rt△CBD中，
∵sin∠CBD=
∴BC=
.…………………6分
∵∠ACB=∠CBD–∠CAB=60º–30º=30º
∴∠ACB=∠CAB=30º
∴AB=BC=
.…………………8分
∴t=
答：
经过约3.5小时后，小丁能回到A市.………………10分
20.
（1）50，0.16………………2分
（2）组中值为130次一组的频数为12人，频数分布直方图如下图所示.
………………4分
（3）设八年级同学人数有x人，
则可得不等式：
42+0.91（x－50）≥0.9x
解得x≥350
答：
八年级同学人数至少有350人.………………10分
六、21.
（1）50（20－x）,1400－50x………………4分
（2）y＝x（－50x+1400）－4800
＝－50x2+1400x－4800
＝－50（x－14）2+5000.………………10分
当x＝14时,在0≤x≤20范围内，y有最大值5000.
∴当日租出14辆时,租赁公司的日收益最大，为5000元.………………12分
七、22.
（1）证明：
∵正方形ABCD中，∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，
∴∠ABF+∠CBF=900，
∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=900，
∴∠BAE=∠CBF，………………………2分
∴△ABE≌△BCF.………………………3分
（2）∵正方形面积为3，∴AB=
.
又∵BE=1，∴tan∠BAE=
∴∠BAE=30°，∴∠CBF=30°………………………5分
∴GE=
，GB=
∴
×
=
.………………………6分
（3）没有变化.………………………7分
由
（2）可知∠BAE=30°.
∵AB’=AD,∠AB’E’=∠ADE’=90°,AE’公共，
∴Rt△ABE≌Rt△AB’E’≌Rt△ADE’
∴∠DAE’=∠B’AE’=∠BAE=30°
∴AB’与AE在同一直线上，即G点就是AB’与BF的交点，如图所示.
设BF与AE’的交点为H，
∴Rt△BAG≌Rt△HAG.………………11分
∴S四边形HGB’E’=S△BGE
即△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有发生变化.………………12分
八、23．
解：
（1）理由：
∵∠A＝50°，∴∠ADE＋∠DEA＝130°．
∵∠DEC＝50°，∴∠BEC＋∠DEA＝130°．
∴∠ADE＝∠BEC．………………2分
∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC．
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．………………3分
（2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求．（若不用圆规画图，则必须在图上标注直角符号或对直角另有说明．）………………5分
②对于任意的一个矩形，不一定存在强相似点，如正方形．（答案不惟一，若学生画图说明也可．）………………7分
（3）情况一：
∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，∠ADE＝∠BEC＝∠EDC，
即△ADE∽△BEC∽△EDC．
方法一：
如图1，延长DE，交CB的延长线于点F，可得DE＝EF，
进一步得AE＝BE．………………10分
方法二：
如图2，过点E作EF⊥DC，垂足为F．因为∠ADE＝∠CDE，∠BCE＝∠DCE，
∴AE＝EF，EF＝BE．
∴AE＝BE．………………10分
方法三：
由△ADE∽△EDC可得
＝
，即AE＝
．
同理，由△BEC∽△EDC可得
＝
，即BE＝
，
∴AE＝BE．………………10分
情况二：
如图3，∠A＝∠B＝∠EDC＝90°，∠ADE＝∠BCE＝∠DCE，
即△ADE∽△BCE∽△DCE．
∴∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝60°，可得AE＝
DE，BE＝
CE，DE＝
CE，
（或BE＝DE，AE＝
DE，）
∴AE＝
BE．
综上，AE＝BE或AE＝
BE．………………14分
1．列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：
弄清题意．
（2）找出等量关系：
找出能够表示本题含义的相等关系．
（3）设出未知数，列出方程：
设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．
（4）解方程：
解所列的方程，求出未知数的值．
（5）检验，写答案：
检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．
2.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量
3.等积变形问题：
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．
①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝
r2h
②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc
4．数字问题
一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．
然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．
5．市场经济问题
（1）商品利润＝商品售价－商品成本价
（2）商品利润率＝
×100%
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．
6．行程问题：
路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间
（1）相遇问题：
快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题：
快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题：
顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．
7．工程问题：
工作量＝工作效率×工作时间
完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
8．储蓄问题
利润＝
×100%利息＝本金×利率×期数
实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）
类型一：
列二元一次方程组解决——行程问题
【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？
解：
设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：
（2.5+2）x+2.5y=36
3x+（3+2）y=36
解得：
x=6，y=3.6
答：
甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。
【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
解：
设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有：
20（x-y）=280
14（x+y）=280
解得：
x=17，y=3
答：
这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时，
类型二：
列二元一次方程组解决——工程问题
【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？
请你说明理由.
解：
类型三：
列二元一次方程组解决——商品销售利润问题
【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
解：
设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：
①x+y=10
②2000x+1500y=18000
解得：
x=6，y=4
答：
李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩
【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A
B
进价（元/件）
1200
1000
售价（元/件）
1380
1200
（注：
获利=售价—进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；
解：
设购进A的数量为x件、购进B的数量为y件，依据题意列方程组
1200x+1000y=360000
（1380-1200）x+（1200-1000）y=60000
解得x=200，y=120
答：
略
类型四：
列二元一次方程组解决——银行储蓄问题
【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元（不计利息税），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？
解：
设x为第一种存款的方式，Y第二种方式存款，则
X+Y=4000
X*2.25％*3+Y*2.7％*3=303.75
解得：
X=1500，Y=2500。
答：
略。
类型五：
列二元一次方程组解决——生产中的配套问题
【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
解：
设x张做盒身，y张做盒底，则有盒身8x个，盒底22y个
x+y=190
8x=22y/2
解得x=110，y=80
即110张做盒身，80张做盒底
【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。
解：
设生产螺栓的工人为x人，生产螺母的工人为y人
x+y=60
28x=20y
解得x=25，y=35
答：
略
【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。
现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？
能配多少张方桌？
解：
设用X立方米做桌面，用Y立方米做桌腿
X+Y=5.........................
（1）
50X：
300Y=1：
4......................
（2）
解得：
Y=2，X=5-2=3
答：
用3立方米做桌面，2立方米的木料做桌腿。
类型六：
列二元一次方程组解决——增长率问题
【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。
解：
设该城市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人。
x＋y＝42
0.8%×X＋1.1%×Y＝42×1%
解这个方程组，得：
x=14，y=28
答：
该市现在的城镇人口有14万人，农村人口有28万人。
类型七：
列二元一次方程组解决——和差倍分问题
【变式1】略
【变式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。
如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？
解：
设：
男有X人，女有Y人，则
X-1=Y
2（Y-1）=X
解得：
x=4，y=3
答：
略
类型八：
列二元一次方程组解决——数字问题
【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？
解：
设这个两位数十位数是x，个位数是y，则这个数是（10x+y）
10x+y-3（x+y）=23
（1）
10x+y=5（x+y）+1
（2）
由
（1），
（2）得
7x-2y=23
5x-4y=1
解得：
x=5
y=6
答：
这个两位数是56
【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？
解：
设个位X，十位Y，有
X-Y=5
（10X+Y）+（10+X）=143
即
X-Y=5
X+Y=13
解得：
X=9，Y=4
这个数就是49
【变式3】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。
解：
设原数百位是x，个位是y那么
x+y=9
x-y=1
两式相加得到2x=10=>x=5=>y=5-
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