【课堂练习】
一、选择题
1.（2011全国）曲线y=e-2x+1在点（0,2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）
ABCD1
2.（2010课标全国）曲线在点（-1,-1）处的切线方程为（）
Ay=2x+1 By=2x-1 Cy=-2x-3 Dy=-2x-2
3.（2012陕西）设函数f（x）=xex,则（）
Ax=1为f（x）的极大值 Bx=1为f（x）的极小值
Cx=-1为f（x）的极大值 Dx=-1为f（x）的极大值
4.（2008广东理）设，若函数，有大于零的极值点，则（）
A．（2008江西、山西、天津理科）函数有（）
A极小值－1，极大值1B极小值－2，极大值3
C极小值－2，极大值2D极小值－1，极大值3
6.（2006湖南理科）设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,
＞0.且，.则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）
AB
CD
7.（2007海南、宁夏理）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． D.
8.（2008湖北理）若f（x）=上是减函数，则b的取值范围是（）
A.[-1，+∞]B.（-1，+∞）Ｃ.D.（-∞，-1）
9．（2005江西理科）已知函数的图像如右图所示（其中是函数，下面四个图象中的图象大致是（）
ABＣD
（1）（2006江西、天津理科）右图中阴影部分的面积是（）
ABCD
二、填空题：
11.（2007湖北文）已知函数的图象在M（1，f
（1））处的切线方程是+2，f
（1）—f’
（1）=______________.
12.（2007湖南理）函数在区间上的最小值是.
13.（2008全国Ⅱ卷理）设曲线在点处的切线与直线垂直，则.
14.（2006湖北文）半径为r的圆的面积S（r）＝r2,周长C（r）=2r，若将r看作（0，＋∞）上的变量，则＝2r，式可以用语言叙述为：
对于半径为R的球，若将R看作（0，＋∞）上的变量，请你写出类似于的式子：
式可以用语言叙述为：
.
三、解答题：
15.（2005重庆文）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：
且生产x吨的成本为（元）。
问该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？
最大利润是多少？
（利润=收入─成本）。
16.（2008重庆文）设函数若曲线y=f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：
（Ⅰ）a的值;
（Ⅱ）函数f（x）的单调区间.
17.（2008全国Ⅰ卷文、理）已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
3.（2006浙江理）设曲线≥0）在点M（t,）处的切线与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）。
（Ⅰ）求切线的方程；
（Ⅱ）求S（t）的最大值。
19.（2007海南、宁夏文）设函数
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．
20.（2007安徽理）设a≥0，f（x）=x－1－ln2x＋2alnx（x>0）.
（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：
当x>1时，恒有x>ln2x－2alnx＋1.
【课后作业】
一、选择题
1.（2005全国卷Ⅰ文）函数,已知在时取得极值,则=（）
A2 B3 C4 D5
2．（2008海南、宁夏文）设，若，则（）
A B C D
3．（2005广东）函数是减函数的区间为（）
ABCD（0，2）
4.（2008安徽文）设函数则（）
A有最大值 B有最小值 C是增函数 D是减函数
5．（2007福建文、理）已知对任意实数x有f（－x）=－f（x），g（-x）=g（x），且x>0时，f’（x）>0，g’（x）>0，则x<0时（）
Af’（x）>0，g’（x）>0Bf’（x）>0，g’（x）<0
Cf’（x）<0，g’（x）>0Df’（x）<0，g’（x）<0
6.（2008全国Ⅱ卷文）设曲线在点（1,）处的切线与直线平行,则（）
A1 B C D
7．（2006浙江文）在区间上的最大值是（）
A-2B0C2D4
x
y
o
A
x
y
o
D
x
y
o
C
x
y
o
B
8．（2005湖南文科）若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f/（x）的图象是（）
9．（2005全国卷Ⅱ理科）函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（）
A（，） B（，2） C（，） D（2，3）
10.（2012重庆）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是
（A）函数有极大值和极小值
（B）函数有极大值和极小值
（C）函数有极大值和极小值
（D）函数有极大值和极小值
二、填空题：
11.（2007浙江文）曲线在点（1，一3）处的切线方程是.
12.（2006重庆文科）曲线在点（1，1）处的切线与x轴、直线所围成的三角形的
面积为.
13．（2007江苏）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则.
14.（2008北京文）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC,其中A,B,C
的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））=;
函数f（x）在x=1处的导数f′
（1）=.
三、解答题：
15.（2005北京理科、文科）已知函数f（x）=－x3＋3x2＋9x＋a.
（I）求f（x）的单调递减区间；
（II）若f（x）在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
16.（2006安徽文）设函数，已知是奇函数。
（Ⅰ）求、的值。
（Ⅱ）求的单调区间与极值。
1.（2005福建文科）已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.
18.（2007重庆文）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：
1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？
最大体积是多少？
．（2008全国Ⅱ卷文）设，．
（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；
（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．
20.（2008湖北文）已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9.
（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程.
【参考答案】
【课堂练习】
一、选择
1—10AADBDDDCCC
（2）填空
（1）3；12．；；14.,球的体积函数的导数等于球的表面积函数
三、解答题
15.解：
每月生产x吨时的利润为
，故它就是最大值点，且最大值为：
答：
每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.
16.解：
（Ⅰ）因为,所即当因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为-12，所以解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
17．解：
（1）求导：
当时，，,在上递增
当，求得两根为
即在递增,递减,递增
（2）要使f（x）在在区间内是减函数，当且仅当，在恒成立，
由的图像可知，只需，即,解得。
a≥2。
所以，的取值范围。
18.解：
（Ⅰ）因为所以切线的斜率为故切线的方程为即。
（Ⅱ）令y=0得x=t+1,x=0得
所以S（t）==从而
∵当（0，1）时，>0,当（1,+∞）时,<0,所以S（t）的最大值为S
（1）=。
19．解：
的定义域为．
（Ⅰ）．
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．
又．
所以在区间的最大值为．
20.（Ⅰ）解：
根据求导法则得
故于是
列表如下：
x
（0,2）
2
（2,+∞）
F′（x）
-
0
+
F（x）
↓
极小值F
（2）
↑
故知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，所以，在x＝2处取得极小值F
（2）＝2-2In2+2a.
（Ⅱ）证明：
由
于是由上表知，对一切
从而当
所以当
故当
【课后作业】
一、选择
1-10DBDABACABD
一、填空
11.；12.；；,-2.
三、解答题
15.解：
（I）f’（x）＝－3x2＋6x＋9．令f‘（x）<0，解得x<－1或x>3，
所以函数f（x）的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II）因为f（－2）＝8＋12－18＋a=2＋a，f
（2）＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
所以f
（2）>f（－2）．因为在（－1，3）上f‘（x）>0，所以f（x）在[－1,2]上单调递增，
又由于f（x）在[－2，－1]上单调递减，
因此f
（2）和f（－1）分别是f（x）在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2．
故f（x）=－x3＋3x2＋9x－2，因此f（－1）＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f（x）在区间[－2，2]上的最小值为－7．
16.解（Ⅰ）∵，∴。
从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，
和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；
在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。
一、解：
（Ⅰ）由的图象过点P（0，2）,d=2知,所以,（x）=3x2+2bx+c,由在（-1,（-1））处的切线方程是6x-y+7=0,知-6-f（-1）+7=0,即f（-1）=1,（-1）=6,
∴即解得b=c=-3。
故所求的解析式为f（x）=x3-3x2-3x+2,
（Ⅱ）（x）=3x2-6x-3,令3x2-6x-3=0即x2-2x-1=0,解得x1=1-,x2=1+,
当x<1-或x>1+时,（x）>0;当1-∴f（x）=x3-3x2-3x+2在（1+,+∞）内是增函数,在（-∞,1-）内是增函数,在（1-,1+）内是减函数.
18.解：
设长方体的宽为x（m），则长为2x（m），高为.
故长方体的体积为
从而令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，
因此x=1.当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2m，高为.
答：
当长方体的长为2m时，宽为1m，高为时，体积最大，最大体积为3m3。
．解：
（Ⅰ）．
因为是的极值点，所以，即，因此．
经验证，当时，是函数的极值点．
（Ⅱ）由题设，．
当在区间上的最大值为时，对一切都成立，
即对一切都成立．令，，则
由，可知在上单调递减，
所以，故a的取值范围是
（2）当时，抛物线的对称轴为，
当a<0时，，有h（0）=-6<0,所以h（x）在上单调递减，h（x）<0恒成立；
当a>0时,因为h（0）=-6<0,,所以要使h（x）≤0在上恒成立,只需h
（2）≤0成立即可,解得a≤;综上，的取值范围为．
20.解：
（Ⅰ）f’（x）＝3x2+2mx－m2=（x+m）（3x－m）=0,则x=－m或x=m,
当x变化时，f’（x）与f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞,－m）
－m
（－m,）
（,+∞）
f’（x）
+
0
－
0
+
f（x）
极大值
极小值
从而可知，当x=－m时，函数f（x）取得极大值9，即f（－m）＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x3+2x2－4x+1,
依题意知f’（x）＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.又f（－1）＝6，f（－）＝，
所以切线方程为y－6＝－5（x＋1）,或y－＝－5（x＋），即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.
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