6 第5讲 第2课时 直线与椭圆Word文件下载.docx

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（3）当Δ＞0时，直线与椭圆相交；

当Δ＝0时，直线与椭圆相切；

当Δ＜0时，直线与椭圆相离．　

不论k为何值，直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是（　　）

A．（0，1）　　B．（0，7）

C．[1，7）D．（1，7]

解析：

选C.直线y＝kx＋1恒过定点（0，1），由题意知（0，1）在椭圆＋＝1上或其内部，所以有≤1，得m≥1.又椭圆＋＝1的焦点在x轴上，所以m<

7.综上，1≤m<

7.

　　　　　　弦长及弦中点问题（师生共研）

（1）斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为（　　）

A．2B.

C.D.

（2）（一题多解）（2019·

广西南宁毕业班摸底）已知椭圆＋＝1（a>

b>

0）的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M（－4，1），则椭圆的离心率是（　　）

A.B.

【解析】　

（1）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线l的方程为y＝x＋t，

由

消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0，

则x1＋x2＝－t，x1x2＝.

所以|AB|＝|x1－x2|

＝·

，

当t＝0时，|AB|max＝.

（2）法一：

设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），分别代入椭圆方程，得两式相减得＝－·

.

因为kAB＝＝1，且x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，所以＝，e＝＝＝，故选C.

法二：

将直线方程x－y＋5＝0代入＋＝1（a>

0），得（a2＋b2）x2＋10a2x＋25a2－a2b2＝0，设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，又由中点坐标公式知x1＋x2＝－8，所以＝8，解得a＝2b，又c＝＝b，所以e＝＝.故选C.

【答案】　

（1）C　

（2）C

（1）弦长公式

①若直线y＝kx＋m与椭圆相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|；

②焦点弦（过焦点的弦）：

最短的焦点弦为通径长，最长为2a.

（2）中点弦的重要结论

AB为椭圆＋＝1（a>

0）的弦，A（x1，y1），B（x2，y2），弦中点M（x0，y0）．

①斜率：

k＝－；

②弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－.　

已知椭圆＋＝1（a>

0）的一个顶点为B（0，4），离心率e＝，直线l：

y＝x－4交椭圆于M，N两点．则弦MN的长为________．

由已知得b＝4，且＝，

即＝，所以＝，

解得a2＝20，所以椭圆方程为＋＝1.

将4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，

消去y得9x2－40x＝0，

所以x1＝0，x2＝，

所以所求弦长|MN|＝|x2－x1|＝.

答案：

　　　　　　椭圆与向量的综合问题（师生共研）

（1）已知点F1，F2是椭圆C：

＋y2＝1的焦点，点M在椭圆C上且满足|＋|＝2，O为坐标原点，则△MF1F2的面积为（　　）

C．2D．1

（2）（2019·

石家庄质量检测

（二））倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1（a>

0）的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且＝2，则该椭圆的离心率为（　　）

【解析】　

（1）|＋|＝2||＝2，

所以||＝＝c，所以MF1⊥MF2，

解得|MF1||MF2|＝2，

所以三角形的面积S＝×

|MF1|×

|MF2|＝1.

（2）由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得，所以（b2＋a2）y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>

0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则，又＝2，所以（c－x1，－y1）＝2（x2－c，y2），所以－y1＝2y2，可得，所以＝，所以e＝，故选B.

【答案】　

（1）D　

（2）B

解决椭圆中与向量有关问题的方法

（1）将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系．

（2）利用向量关系转化成相关的等量关系．

（3）利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．　

已知F1，F2为椭圆＋＝1（a>

0）的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，·

≥2，则椭圆的离心率的取值范围为（　　）

A.　　B.　　C.　　D.

选C.根据题意不妨设B（0，b），F1（－c，0），F2（c，0），因为·

≥2，所以b2≥2c2，又因为b2＝a2－c2，所以a2≥3c2，所以0<

≤.

[基础题组练]

1．已知椭圆＋y2＝1与直线y＝x＋m交于A，B两点，且|AB|＝，则实数m的值为（　　）

A．±

1　　　　B．±

C.D．±

选A.由消去y并整理，

得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1＋x2＝－，x1x2＝.

由题意，得＝，

解得m＝±

1.

2．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　）

选B.由题意知椭圆的右焦点F的坐标为（1，0），则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点A（0，－2），B，所以S△OAB＝·

|OF|·

|yA－yB|＝×

1×

＝，故选B.

3．已知椭圆E：

＋＝1（a>

0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，－1），则E的方程为（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

选D.设A（x1，y1），B（x2，y2），则两式相减，得＋＝0.因为线段AB的中点坐标为（1，－1），所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2.将其代入上式，得＝.因为直线AB的斜率为＝，所以＝，所以a2＝2b2.因为右焦点为F（3，0），所以a2－b2＝c2＝9，解得a2＝18，b2＝9.所以椭圆E的方程为＋＝1.故选D.

4．已知椭圆C：

0）与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为（　　）

选B.将直线方程y＝x＋3代入C的方程并整理得（a2＋b2）x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝（6a2）2－4（a2＋b2）（9a2－a2b2）＝0，化简得a2＋b2＝9.又由椭圆的离心率为，所以＝＝，则＝，解得a2＝5，b2＝4，所以椭圆方程为＋＝1.

5．已知点M在椭圆G：

0）上，且点M到两焦点的距离之和为4.

（1）求椭圆G的方程；

（2）若斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P（－3，2），求△PAB的面积．

解：

（1）因为2a＝4，所以a＝2.

又点M在椭圆G上，

所以＋＝1，解得b2＝4.

所以椭圆G的方程为＋＝1.

（2）设直线l的方程为y＝x＋m，

得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①

设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1<

x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.

因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PE⊥AB.

所以PE的斜率k＝＝－1.

解得m＝2.

此时方程①为4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0，

所以|AB|＝|x1－x2|＝3.

此时，点P（－3，2）到直线AB：

x－y＋2＝0的距离d＝＝，

所以△PAB的面积S＝|AB|·

d＝.

6．已知椭圆＋y2＝1，

（1）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；

（2）求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程．

（1）设弦的端点为P（x1，y1），Q（x2，y2），其中点是M（x，y）．

①－②得＝－＝－，

所以－＝，

化简得x2－2x＋2y2－2y＝0（包含在椭圆＋y2＝1内部的部分）．

（2）由

（1）可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－，因此所求直线方程是y－＝－，化简得2x＋4y－3＝0.

[综合题组练]

1．已知F1（－c，0），F2（c，0）为椭圆＋＝1（a>

0）的两个焦点，P为椭圆上一点，且·

＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．

设P（x，y），则·

＝（－c－x，－y）·

（c－x，－y）＝x2－c2＋y2＝c2，①

将y2＝b2－x2代入①式解得

x2＝＝，

又x2∈[0，a2]，所以2c2≤a2≤3c2，

所以e＝∈.

2．（综合型）设直线l：

2x＋y＋2＝0关于原点对称的直线为l′，若l′与椭圆x2＋＝1的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数为________．　

直线l′的方程为2x＋y－2＝0，所以交点分别为椭圆顶点（1，0）和（0，2），则|AB|＝，由△PAB的面积为，得点P到直线AB的距离为，而平面上到直线2x＋y－2＝0的距离为的点都在直线2x＋y－1＝0和2x＋y－3＝0上，而直线2x＋y－1＝0与椭圆相交，2x＋y－3＝0与椭圆相离，所以满足题意的点P有2个．

2

3．（2019·

洛阳市第一次统考）已知短轴的长为2的椭圆E：

0），直线n的横、纵截距分别为a，－1，且原点O到直线n的距离为.

（1）求椭圆E的方程；

（2）直线l经过椭圆E的右焦点F且与椭圆E交于A，B两点，若椭圆E上存在一点C满足＋－2＝0，求直线l的方程．

（1）因为椭圆E的短轴的长为2，故b＝1.

依题意设直线n的方程为－y＝1，由＝，解得a＝，故椭圆E的方程为＋y2＝1.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），

当直线l的斜率为0时，显然不符合题意．

当直线l的斜率不为0或直线l的斜率不存在时，F（，0），设直线l的方程为x＝ty＋，

由得（t2＋3）y2＋2ty－1＝0，

所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，①

因为＋－2＝0，所以x3＝x1＋x2，y3＝y1＋y2，又点C在椭圆E上，

所以＋y＝＋＝

＋＋＝1，

又＋y＝1，＋y＝1，所以x1x2＋y1y2＝0，②

将x1＝ty1＋，x2＝ty2＋及①代入②得t2＝1，即t＝1或t＝－1.

故直线l的方程为x＋y－＝0或x－y－＝0.

4．（2019·

辽宁鞍山一中模拟）已知过点A（0，1）的椭圆C：

0）的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆C上的任意一点，且|BF1|，|F1F2|，|BF2|成等差数列．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线l：

y＝k（x＋2）交椭圆C于P，Q两点，若点A始终在以PQ为直径的圆外，求实数k的取值范围．

（1）因为|BF1|，|F1F2|，|BF2|成等差数列，所以2|F1F2|＝|BF1|＋|BF2|＝（|BF1|＋|BF2|），

由椭圆定义得2×

2c＝×

2a，所以c＝a.又椭圆C：

0）过点A（0，1），所以b＝1，所以c2＝a2－b2＝a2－1＝a2，

得a＝2，c＝.

所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程得消

去y得，（1＋4k2）x2＋16k2x＋16k2－4＝0.

因为直线l：

y＝k（x＋2）恒过点（－2，0），且此点为椭圆C的左顶点，所以不妨设x1＝－2，y1＝0.

由一元二次方程根与系数的关系可得，x1＋x2＝，

所以x2＝，

又y1＋y2＝k（x1＋2）＋k（x2＋2）＝k（x1＋x2）＋4k，

所以y2＝.

由点A在以PQ为直径的圆外，得∠PAQ为锐角，即·

>

0，

因为＝（－2，－1），

＝（x2，y2－1），

所以·

＝－2x2－y2＋1>

0，即＋－1<

0，整理得，20k2－4k－3>

解得k<

－或k>

所以实数k的取值范围是∪.