大学数学概率统计课后习题解答docx.docx

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大学数学概率与数理统计课后习题详解

习题一解答

1.

用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件

A：

（1）

抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件

A{两次出现的面相同}；

（2）

记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件

A{一分钟内呼叫

次数不超过3次}；

（3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A{寿命在2000到

2500小时之间}。

解

（1）{（,）,（,）,（,）,（,）}，A{（,）,（,）}.

（2）记X为一分钟内接到的呼叫次数，则

{X

k|k

0,1,2,

}，A

{Xk|k

0,1,2,3}.

（3）记X为抽到的灯泡的寿命（单位：

小时）

，则

{X

（0,

）}，

A{X

（2000,

2500）}.

2.袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设A{取得

球的号码是偶数}，B{取得球的号码是奇数}，C{取得球的号码小于5}，

问下列运算表示什么事件：

（1）AB；

（2）AB；（3）AC；（4）AC；（5）AC；（6）BC；（7）AC.

解

（1）AB是必然事件；

（2）AB是不可能事件；

（3）AC{取得球的号码是2，4}；

（4）AC{取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；

（5）AC{取得球的号码为奇数，且不小于5}{取得球的号码为5，

7，9}；

（6）BCBC{取得球的号码是不小于5的偶数}{取得球的号

码为6，8，10}；

（7）ACAC{取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码

为6，8，10}

3.

在区间[0,2]上任取一数，记

A

x1

x

1

，B

x1

x

3，求下列事

2

4

2

件的表达式：

（1）

A

B；

（2）

AB；（3）

AB；（4）

A

B.

解

（1）

AB

x1

x

3

;

4

2

（2）

AB

x0

x

1或1x2

Bx

1

x

1

x1x

3

;

2

4

2

2

（3）因为A

B，所以AB

；

（4）

ABA

x0x

1

或3

x2

x0x

1或1

或3

x24.用事件

4

2

4

2

x1

2

A,B,C的运算关系式表示下列事件：

（1）

A出现，B,C都不出现（记为

E1

）；

（2）

A,B都出现，C不出现（记为

E2

）；

（3）所有三个事件都出现（记为E3）；

（4）三个事件中至少有一个出现（记为E4）；

（5）三个事件都不出现（记为E5）；

（6）不多于一个事件出现（记为E6）；

（7）不多于两个事件出现（记为E7）；

（8）三个事件中至少有两个出现（记为E8）。

解

（1）E1ABC；

（2）E2ABC；

（3）

E3

ABC；

（4）

E4

AB

C；

（5）

E5

ABC；

（6）

E6

ABC

ABCABCABC；

（7）

E7

ABCA

BC；（8）E8

AB

AC

BC.

5.一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，

设Ai表示事件“第i次抽到废品”，i1,2,3，试用Ai表示下列事件：

（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品；

（2）只有第一次抽到废品；

（3）三次都抽到废品；

（4）至少有一次抽到合格品；

（2）只有两次抽到废品。

解

（1）

A1

A2；

（2）

A1A2A3

；（3）

A1A2A3；

（4）

A1

A2

A3；

（5）

A1A2A3

A1A2A3

A1A2A3.

6.

接连进行三次射击，设

Ai={第i次射击命中}，i

1,2,3，B

{三次射

击恰好命中二次}，C

{三次射击至少命中二次

}；试用Ai表示B和C。

解

BA1A2A3

A1A2A3A1A2A3

CA1A2

A1A3

A2A3

习题二解答

1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其

中恰有1件次品的概率。

解这是不放回抽取，样本点总数

n

50，记求概率的事件为

A，则有

3

利于A的样本点数k

455.

于是

21

45

5

k

2

1

45

44

5

3!

99

P（A）

50

50

49

48

2!

392

n

3

2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜

色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被

取到的可能性相同。

求

（1）第一次、第二次都取到红球的概率；

（2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率；

（3）二次取得的球为红、白各一的概率；

（4）第二次取到红球的概率。

解本题是有放回抽取模式，样本点总数n72.记

（1）

（2）（3）（4）题求概

率的事件分别为A,B,C,D.

（ⅰ）有利于A的样本点数kA

5

2

25

52，故

P（A）

7

49

（ⅱ）

有利于B的样本点数kB

5

2，故

P（B）

5

2

10

7

2

49

（ⅲ）

有利于C的样本点数kC

2

5

2，故

P（C）

20

49

（ⅳ）

7

5

35

5

有利于D的样本点数kD

7

5，故

P（D）

72

49

7.

3．一个口袋中装有

6只球，分别编上号码

1至6，随机地从这个口袋

中取2只球，试求：

（1）

最小号码是

3的概率；

（2）

最大号码是

3的概率。

解

本题是无放回模式，样本点总数

n

6

5.

（ⅰ）最小号码为3，只能从编号为

3，4，5，6

这四个球中取

2只，且

有一次抽到3，因而有利样本点数为

2

3，所求概率为

2

3

1.

6

5

5

（ⅱ）最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是

有利样本点数为22，所求概率为222.

6515

4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放

回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：

（1）2只都合格；

（2）1只合格，1只不合格；

（3）至少有1只合格。

解

分别记题

（1）

、

（2）、（3）涉及的事件为A,B,C，则

4

P（A）

2

4

3

2

2

6

6

5

2

5

2

4

2

P（B）

1

1

4

2

2

8

6

6

5

15

2

注意到CAB，且A与B互斥，因而由概率的可加性知

2

8

14

P（C）P（A）P（B）

15

15

5

5．掷两颗骰子，求下列事件的概率：

（1）点数之和为7；

（2）点数之和不超过5；（3）点数之和为偶数。

解分别记题

（1）、

（2）、（3）的事件为A,B,C,样本点总数n62

（ⅰ）A含样本点（2,5）,（5,2）,（1,6）,（6,1）,（3,4）,（4,3）

6

1

P（A）

2

6

6

（

ⅱ

）

B

含

样

本

点

（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）,（3,1）,（1,4）,（4,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）

105

P（B）

6218

（ⅲ）C含样本点

（1,1）,（1,3）,（3,1）,（1,5）,（5,1）;（2,2）,（2,4）,（4,2）,（2,6）,（6,2）,（3,3

）,（3,5）,（5,3）;（4,4）,（4,6）,（6,4）;（5,5）;（6,6）,一共18个样本点。

P（C）

181

362

6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每

间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。

解记求概率的事件为A，样本点总数为53，而有利A的样本点数为

543

，所以

5

4

3

12

.

P（A）

53

25

7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列

事件的概率：

（1）事件A：

“其中恰有一位精通英语”；

（2）事件B：

“其中恰有二位精通英语”；

（3）事件C：

“其中有人精通英语”。

5

解样本点总数为

3

（1）

（2）

2

3

1

2

2

3

3!

6

3；

P（A）

5

5

4

3

10

5

3

2

3

2

1

3

3!

3

；

P（B）

3

5

5

4

10

3

（3）因CAB，且A与B互斥，因而

P（C）P（A）P（B）

3

3

9.

5

10

10

8．设一质点一定落在xOy平面内由x轴、y轴及直线xy1所围成的三角

形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线

x1/3

的左边的概率。

解记求概率的事件为A，则SAy

SA

为图中阴影部分，而

||1/2，

1

1

1

2

2

5

5

1

|SA|

2

3

2

9

18

2

最后由几何概型的概率计算公式可得h

P（A）

|SA|

5/18

5.

O

1/3

1

x

||

1/2

9

图

9．（见前面问答题2.3）

10．已知A

B，P（A）

0.4

，P（B）

0.6

，求

（1）

P（A）,P（B）；

（2）

P（A

B）；（3）P（AB）；（4）P（BA）,P（AB）；（5）P（AB）.

解

（1）

P（A）

1P（A）

1

0.40.6，P（B）

1

P（B）

1

0.6

0.4；

（2）

P（A

B）

P（A）P（B）

P（AB）

P（A）

P（B）

P（A）

P（B）

0.6；

（3）

P（AB）

P（A）

0.4；

（4）

P（BA）

P（A

B）

P（）

0

P（AB）

P（A

B）

1

P（A

B）

1

0.60.4;

（5）

P（AB）

P（B

A）

0.6

0.4

0.2.

11．设A,B是两个事件，已知P（A）0.5，P（B）0.7，P（AB）0.8，试求P（AB）

及P（BA）.

解注意到P（AB）P（A）P（B）P（AB），因而P（AB）P（A）P（B）

P（AB）0.50.70.80.4.于是，P（AB）P（AAB）P（A）P（AB）

0.50.40.1；

P（BA）P（BAB）P（B）P（AB）0.70.40.3.

习题三解答

1．已知随机事件A的概率P（A）0.5，随机事件B的概率P（B）0.6，条件

概率P（B|A）0.8，试求P（AB）及P（AB）.

解P（AB）P（A）P（B|A）0.50.80.4

P（AB）P（AB）1P（AB）1P（A）P（B）P（AB）

10.50.60.40.3

2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一

个），求第三次才取得正品的概率。

解

p

10

9

90

81

9.

100

99

98

99

98

1078

3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为，购买股票的概率为，两项

投资都做的概率为

（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？

（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？

解记A{基金}，B{股票}，则P（A）0.58,P（B）0.28,P（AB）0.19

（1）

（2）

P（AB）

0.19

P（B|A）

0.327.

P（A）

0.58

P（AB）

0.19

P（A|B）

0.678.

P（B）

0.28

4．给定P（A）0.5，P（B）0.3，P（AB）0.15，验证下面四个等式：

P（A|B）P（A）,P（A|B）

P（A）,

P（B|A）P（B），P（B|A）P（B）.

解

P（AB）

0.15

1

P（A|B）

0.3

P（A）

P（B）

2

P（AB）

P（A）

P（AB）

0.5

0.15

0.35

P（A|B）

1

P（B）

0.7

0.5P（A）

P（B）

0.7

P（AB）0.15

0.3P（B）

P（B|A）

0.5

P（A）

P（AB）

P（B）

P（AB）

0.3

0.15

0.15

P（B|A）

1

P（A）

0.5

P（B）

P（A）

0.5

5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为，，，，若坐

火车，迟到的概率是，若坐船，迟到的概率是，若坐汽车，迟到的概率是，

若坐飞机则不会迟到。

求他最后可能迟到的概率。

解

B

{迟到}，1

，A

2

{坐船}

3

4

{乘飞

A{坐火车}

，A

{坐汽车}，A

机}，则B

4

BAi，且按题意

i1

P（B|A1）0.25，P（B|A2）

0.3，P（B|A3）

0.1，P（B|A4）0.

由全概率公式有：

4

P（B）

P（Ai

）P（B|Ai

）

0.30.25

0.20.3

0.10.1

0.145

i1

6．已知甲袋中有

6只红球，

4只白球；乙袋中有

8只红球，

6只白球。

求下列事件的概率：

（1）随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；

（2）合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。

解

（1）

记B

{该球是红球}，A1

{取自甲袋}，A2

{取自乙袋}，已知

P（B|A1）

6/10，P（B|A2）

8/14，所以

P（B）

P（A1）P（B|A1）

1

6

1

8

41

P（A2）P（B|A2）

10

2

14

70

14

7

2

（2）

P（B）

24

12

7．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分

别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求

该厂产品的次品率。

解0.250.050.350.040.40.02

0.01250.01400.0080.03453.45%

8．发报台分别以概率，发出"?

"和""，由于通信受到干扰，当发出"?

"时，

分别以概率和收到"?

"和""，同样，当发出信号""时，分别以和的概率收

到""和"?

"。

求

（1）收到信号"?

"的概率；

（2）当收到"?

"时，发出"?

"的概率。

解记

B{收到信号

"?

"}

，

A

{发出信号

"?

"}

（1）

P（B）

P（A）P（B|A）

P（A）P（B|A）

0.60.80.40.10.480.040.52

（2）P（A|B）

P（A）P（B|A）

0.60.8

12.

P（B）

0.52

13

9．设某工厂有A,B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占

总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，

2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间A,B,C生产

的概率。

解为方便计，记事件A,B,C为A,B,C车间生产的产品，事件D{次品}，

因此

P（D）P（A）P（D|A）P（B）P（D|B）P（C）P（D|C）

0.25

0.05

0.35

0.04

0.4

0.02

0.0125

0.014

0.008

0.0345

P（A）P（D|A）

0.25

0.05

0.362

P（A|D）

P（D）

0.0345

P（B）P（D|B）

0.35

0.04

0.406

P（B|D）

P（D）

0.0345

P（C）P（D|C）

0.4

0.02

0.232

P（C|D）

P（D）

0.0345

10．设A与B独立，且P（A）

p,P（B）q，求下列事件的概率：

P（AB），

P（AB），P（AB）.

解P（AB）P（A）P（B）P（A）P（B）pqpq

P（A

P（A

11．已知