高考数学理科必考点一集合常用逻辑用语.docx
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高考数学理科必考点一集合常用逻辑用语
必考点一 集合、常用逻辑用语
[高考预测]——运筹帷幄
1．以函数的定义域、值域、不等式的解集等为背景考查集合之间的交集、并集及补集的基本运算．
2．利用集合之间的关系求解参数的值或取值范围．
3．考查全称命题、特称命题的否定，以及全称命题与特称命题的真假判断．
4．考查充分必要条件与集合、函数、方程、数列、三角函数、不等式、平面向量、立体几何中的线面位置关系等相交汇的问题．
[速解必备]——决胜千里
1．设有限集合A，card（A）＝n（n∈N*），则
（1）A的子集个数是2n；
（2）A的真子集个数是2n－1；
（3）A的非空子集个数是2n－1；（4）A的非空真子集个数是2n－2.
2．
（1）（∁RA）∩B＝B⇔B⊆∁RA；
（2）A∪B＝B⇔A⊆B⇔A∩B＝A；
（3）∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）；
（4）∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．
3．若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则关于充分条件、必要条件又可叙述为：
（1）若A⊆B，则p是q的充分条件；
（2）若A⊇B，则p是q的必要条件；
（3）若A＝B，则p是q的充要条件．
[速解方略]——不拘一格
类型一 集合的概念及运算
[例1]
（1）已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|（x－1）（x＋2）<0}，则A∩B＝（ ）
A．{－1,0} B．{0,1}
C．{－1,0,1}D．{0,1,2}
解析：
基本法：
化简集合B，利用交集的定义求解．
由题意知B＝{x|－2速解法：
验证排除法：
∵－1∈B，故排除B、D.
∵1∉B，∴1∉A∩B，排除C.
答案：
A
（2）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A．1B．3
C．5D．9
解析：
基本法：
用列举法把集合B中的元素一一列举出来．
当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；
当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；
当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；
当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；
当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．故选C.
速解法一：
排除法：
估算x－y值的可能性，排除不可能的结果．
∵x∈A，y∈A，∴x－y＝±1，x－y＝±2.
B中至少有四个元素，排除A、B，而D选项是9个元素．
即3×3更不可能．故选C.
速解法二：
当x＝y时，x－y＝0；
当x≠y时，x与y可以相差1，也可以相差2，即x－y＝±1，x－y＝±2.
故B中共有5个元素，B＝{0，±1，±2}．故选C.
答案：
C
方略点评：
对于集合问题，可根据元素的特征采用排除法快速求解，注意数轴、Venn图的应用.
1．（2016·河南郑州市高三质检）设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则∁U（A∩B）＝（ ）
A．{1,2,3} B．{1,2,4}
C．{1,3,4}D．{2,3,4}
解析：
基本法：
本题主要考查集合的基本运算．
因为U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以∁U（A∩B）＝{1,2,3}，故选A.
速解法：
∵A∩B＝{4}．∴4∉∁U（A∩B），排除B、C、D只能选A.
答案：
A
2．（2016·高考全国甲卷）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝（ ）
A．{－2，－1,0,1,2,3}B．{－2，－1,0,1,2}
C．{1,2,3}D．{1,2}
解析：
基本法：
（直接法）先化简集合B，再利用交集定义求解．
∵x2<9，∴－3又A＝{1,2,3}，
∴A∩B＝{1,2,3}∩{x|－3速解法：
（代入检验法）12＜9,22＜9,32＝9，且A∩B⊆A.
故A∩B＝{1,2}，选D.
答案：
D
类型二 充分、必要条件
[例2]
（1）函数f（x）在x＝x0处导数存在．若p：
f′（x0）＝0；q：
x＝x0是f（x）的极值点，则（ ）
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：
基本法：
利用命题和逆命题的真假来判断充要条件，注意判断为假命题时，可以采用反例法．
当f′（x0）＝0时，x＝x0不一定是f（x）的极值点，
比如，y＝x3在x＝0时，f′（0）＝0，但在x＝0的左右两侧f′（x）的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．
由极值的定义知，x＝x0是f（x）的极值点必有f′（x0）＝0.
综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．
答案：
C
（2）“x∈
”是“函数y＝sin
为单调递增函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
基本法：
若函数y＝sin
为单调递增函数，则－
＋2kπ≤x＋
≤
＋2kπ，k∈Z，
即－
＋2kπ≤x≤
＋2kπ，k∈Z.
从而函数y＝sin
的单调递增区间是
（k∈Z）．
因此若x∈
，则函数y＝sin
为单调递增函数；
若函数y＝sin
为单调递增函数
x∈
.
所以“x∈
”是“函数y＝sin
为单调递增函数”的充分不必要条件．故选A.
速解法：
当x∈
时⇒x＋
∈
⇒y＝sin
为增函数，
但y＝sin
为增函数
x＋
∈
x∈
.
答案：
A
方略点评：
1.此类问题实质是判断命题真假或条件与结论的推导关系．第
（1）题采用了特例（y＝x3）验证，第
（2）题采用了“⇒”形式进行简单推理．
2．先后顺序：
“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
3．准确转化：
若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若綈p是綈q的充要条件，那么p是q的充要条件．
1．已知x∈R，则“x2－3x>0”是“x－4>0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
基本法：
判断x2－3x>0⇒x－4>0还是x－4>0⇒x2－3x>0.
注意到x2－3x>0⇔x<0或x>3，x－4>0⇔x>4.由x2－3x>0不能得出x－4>0；反过来，由x－4>0可得出x2－3x>0，因此“x2－3x>0”是“x－4>0”的必要不充分条件．故选B.
答案：
B
速解法：
利用反例和实数的运算符号寻找推导关系．如x＝4时，满足x2－3x>0，但不满足x－4>0，即不充分．
若x－4>0，则x（x－3）>0，即必要．故选B.
答案：
B
2．（2016·高考山东卷）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
根据直线、平面的位置关系及充分、必要条件的定义进行判断．由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
答案：
A
类型三 命题判定及否定
[例3]
（1）设命题p：
∃n∈N，n2＞2n，则綈p为（ ）
A．∀n∈N，n2＞2nB．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n
解析：
基本法：
因为“∃x∈M，p（x）”的否定是“∀x∈M，綈p（x）”，所以命题“∃n∈N，n2＞2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.
答案：
C
（2）不等式组
的解集记为D，有下面四个命题：
p1：
∀（x，y）∈D，x＋2y≥－2；
p2：
∃（x，y）∈D，x＋2y≥2；
p3：
∀（x，y）∈D，x＋2y≤3；
p4：
∃（x，y）∈D，x＋2y≤－1；
其中的真命题是（ ）
A．p2，p3B．p1，p4
C．p1，p2D．p1，p3
解析：
基本法：
作出不等式组表示的可行域，如图（阴影部分）．
由
得交点A（2，－1）．
目标函数的斜率k＝－
＞－1，
观察直线x＋y＝1与直线x＋2y＝0的倾斜程度，可知u＝x＋2y过点A时取得最小值0.
.
结合题意知p1，p2正确．
速解法：
在区域D内取一点M（3,2）．
则x＋2y＝7，满足p2，不满足p3，故选C.
答案：
C
方略点评：
（1）基本法采用的是画出可行域，寻找与目标函数z＝x＋2y的关系进行判定.,速解方法是利用一个特殊点，满足p2，排除B、D，不满足p3，排除A.
（2）要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p（x）成立，要判定其为假命题，只需举出一个反例即可.
（3）要判定一个特称（存在性）命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p（x0）成立即可；否则，这一特称（存在性）命题就是假命题.特别注意：
命题的否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定是只否定命题的结论.
1．（2016·山西四校联考）已知命题p：
∃x∈R,2x＞3x；命题q：
∀x∈
，tanx＞sinx，则下列是真命题的是（ ）
A．（綈p）∧q B．（綈p）∨（綈q）
C．p∧（綈q）D．p∨（綈q）
解析：
基本法：
先判断命题p、q的真假，然后根据选项得出正确结论．
当x＝－1时，2－1＞3－1，所以p为真命题；当x∈
时，tanx－sinx＝
＞0，所以q为真命题，所以p∨（綈q）是真命题，其他选项都不正确，故选D.
速解法：
p为真时，p或任何命题为真，故选D.
答案：
D
2．（2016·陕西西安市高三质检）已知命题p：
∃x∈R，log2（3x＋1）≤0，则（ ）
A．p是假命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）≤0
B．p是假命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）＞0
C．p是真命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）≤0
D．p是真命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）＞0
解析：
基本法：
本题主要考查命题的真假判断、命题的否定．
∵3x＞0，∴3x＋1＞1，则log2（3x＋1）＞0，∴p是假命题；綈p：
∀x∈R，log2（3x＋1）＞0.故应选B.
答案：
B
[终极提升]——登高博见
选择题、填空题的解法——直接法
方法诠释
直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”作出相应的选择，从而确定正确选项的方法．
适用范围
涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．
解题规律
基本法，单刀直入
限时速解训练一 集合、常用逻辑用语
（建议用时40分钟）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁UA＝（ ）
A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}
C．{2,4,7}D．{2,5,7}
解析：
选C.由补集的定义，得∁UA＝{2,4,7}．故选C.
2．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ）
A．－3∈AB．3∉B
C．A∩B＝BD．A∪B＝B
解析：
选C.由题知A＝{y|y≥－1}，因此A∩B＝{x|x≥2}＝B，故选C.
3．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝（ ）
A．[0,1]B．（0,1]
C．[0,1）D．（－∞，1]
解析：
选A.M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lgx≤0}＝
{x|04．（2016·山东聊城模拟）集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为（ ）
A．0B．1
C．2D．4
解析：
选D.因为A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，
A∪B＝{0,1,2,4,16}，
所以
则a＝4.
5．（2016·湖北八校模拟）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
选A.因为a＞2，则a2＞2a成立，反之不成立，所以“a＞2”是“a2＞2a”成立的充分不必要条件．
6．已知集合A＝{z∈C|z＝1－2ai，a∈R}，B＝{z∈C||z|＝2}，则A∩B等于（ ）
A．{1＋
i,1－
i}B．{
－i}
C．{1＋2
i,1－2
i}D．{1－
i}
解析：
选A.问题等价于|1－2ai|＝2，a∈R，解得a＝±
.故选A.
7．已知命题p：
对任意x＞0，总有ex≥1，则綈p为（ ）
A．存在x0≤0，使得ex0＜1
B．存在x0＞0，使得ex0＜1
C．对任意x＞0，总有ex＜1
D．对任意x≤0，总有ex＜1
解析：
选B.因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：
对任意x＞0，总有ex≥1的否定綈p为：
存在x0＞0，使得ex0＜1.故选B.
8．已知命题p：
∃x0∈R，tanx0＝1，命题q：
∀x∈R，x2＞0.下面结论正确的是（ ）
A．命题“p∧q”是真命题
B．命题“p∧（綈q）”是假命题
C．命题“（綈p）∨q”是真命题
D．命题“（綈p）∧（綈q）”是假命题
解析：
选D.取x0＝
，有tan
＝1，故命题p是真命题；当x＝0时，x2＝0，故命题q是假命题．再根据复合命题的真值表，知选项D是正确的．
9．给出下列命题：
①∀x∈R，不等式x2＋2x＞4x－3均成立；
②若log2x＋logx2≥2，则x＞1；
③“若a＞b＞0且c＜0，则
＞
”的逆否命题；
④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．
其中真命题是（ ）
A．①②③B．①②④
C．①③④D．②③④
解析：
选A.①中不等式可表示为（x－1）2＋2＞0，恒成立；
②中不等式可变为log2x＋
≥2，得x＞1；
③中由a＞b＞0，得
＜
，而c＜0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；
④由p且q为假只能得出p，q中至少有一个为假，④不正确．
10．（2016·山东济南模拟）设A，B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．已知A＝{x|y＝
}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B＝（ ）
A．[0,1]∪（2，＋∞）B．[0,1）∪[2，＋∞）
C．[0,1]D．[0,2]
解析：
选A.由题意得A＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，所以A∪B＝[0，＋∞），A∩B＝（1,2]，所以A×B＝[0,1]或（2，＋∞）．
11．“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”是“0＜b＜1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
选B.若“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”，则圆心到直线的距离为d＝
＜1，即|b|＜
，不能得到0＜b＜1；反过来，若0＜b＜1，则圆心到直线的距离为d＝
＜
＜1，所以直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交，故选B.
12．（2016·陕西五校二模）下列命题正确的个数是（ ）
①命题“∃x0∈R，x
＋1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；
②“函数f（x）＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件；
③x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔（x2＋2x）min≥（ax）max在x∈[1,2]上恒成立；
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b＜0”．
A．1B．2
C．3D．4
解析：
选B.易知①正确；因为f（x）＝cos2ax，所以
＝π，即a＝±1，因此②正确；因为x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇒a≤x＋2在x∈[1,2]上恒成立⇒a≤（x＋2）min，x∈[1,2]，因此③不正确；因为钝角不包含180°，而由a·b＜0得向量夹角包含180°，因此“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b＜0且a与b不反向”，故④不正确．
二、填空题（把答案填在题中横线上）
13．若关于x的不等式|x－m|<2成立的充分不必要条件是2≤x≤3，则实数m的取值范围是________．
解析：
由|x－m|<2得－2，由此解得1答案：
（1,4）
14．若命题“∃x0∈R，x
－2x0＋m≤0”是假命题，则m的取值范围是________．
解析：
由题意，命题“∀x∈R，x2－2x＋m＞0”是真命题，故Δ＝（－2）2－4m＜0，即m＞1.
答案：
（1，＋∞）
15．已知p：
∃x0∈R，mx
＋2≤0，q：
∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是________．
解析：
因为p∨q是假命题，
所以p和q都是假命题．
由p：
∃x0∈R，mx
＋2≤0为假命题知，
綈p：
∀x∈R，mx2＋2＞0为真命题，
所以m≥0.①
由q：
∀x∈R，x2－2mx＋1＞0为假命题知，
綈q：
∃x0∈R，x
－2mx0＋1≤0为真命题，
所以Δ＝（－2m）2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②由①和②得m≥1.
答案：
[1，＋∞）
16．下列四个命题中，真命题有________．（写出所有真命题的序号）
①若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”是“a＞b”成立的充分不必要条件；②命题“∃x0∈R，x
＋x0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”；③命题“若|x|≥2，则x≥2或x≤－2”的否命题是“若|x|＜2，则－2＜x＜2”；④函数f（x）＝lnx＋x－
在区间（1,2）上有且仅有一个零点．
解析：
①若c＝0，则不论a，b的大小关系如何，都有ac2＝bc2，而若ac2＞bc2，则有a＞b，故“ac2＞bc2”是“a＞b”成立的充分不必要条件，故①为真命题；②特称命题的否定是全称命题，故命题“∃x0∈R，x
＋x0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，故②为真命题；③命题“若p，则q”形式的命题的否命题是“若綈p，则綈q”，故命题“若|x|≥2，则x≥2或x≤－2”的否命题是“若|x|＜2，则－2＜x＜2”，故③为真命题；④由于f
（1）f
（2）＝
＝
×
＜0，则函数f（x）＝lnx＋x－
在区间（1,2）上存在零点，又函数f（x）＝lnx＋x－
在区间（1,2）上为增函数，所以函数f（x）＝lnx＋x－
在区间（1,2）上有且仅有一个零点，故④为真命题．
答案：
①②③④
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