高中数学函数典型例题及习题Word格式.doc
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（5）的内角和，由得．
由正弦定理，知
，．
因为，
所以
总结：
求解这类具体函数的定义域时，要求我们牢记一些常用的原则：
（1）分母不等于0；
（2）偶次方根内不小于0，奇次方根内可为一切实数；
（3）对数的真数大于0以及一个容易出错的函数的定义域：
（4）实际问题求定义域时要符合实际意义.
变式1.求下列函数的定义域：
参考答案：
（1）
变式2.求的定义域。
由题意知：
，从而解得：
x>
－2且x≠±
4.故所求定义域为：
{x|x>
4}。
2、求与复合函数有关的定义域：
利用抽象复合函数的性质解答：
（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：
只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域。
（2）已知复合函数的定义域为，求原函数的定义域：
只需根据求出函数的值域，即得原函数的定义域
（1）是已知，即括号内是其他函数形式的定义域,此题为一元二次函数的形式；
而题
（2）相反.题（3）已知函数和所求函数的括号内都为其他函数.上述三题代表了求抽象函数定义域的常见形式.
（1）由条件知，
总结：
由上面的求解过程我们可以总结出解这类题的技巧、规律，即抽象函数的定义域
求解要切实把握两点：
（1）求函数的定义域是求函数表达式中x的范围；
（2）在一个题目里
函数括号内的式子的范围一样.
例2求下列函数的定义域：
（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域。
（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域。
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域。
（1）令-2≤—1≤2得-1≤≤3，即0≤≤3，从而-≤≤
∴函数的定义域为。
（2）∵的定义域为，即在中∈，令，∈，则∈，即在中，∈∴的定义域为。
（3）由题得
变式1、
（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域
（2）若函数的定义域为，求函数的定义域。
参考答案:
（1）f（x）的定义域为[0,1];
（2）f（x）的定义域为[,4]
变式2、.求下列函数的定义域：
变式3若函数f（2x）的定义域是［－1，1］，求f（log2x）的定义域。
由f（2x）的定义域是［－1，1］可知：
2－1≤2x≤2，所以f（x）的定义域为
［2－1，2］，故log2x∈［2－1，2］，解得，故定义域为。
3、求解含参数的函数的定义域：
一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。
例1.求函数的定义域。
解：
若，则x∈R；
若，则；
故所求函数的定义域：
当时为R，当时为，当时为。
说明：
此处求定义域是对参变量a进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据a的不同取值范围分别论述。
例2求函数的定义域。
由题得
（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论。
（2）对于指数函数和对数函数，如果已知条件中，没有给定底数的取值范围，一般要分类讨论。
变式1、求函数的定义域。
当a>
1时，函数的定义域为（0，+）；
当0<
a<
1时，函数的定义域为（-3,0）
5、实际问题函数的定义域
先求函数的自变量的取值范围，再考虑自变量的实际限制条件，最后把前面两者的范围求交集，即得函数的定义域。
例1、用长为的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）。
若矩形底边长为，求此框架围成的面积与关于的函数解析式，并求出它的定义域。
如图，设，则=,于是=
因此
即＝-
再由题得
解之得0＜＜
所以函数解析式是＝-，函数的定义域是。
变式1、一个圆柱形容器的底部直径是,高是.现在以的速度向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度关于注入溶液的时间的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.
求函数解析式
1、直接法：
由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。
例1.已知函数y＝f（x）满足xy＜0，4x2－9y2＝36，求该函数解析式。
由4x2－9y2＝36可解得：
。
这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成的形式。
变式1.已知,求的解析式.
用观察配凑的方法很容易发现函数的特点，容易求得答案为
2、待定系数法：
由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。
例2.已知在一定条件下，某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m时，水流量为340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。
设，代入x，y的值可求得反比例系数k＝780m3/s，故所求函数关系式为。
变式2.已知函数f（x）是一次函数，且满足关系式3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17,
求f（x）的解析式。
先将f（x）=kx+b,然后代入函数关系式中，得到关于k,b的二元一次方程组，求解该二元一次方程组可得f（x）的解析式为f（x）=2x+7。
3、换元法：
题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
例3.已知，试求。
设，则，代入条件式可得：
，t≠1。
故得：
要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。
变式3.若,求.
用换元法容易解得f（x）= 。
4、构造方程组法：
对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。
例4.
（1）已知，试求；
（2）已知，试求；
（1）由条件式，以代x，则得，与条件式联立，消去，则得：
（2）由条件式，以－x代x则得：
，与条件式联立，消去，则得：
本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。
变式4.已知求．
5、实际问题中的函数解析式：
这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。
例5.动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发，顺次经过C、D再到A停止。
设x表示P行驶的路程，y表示PA的长，求y关于x的函数。
当x∈［0，1］时：
y＝x；
当x∈（1，2）时：
；
当x∈（2，3）时：
故综上所述，有
二、值域
（从自变量的范围出发，推出的取值范围）
例1．求函数的值域。
因为，所以，
所以函数的值域为。
2、配方法（是求二次函数值域的基本方法，如的函数的值域问题，均可使用配方法）
例2．求函数（）的值域。
，
因为，所以，所以
所以，即
所以函数（）的值域为。
3、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）
例4．求函数的值域。
因为，
所以，所以，
4、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。
令（），则，
所以
因为当，即时，，无最小值。
5、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数的值域（时为减函数；
时为增函数））
例5．求函数的值域。
因为当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，
所以函数在定义域上是增函数。
所以，所以函数的值域为。
6、利用有界性（利用某些函数有界性求得原函数的值域）
例6求函数的值域。
由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得
，
因为，所以（，），
所以函数的值域为
7、数型结合法（函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法）
y
x
o
2
1
-1
例7．求函数的值域。
，，
图像如右图所示，故原函数的值域为
8、复合函数法：
对函数，先求的值域充当的定义域，从而求出的值域的方法。
例8：
求函数的值域。
9、构造法：
根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。
例9：
点拨：
将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：
原函数变形为
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位
正方形。
设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,
KC=。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。
当A、K、C三点共
线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.
三、函数的单调性
一、判断函数单调性的方法
1、定义
2、求导
注：
抽象函数用定义判断单调性
注意：
二、复合函数单调性（同增异减）
（外）y=f（u）
↑
↓
（外）u=g（x）
（复合）y=f[g（x）]
三、基本题型
题型一求单调区间
例1、
解：
设
故增区间，减区间
变式：
答案：
（1）减区间；
增区间
（2）减区间；
增区间（3）减区间；
（4）减区间；
例2、
知
增区间减区间
增区间;
减区间
例3、
①
增区间；
②
综上，增区间为和，减区间和
求的单调区间
增区间，减区间
例4、若函数在[2，+是增函数，求实数的范围。
在[2，+是增函数，
[2，+是增函数，且
变式1：
已知函数存在单调递减区间，求的取值范围
a>
变式2：
在区间上不单调，求的取值范围。
-5<
1,且a≠-1
:
题型二证明单调性
例1、求证.
法一：
（定义法）
法二：
（导数法）
求证：
证明：
略
函数对任意的、，都有，并且当时，.求证：
是上的增函数。
题型三单调性应用
一、求最值（或值域）
例1、
变式3：
9000
二、比较大小
例2、
比较的大小
，解得
当时，有0<
<
．函数在上单调递增，
故
三、解不等式
解不等式
当;
当
构造函数，据单调性解题
四、求参数范围（本质：
转化为恒成立问题）
例4、的减区间为，求a的值
解析：
由题意知函数对称轴x=1-a=4,得a=-3
在上是减函数，求a的取值范围
由题意知函数对称轴x=1-a，得
函数在单调递增，求a的取值范围；
函数单调递增，求a的取值范围
变式4：
已知函数在R上单调递增，且，求a的取值范围
例5、定义在（-1，1）上的函数是奇函数，并且在（-1，1）上是减函数，求满足条件的取值范围。
0<
定义在R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有恒成立，求实数的取值范围。
若函数上单调递增，且恒成立，求实数a的取值范围
已知定义域为的函数是奇函数。
（1）求、的值；
（2）证明：
函数在R上是减函数；
（3）若对于恒成立，求的取值范围。
（1）a=2,b=1,
（2）略，（3）
五、证明不等式
例5、当，证明：
构造函数
，当x>
0时，，故f（x）在上单调递减
从而<
0,即
同理可证
当证明：
已知，且，，n2
求证
构造函数，证明f（n）是单调递减
.例6、当证明：
此题为幂指数函数不等式，用求差或求商构造辅助函数很难对其求导，更难判断其导函数的符号，本题可对不等式两边取对数，在此基础上求差构造辅助函数证明之
对不等式两边取对数得
化简为
设辅助函数
知上单调递增，从而
即
设b>
e,证明
对不等式求对数，再证明之
四、函数奇偶性
函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法．
1．定义域判定法
例1 判定的奇偶性．
要使函数有意义，须，解得，
定义域不关于原点对称，原函数是非奇非偶函数．
评注：
用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性．
2．定义判定法
例2 判断的奇偶性．
函数的定义域为，
且 ，
函数是偶函数．
评注：
在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性．
3．等价形式判定法
例3 判定的奇偶性．
的定义域为，关于原点对称，当时，，图象过原点．
又时，，．
又，为奇函数．
常用等价变形形式有：
若或，则为奇函数；
若或，则为偶函数（其中）．
4．性质判定法
例4 若，是奇函数，是偶函数，
试判定的奇偶性．
在的公共定义域内，任取一个，则，
分别是奇函数和偶函数，
，．
．
在上为奇函数．
在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：
①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；
②两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；
③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．
5.易错题
判断、证明下列函数的奇偶性.
（1）；
（2）.
错解分析：
（1）.
显然有＝，∴为偶函数.
（2）∵，于是≠且≠－.
∴为非奇非偶函数.
解析：
（1）∵的定义域为≥０，即－1≤＜1.
定义域不是关于原点对称的数集，∴为非奇非偶函数.
（2）∵的定义域为且≠０，即－1＜＜1且≠0，此时.
∴，∴为奇函数.
技巧提示：
正确判定函数的奇偶性，必须先考虑函数的定义域.
又例:
判断下列函数的奇偶性.
（2）；
（3）.
（1）∵≥0，即－1≤≤1.此时，∴，为奇函数.
（2）当＞0，－＜0时，
＝，＝，＝－；
当＜0，－＞0时，
∴为奇函数.
（3）∵的定义域为.
此时函数化为＝0，.
∴既是奇函数又是偶函数.
4.巩固练习
练习1：
讨论函数的奇偶性.
函数定义域为R，
又
＝.
∴为偶函数.
判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）.
如本题亦可先化简：
，显然为偶函数.
从这可以看出，化简后再解决要容易得多.
练习2：
证明函数为奇函数.
∵＋＝＋
＝＝＝0
∴为奇函数.
练习3：
讨论函数（≠0）的奇偶性.
∵≤，∴要分＞0与＜0两类讨论.
（i）当＞0时，由，函数的定义域为，
∵≥0，∴，为奇函数；
（ii）当＜0时，由，函数的定义域为，
∵≤0，∴，既不是奇函数，也不是偶函数.
类型二：
奇偶函数性质的应用
题型一：
利用奇偶性求参数的值
例1 已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1,2a]的偶函数，那么a+b的值为.
∵f（x）是定义在[a-1,2a]的偶函数，∴b=0
a-1+2a=0，解得b=0,a=
故a+b=.
点评：
对于多项式型的函数f（x）=a1xn+a2xn-1+…+an，若f（x）为奇函数，则应只保留x的奇次项，若为偶函数则应只保留x的偶次项.故b=0，又奇偶函数定义域关于原点对称，故a-1+2a=0.
例2 已知函数f（x）=是定义在r上的奇函数，求a的值.
解法一：
∵f（x）是定义在r上的奇函数
∴f（x）=0，
即：
=0，∴a=1
解法二：
∵f（x）是定义r在的奇函数
∴f（-x）=-f（x）
=-
整理得（2a-2）（2x+1）=0
∴2a-2=0
解之得a=1
对于奇函数f（x），若0∈f（0）定义域，则此性质可大大减少运算量。
故首选f（0）=0，若0?
埸定义域，再考虑f（-x）=-f（x），利用恒等式求解。
题型二：
利用奇偶性求函数解析式
例3 已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1+x）求出函数的解析式。
当x0
∵当x≥0时，f（x）=x（1+x）
∴f（-x）=-x（1-x）
∵f（x）是r上的奇函数
∴f（x）=-f（-x）=x（1-x）
∴f（x）=x（1+x），（x≥0）x（1-x），（x
（2）
综合
（1）
（2）得<
m≤2
对于偶函数有f（-x）=f（x）=f（|x|），可以避免讨论。
真可谓是“巧取绝对值，妙解不等式”。
题型三：
利用奇偶函数图像解题
例5 已知f（x）是定义在r的偶函数且f
（2）=0，在区间[0，+∞）递增，求f（x）的解集.
做出符合条件的一种图形，偶函数的图像关于y轴对称.如：
奇偶函数具有对称性，因此作图时，可以先做出y轴右边的图象，在根据对称性画出y轴左边的图像，就可得出整个定义域内的图像.
类型三:
综合题型
【例1】设，是上的偶函数.
（1）求的值；
（2）证明在上为增函数.
（1）依题意，对一切，有，即.
∴ 对一切成立，
则，即.∵，∴.
（2）设，则
由，得，，
∴，
即，∴在上为增函数.
两小题都只要抓住偶函数、增函数的定义解决问题就不难.两小题中变形的都是因式分解，第
（2）小题的变形以容易判别符号为目标.
又例：
已知是定义在上的偶函数，且在上为减函数，若，求实数的取值范围.
是上的偶函数且在上为减函数.
∴由，有，
即，解得≤－1或≥2.
已知函数的定义域关于原点对称，且满足：
（2）存在正常数，使＝1.
（Ⅰ）是奇函数；
（Ⅱ）是周期函数，并且有一个周期为4.
（Ⅰ）设，则
所以函数是奇函数.
（Ⅱ）令，则
即，解得：
＝0.
于是有.
所以.
因此，函数是周期函数，并且有一个周期为4.
【例2】函数的定义域为D：
，且满足对于任意，有.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断的奇偶性并证明；
（Ⅲ）如果，，且在上是增函数，求的取值范围.
（Ⅰ）令，
（Ⅱ）令
令∴为偶函数.
（Ⅲ）
∴
（1）
∵在上是增函数，
∴
（1）等价于不等式组：
解得
∴
∴x的取值范围为
五、函数的周期性
周期性定义：
对于函数y＝f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，，都成立，那么f（x）是周期函数，T是它的周期．对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小的正数叫最小正周期．
命题1：
若函数的图象关于直线对称，则为周期函数，且
命题2：
若函数的图象关于点对称，则
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