常用数学算法C语言实现Word文档下载推荐.docx
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{s=s+i;
/*累加式*/
i=i+1;
/*特殊得累加式*/
1+2+3+、、、+100=%d\n"
s）;
【解析】程序中加粗部分为累加式得典型形式,赋值号左右都出现得变量称为累加器,其中“i=i+1”为特殊得累加式,每次累加得值为1,这样得累加器又称为计数器。
3.累乘
累乘算法得要领就是形如“s=s*A”得累乘式,此式必须出现在循环中才能被反复执行,从而实现累乘功能。
“A”通常就是有规律变化得表达式,s在进入循环前必须获得合适得初值,通常为1。
例1、求10！
[分析]10！
=1×
2×
3×
……×
10
{inti;
longc;
c=1;
=10）
{c=c*i;
/*累乘式*/
1*2*3*、、、*10=%ld\n"
c）;
二、非数值计算常用经典算法
1.穷举
也称为“枚举法”,即将可能出现得每一种情况一一测试,判断就是否满足条件,一般采用循环来实现。
例1、用穷举法输出所有得水仙花数（即这样得三位正整数:
其每位数位上得数字得立方与与该数相等,比如:
13+53+33=153）。
[法一]
{intx,g,s,b;
for（x=100;
x<
=999;
x++）
{g=x%10;
s=x/10%10;
b=x/100;
if（b*b*b+s*s*s+g*g*g==x）printf（"
%d\n"
x）;
【解析】此方法就是将100到999所有得三位正整数一一考察,即将每一个三位正整数得个位数、十位数、百位数一一求出（各数位上得数字得提取算法见下面得“数字处理”）,算出三者得立方与,一旦与原数相等就输出。
共考虑了900个三位正整数。
[法二]
{intg,s,b;
for（b=1;
b<
=9;
b++）
for（s=0;
s<
s++）
for（g=0;
g<
g++）
if（b*b*b+s*s*s+g*g*g==b*100+s*10+g）printf（"
b*100+s*10+g）;
【解析】此方法就是用1到9做百位数字、0到9做十位与个位数字,将组成得三位正整数与每一组得三个数得立方与进行比较,一旦相等就输出。
共考虑了900个组合（外循环单独执行得次数为9,两个内循环单独执行得次数分别为10次,故if语句被执行得次数为9×
10×
10=900）,即900个三位正整数。
与法一判断得次数一样。
2.排序
（1）冒泡排序（起泡排序）
假设要对含有n个数得序列进行升序排列,冒泡排序算法步骤就是:
①从存放序列得数组中得第一个元素开始到最后一个元素,依次对相邻两数进行比较,若前者大后者小,则交换两数得位置;
②第①趟结束后,最大数就存放到数组得最后一个元素里了,然后从第一个元素开始到倒数第二个元素,依次对相邻两数进行比较,若前者大后者小,则交换两数得位置;
③重复步骤①n-1趟,每趟比前一趟少比较一次,即可完成所求。
例1、任意读入10个整数,将其用冒泡法按升序排列后输出。
#definen10
{inta[n],i,j,t;
for（i=0;
i<
n;
i++）scanf（"
%d"
a[i]）;
for（j=1;
j<
=n-1;
j++）/*n个数处理n-1趟*/
=n-1-j;
i++）/*每趟比前一趟少比较一次*/
if（a[i]>
a[i+1]）{t=a[i];
a[i]=a[i+1];
a[i+1]=t;
i++）printf（"
a[i]）;
（2）选择法排序
选择法排序就是相对好理解得排序算法。
假设要对含有n个数得序列进行升序排列,算法步骤就是:
①从数组存放得n个数中找出最小数得下标（算法见下面得“求最值”）,然后将最小数与第1个数交换位置;
②除第1个数以外,再从其余n-1个数中找出最小数（即n个数中得次小数）得下标,将此数与第2个数交换位置;
③重复步骤①n-1趟,即可完成所求。
例1、任意读入10个整数,将其用选择法按升序排列后输出。
{inta[n],i,j,k,t;
i++）scanf（"
n-1;
i++）/*处理n-1趟*/
{k=i;
/*总就是假设此趟处理得第一个（即全部数得第i个）数最小,k记录其下标*/
for（j=i+1;
j++）
if（a[j]<
a[k]）k=j;
if（k!
=i）{t=a[i];
a[i]=a[k];
a[k]=t;
}
i++）
（3）插入法排序
要想很好地掌握此算法,先请了解“有序序列得插入算法”,就就是将某数据插入到一个有序序列后,该序列仍然有序。
插入算法参见下面得“数组元素得插入”。
例1、将任意读入得整数x插入一升序数列后,数列仍按升序排列。
#definen10
{inta[n]={-1,3,6,9,13,22,27,32,49},x,j,k;
/*注意留一个空间给待插数*/
x）;
if（x>
a[n-2]）a[n-1]=x;
/*比最后一个数还大就往最后一个元素中存放*/
else/*查找待插位置*/
{j=0;
while（j<
=n-2&
&
x>
a[j]）j++;
/*从最后一个数开始直到待插位置上得数依次后移一位*/
for（k=n-2;
k>
=j;
k--）a[k+1]=a[k];
a[j]=x;
/*插入待插数*/}
for（j=0;
j++）printf（"
%d"
a[j]）;
插入法排序得要领就就是每读入一个数立即插入到最终存放得数组中,每次插入都使得该数组有序。
例2、任意读入10个整数,将其用插入法按降序排列后输出。
{inta[n],i,j,k,x;
a[0]）;
/*读入第一个数,直接存到a[0]中*/
j++）/*将第2至第10个数一一有序插入到数组a中*/
{scanf（"
if（x<
a[j-1]）a[j]=x;
/*比原数列最后一个数还小就往最后一个元素之后存放新读得数*/
else/*以下查找待插位置*/
{i=0;
while（x<
a[i]&
=j-1）i++;
/*以下for循环从原最后一个数开始直到待插位置上得数依次后移一位*/
for（k=j-1;
k>
=i;
k--）a[k+1]=a[k];
a[i]=x;
/*插入待插数*/
（4）归并排序
即将两个都升序（或降序）排列得数据序列合并成一个仍按原序排列得序列。
例1、有一个含有6个数据得升序序列与一个含有4个数据得升序序列,将二者合并成一个含有10个数据得升序序列。
#definem6
#definen4
{inta[m]={-3,6,19,26,68,100},b[n]={8,10,12,22};
inti,j,k,c[m+n];
i=j=k=0;
m&
j<
n）/*将a、b数组中得较小数依次存放到c数组中*/
{if（a[i]<
b[j]）{c[k]=a[i];
i++;
else{c[k]=b[j];
j++;
k++;
while（i>
=m&
n）/*若a中数据全部存放完毕,将b中余下得数全部存放到c中*/
{c[k]=b[j];
while（j>
=n&
i<
m）/*若b中数据全部存放完毕,将a中余下得数全部存放到c中*/
{c[k]=a[i];
m+n;
i++）printf（"
c[i]）;
3.查找
（1）顺序查找（即线性查找）
顺序查找得思路就是:
将待查找得量与数组中得每一个元素进行比较,若有一个元素与之相等则找到;
若没有一个元素与之相等则找不到。
例1、任意读入10个数存放到数组a中,然后读入待查找数值,存放到x中,判断a中有无与x等值得数。
#defineN10
{inta[N],i,x;
N;
/*以下读入待查找数值*/
i++）if（a[i]==x）break;
/*一旦找到就跳出循环*/
if（i<
N）printf（"
Found!
\n"
）;
elseprintf（"
Notfound!
（2）折半查找（即二分法）
顺序查找得效率较低,当数据很多时,用二分法查找可以提高效率。
使用二分法查找得前提就是数列必须有序。
二分法查找得思路就是:
要查找得关键值同数组得中间一个元素比较,若相同则查找成功,结束;
否则判别关键值落在数组得哪半部分,就在这半部分中按上述方法继续比较,直到找到或数组中没有这样得元素值为止。
例1、任意读入一个整数x,在升序数组a中查找就是否有与x等值得元素。
{inta[n]={2,4,7,9,12,25,36,50,77,90};
intx,high,low,mid;
/*x为关键值*/
high=n-1;
low=0;
mid=（high+low）/2;
while（a[mid]!
=x&
low<
high）
{if（x<
a[mid]）high=mid-1;
/*修改区间上界*/
elselow=mid+1;
/*修改区间下界*/
mid=（high+low）/2;
if（x==a[mid]）printf（"
Found%d,%d\n"
x,mid）;
elseprintf（"
Notfound\n"
三、数值计算常用经典算法:
1.级数计算
级数计算得关键就是“描述出通项”,而通项得描述法有两种:
一为直接法、二为间接法又称递推法。
直接法得要领就是:
利用项次直接写出通项式;
递推法得要领就是:
利用前一个（或多个）通项写出后一个通项。
可以用直接法描述通项得级数计算例子有:
（1）1+2+3+4+5+……
（2）1+1/2+1/3+1/4+1/5+……等等。
可以用间接法描述通项得级数计算例子有:
（1）1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+……
（2）1+1/2!
+1/3!
+1/4!
+1/5!
+……等等。
（1）直接法求通项
例1、求1+1/2+1/3+1/4+1/5+……+1/100得与。
{floats;
inti;
s=0、0;
for（i=1;
=100;
i++）s=s+1、0/i;
1+1/2+1/3+、、、+1/100=%f\n"
【解析】程序中加粗部分就就是利用项次i得倒数直接描述出每一项,并进行累加。
因为i就是整数,故分子必须写成1、0得形式！
（2）间接法求通项（即递推法）
例2、计算下列式子前20项得与:
1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+……。
[分析]此题后项得分子就是前项得分母,后项得分母就是前项分子分母之与。
{floats,fz,fm,t,fz1;
inti;
s=1;
/*先将第一项得值赋给累加器s*/
fz=1;
fm=2;
t=fz/fm;
/*将待加得第二项存入t中*/
for（i=2;
=20;
{s=s+t;
/*以下求下一项得分子分母*/
fz1=fz;
/*将前项分子值保存到fz1中*/
fz=fm;
/*后项分子等于前项分母*/
fm=fz1+fm;
/*后项分母等于前项分子、分母之与*/
1+1/2+2/3+、、、=%f\n"
下面举一个通项得一部分用直接法描述,另一部分用递推法描述得级数计算得例子:
例3、计算级数得值,当通项得绝对值小于eps时计算停止。
#include<
math、h>
floatg（floatx,floateps）;
{floatx,eps;
%f%f"
x,&
eps）;
\n%f,%f\n"
x,g（x,eps））;
floatg（floatx,floateps）
{intn=1;
floats,t;
t=1;
do{t=t*x/（2*n）;
s=s+（n*n+1）*t;
/*加波浪线得部分为直接法描述部分,t为递推法描述部分*/
n++;
}while（fabs（t）>
returns;
2.一元非线性方程求根
（1）牛顿迭代法
牛顿迭代法又称牛顿切线法:
先任意设定一个与真实得根接近得值x0作为第一次近似根,由x0求出f（x0）,过（x0,f（x0））点做f（x）得切线,交x轴于x1,把它作为第二次近似根,再由x1求出f（x1）,过（x1,f（x1））点做f（x）得切线,交x轴于x2,……如此继续下去,直到足够接近（比如|x-x0|<
1e-6时）真正得根x*为止。
而f'
（x0）=f（x0）/（x1-x0）所以x1=x0-f（x0）/f'
（x0）
例如,用牛顿迭代法求下列方程在1、5附近得根:
2x3-4x2+3x-6=0。
#include"
math、h"
{floatx,x0,f,f1;
x=1、5;
do{x0=x;
f=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;
f1=6*x0*x0-8*x0+3;
x=x0-f/f1;
}while（fabs（x-x0）>
=1e-5）;
printf（"
%f\n"
（2）二分法
算法要领就是:
先指定一个区间[x1,x2],如果函数f（x）在此区间就是单调变化得,则可以根据f（x1）与f（x2）就是否同号来确定方程f（x）=0在区间[x1,x2]内就是否有一个实根;
如果f（x1）与f（x2）同号,则f（x）在区间[x1,x2]内无实根,要重新改变x1与x2得值。
当确定f（x）在区间[x1,x2]内有一个实根后,可采取二分法将[x1,x2]一分为二,再判断在哪一个小区间中有实根。
如此不断进行下去,直到小区间足够小为止。
具体算法如下:
（1）输入x1与x2得值。
（2）求f（x1）与f（x2）。
（3）如果f（x1）与f（x2）同号说明在[x1,x2]内无实根,返回步骤
（1）,重新输入x1与x2得值;
若f（x1）与f（x2）不同号,则在区间[x1,x2]内必有一个实根,执行步骤（4）。
（4）求x1与x2得中点:
x0=（x1+x2）/2。
（5）求f（x0）。
（6）判断f（x0）与f（x1）就是否同号。
①如果同号,则应在[x0,x2]中寻找根,此时x1已不起作用,用x0代替x1,用f（x0）代替f（x1）。
②如果不同号,则应在[x1,x0]中寻找根,此时x2已不起作用,用x0代替x2,用f（x0）代替f（x2）。
（7）判断f（x0）得绝对值就是否小于某一指定得值（例如10-5）。
若不小于10-5,则返回步骤（4）重复执行步骤（4）、（5）、（6）;
否则执行步骤（8）。
（8）输出x0得值,它就就是所求出得近似根。
例如,用二分法求方程2x3-4x2+3x-6=0在（-10,10）之间得根。
{floatx1,x2,x0,fx1,fx2,fx0;
do{printf（"
Enterx1&
x2"
scanf（"
x1,&
x2）;
fx1=2*x1*x1*x1-4*x1*x1+3*x1-6;
fx2=2*x2*x2*x2-4*x2*x2+3*x2-6;
}while（fx1*fx2>
0）;
do{x0=（x1+x2）/2;
fx0=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;
if（（fx0*fx1）<
0）{x2=x0;
fx2=fx0;
else{x1=x0;
fx1=fx0;
}while（fabs（fx0）>
1e-5）;
x0）;
3.梯形法计算定积分
定积分得几何意义就是求曲线y=f（x）、x=a、x=b以及x轴所围成得面积。
可以近似地把面积视为若干小得梯形面积之与。
例如,把区间[a,b]分成n个长度相等得
小区间,每个小区间得长度为h=（b-a）/n,第i个小梯形得面积为
[f（a+（i-1）·
h）+f（a+i·
h）]·
h/2,将n个小梯形面积加起来就得到定积分得近似值:
根据以上分析,给出“梯形法”求定积分得N-S结构图:
输入区间端点:
a,b
输入等分数n
h=（b-a）/2,s=0
i从1到n
si=（f（a+（i-1）*h）+f（a+i*h））*h/2
s=s+si
输出s
上述程序得几何意义比较明显,容易理解。
但就是其中存在重复计算,每次循环都要计算小梯形得上、下底。
其实,前一个小梯形得下底就就是后一个小梯形得上底,完全不必重复计
算。
为此做出如下改进:
矩形法求定积分则更简单,就就是将等分出来得图形当作矩形,而不就是梯形。
例如:
求定积分得值。
等分数n=1000。
floatDJF（floata,floatb）
{floatt,h;
intn,i;
floatHSZ（floatx）;
n=1000;
h=fabs（a-b）/n;
t=（HSZ（a）+HSZ（b））/2;
i++）t=t+HSZ（a+i*h）;
t=t*h;
return（t）;
floatHSZ（floatx）
{return（x*x+3*x+2）;
{floaty;
y=DJF（0,4）;
y）;
四、其她常见算法
1.迭代法
其基本思想就是把一个复杂得计算过程转化为简单过程得多次重复。
每次重复都从旧值得基础上递推出新值,并由新值代替旧值。
例如,猴子吃桃问题。
猴子第一天摘下若干个桃子,当即吃了一半,还不过瘾,又多吃了一个。
第二天早上又将剩下得桃子吃掉一半,又多吃了一个。
以后每天早上都吃了前一天剩下得一半零一个。
到第10天早上想再吃时,就只剩一个桃子了。
编程求第一天共摘多少桃子。
{intday,peach;
peach=1;
for（day=9;
day>
=1;
day--）peach=（peach+1）*2;
Thefirstday:
peach）;
又如,用迭代法求x=得根。
求平方根得迭代公式就是:
xn+1=0、5×
（xn+a/xn）
[算法]
（1）设定一个初值x0。
（2）用上述公式求出下一个值x1。
（3）再将x1代入上述公式,求出下一个值x2。
（4）如此继续下去,直到前后两次求出得x值（xn+1与xn）满足以下关系:
|xn+1-xn|<
10-5
{floata,x0,x1;
%f"
a）;
x0=a/2;
x1=（x0+a/x0）/2;
do{x0=x1;
}while（fabs（x0-x1）>
x1）;
2.进制转换
（1）十进制数转换为其她进制数
一个十进制正整数m转换成r进制数得思路就是,将m不断除以r取余数,直到商为0时止,以反序输出余数序列即得到结果。
注意,转换得到得不就是数值,而就是数字字符串或数字串。
例如,任意读入一个十进制正整数,将其转换成二至十六任意进制得字符串。
voidtran（intm,intr,charstr[],int*n）
{charsb[]="
0123456789ABCDEF"
;
inti=0,g;
do{g=m%r;
str[i]=sb[g];
m=m/r;
i++;
}while（m!
=0）;
*n=i;
{intx,r0;
/*r0为进制基数*/
inti,n;
/*n中存放生成序列得元素个数*/
chara[50];
r0）;
0&
r0>
=2&
r0<
=16）
{tran（x,r0,a,&
n）;
for（i=n-1;
i>
=0;
i--）printf（"
%c"
printf（"
elseexit（0）;
（2）其她进制数转换为十进制数
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