47第四十七章构造论证Word文档格式.docx
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点都不能连成正方形，那么最少要去掉多少个点？
10.三个边长为1的正方形并排放在一起，成为1×
3的长方形.求证：
.1.2.3=90.
11.某学校的学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道
图书馆内任何两本书都至少被一个同学都读过•问：
能否找到两个学生甲、
乙和三本书4、B、C,使得甲读过A、B,没读过C,乙读过BC,没读过A?
说明判断过程•
12.4个人聚会，每人各带2件礼品，分赠给其余3个人中的2人•试证明：
至少有2对人，每对人是互赠过礼品的.
13.甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛•各班同学都
按I,2，3,4,,依次编号•当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同
一台对垒•在甲、乙两班比赛时，有15台是男、女生对垒；
在乙、丙班比
赛时，有9台是男、女生对垒•试说明在甲、丙班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过24.并指出在什么情况下，正好是24?
14.将5×
9的长方形分成10个边长为整数的长方形.证明：
无论怎样分
法.分得的长方形中必有两个是完全相同的.
15.在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上.如果在这7
个点之字连结18条线段，那么这些线段最多能构成多少个三角形？
16.在9×
9棋盘的每格中都有一只甲虫，根据信号它们同时沿着对角线各自爬到与原来所在格恰有一个公共顶点的邻格中，这样某些格中有若干只甲虫，而另一些格则空着.问空格数最少是多少？
17.若干台计算机联网，要求：
1任意两台之间最多用一条电缆连接；
2任意三台之间最多用两条电缆连接；
3两台计算机之间如果没有电缆连接，则必须有另一台计算机和它们都连接有电缆.若按此要求最少要用79条电缆.
问：
（1）这些计算机的数量是多少台？
（2）这些计算机按要求联网，最多可以连多少条电缆？
18.在一个6×
6的方格棋盘中，将若干个1×
1的小方格染成红色.如果随意划掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一个是红色的.那么最少要涂多少个方格？
19.如图，把正方体的6个表面剖分成9个相等的正方形.现用红、黄、
蓝3种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形所染的颜色不同.那么染成红色的正方形的个数最多是多少个？
20.证明：
在6×
6×
6的正方体盒子中最多可放入52个1×
I×
4的小
长方体，这里每个小长方体的面都要与盒子的侧面平行•
21.用若干个I×
6和1×
7的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个
11×
12的大长方形，最少要用小长方形多少个？
22.在1997×
1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮.按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮.如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮？
23.（2008年台湾小学数学竞赛选拔赛）将1、2、3、4、5、6写在一个圆
周上，然后把圆周上连续三个数之和写下来，则可以得到六个数a1、a2、a3、
a4、a5、a6,将这六个数中最大的记为A.请问在所有填写方式中，A的最小值是什么？
24.有3堆小石子，每次允许进行如下操作：
从每堆中取走同样数目的小
石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一
堆•开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子•问，能否做到：
⑴某2堆石子全部取光？
⑵3堆中的所有石子都被取走？
25.在1000×
1000的方格表中任意选取n个方格染为红色，都存在3个红色方格
它们的中心构成一个直角三角形的顶点•求n的最小值.
26.在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手
参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场•为公平起见，用以下方法记分：
开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，
胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分;
专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分•问：
一位业余选手最
少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高？
27.有9位数学家，每人至多能讲3种语言，每3个人中至少有2个人有共通的语言.求证：
在这些数学家中至少有3人能用同一种语言交谈。
28.1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数.现在要从中选出
若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于
另外两人的号码的乘积.那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人？
29.在黑板上写上1、2、3、4、，，、2008,按下列规定进行“操怍”：
每次擦去其中的任意两个数a和b,然后写上它们的差（大数减小数），直到黑板上剩下一个数为止.问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？
为什么？
30.桌子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1〜3根，规定谁
取走最后一根火柴谁获胜.如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁
将获胜？
31.将15×
15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色.证明：
至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同.
32.在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、，，、2009,现在将
卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、
4、，，、2009.然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这
2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？
33.—个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚•下面我们对这些棋子做如下操作：
每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；
如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去.这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是
（）颜色（填“黑”或者“白”）.
34.在黑板上写上1、2、3、4、，，、2008,按下列规定进行“操怍”：
每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差（大数减小数），直到黑板上剩下一个数为止.问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？
35.5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变
为反序排列，即从第5卷到第1卷.如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次？
36.某公安人员需查清甲、乙、丙三人谁先进办公室，三人口供如下：
甲：
丙第二个进去，乙第三个进去。
乙：
甲第三个进去，丙第一个进去。
丙：
甲第一个进去，乙第三个进去。
三人口供每人仅对一半，究竟谁第一个进办公室？
37.从前一个国家里住着两种居民，一个叫宝宝族，他们永远说真话；
另一个叫毛毛族，他们永远说假话。
一个外地人来到这个国家，碰见三位居民，他问第一个人：
“请问你是哪个民族的人？
”
“匹兹乌图。
”那个人回答。
外地人听不懂，就问其他两个人：
“他说的是什么意思？
第二个人回答：
“他说他是宝宝族的。
第三个人回答：
“他说他是毛毛族的。
请问，第一个人说的话是什么意思？
第二个人和第三个人各属于哪个民族？
38.有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另外一个有时讲真话，有时讲假话。
一天，一位智者遇到这三个和尚，他先问左边的那个和尚：
“你旁边的是哪一位？
”和尚回答说“讲真话的。
”他又问中间的和尚：
“你是哪一位？
”和尚答：
“我是半真半假的。
”他最后问右边的和尚：
“你旁边是哪一位？
”答：
“讲假话的。
”根据他们的回答，智者马上分清了他们，你能分清吗？
39.一次学校举行田径运动会，A、B、CDE五个班取得了团体前五名,发奖后有人问他们的名次，回答是：
A班代表说：
“B是第三名，
C是第五名。
B班代表说：
“D是第二名，
E是第四名。
C班代表说：
“A是第一名，
D班代表说：
“C是第一名，
B是第二名。
E班代表说：
A是第三名。
最后，他们都补充说：
“我的话是半真半假的。
”请你判断一下，他们各个
班的名次
40.例1200米赛跑，张强比李军快0.2秒，王明的成绩是39.4秒，赵刚的成绩比王明慢0.9秒，但比张强快0.1秒，林林比张强慢3秒，请你给这五人排出名次来。
41.有一把长为9厘米的直尺，你能否在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度？
42..一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后下个三位数“吃掉”。
例如，241被352吃掉，123
被123吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但240和223互相都不能被吃掉。
现请你设计6个三位数，它们当中任何一个都不能被其它5个数
吃掉，并且它们的百位数字只允许取1,2,3,4。
问这6个三位数分别是多少？
43.盒子里放着红、黄、绿3种颜色的铅笔，并且规格也有3种：
短的、中的和长的。
已知盒子的铅笔，3种颜色和3种规格都齐全。
问是否一定能从中选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同？
44.国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、斜线走，为了控制一个4×
4的棋盘
至少要放几个皇后?
45.在如图10-1所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好
表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5个数字各
是几？
46.在100个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话
时，甲把他当时所知道的信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲。
请你设计一种方案，使得只需打电话196次，就可以使得每个人都知
道其他所有人的信息。
47.桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992枚,第三次翻动其中的1991枚，？
？
，依此类推，第1993次翻动其中的一枚。
能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后所有的硬币原先朝下的一面都朝上？
48.某学校的学生中，没有一个学生读过学校图书馆的所有图书，又知道图书馆内任何两本书都至少被一个同学都读过•问：
能否找到两个学生甲、乙
和三本书4、B、C,使得甲读过A、B,没读过C,乙读过B、C,没读过A?
49.将15×
至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同•
50.有9位数学家，每人至多能讲3种语言，每3个人中至少有2个人有共
通的语言.求证：
在这些数学家中至少有3人能用同一种语言交谈.
51.今有长度是I，2,3，,,，199的金属杆各1根，能否用上所有的金属
杆，不弯曲任何一根，把它们焊接成；
（1）一个正方体框架；
（2）—个长方体框架。
52.桌上有一堆石子共1001粒。
第一步从中扔去一粒石子，并把余下的石子
分成两堆。
以后的每一步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去1粒，再把
某一堆分成两堆。
能否在若干步之后，桌上的每一堆中都刚好有3粒石
子？
53.一些棋子被摆成了一个四层的空心方阵（下图是一个四层空心方阵的示意图），后来小林又添入28个棋子，这些棋子恰好变成了一个五层的空心方阵（不能移动原来的棋子），那么最开始最少有个棋子
54.将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数
“13579241357924,”，删去这个数中所有位于奇数位（丛左往右数）上
的数字组成一个新数，再删去新数中所有位于奇数位上的数字，按上述方法
一直删下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是。
55.桌子上放着5张卡片，小月在卡片的正面写上1、2、3、4、5,然后冬
冬在背面分别写上1、2、3、4、5,写完后计算每张卡片上两数之和，再把
5个和相乘，问：
冬冬能否找到一种写法，使得最后的乘积是奇数？
56.班主任老师外出采购前将255元班费分装在几个袋子里，只要买255元
以内的东西，他都可以从事先准备好的袋子里凑出所要付的钱，而不必再数
钱数，你知道班主任分装在几个袋子里吗？
每个袋子里放了多少元？
57.要用天平称出1克、2克、3克,,40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码？
这些砝码的重量分别是多少？
58.
（1）将1,2,3，4，5，6，7，8，9这9个数字排列在圆周上，使得任意
相邻两数的差（大减小）不小于3且不大于5.
⑵对于1至11这11个数字，
（3）对于I至12这12个数字，
⑷对于1至14这14个数字，
满足上述要求的排列方法是否存在？
59.在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上.如果在这7
个点之间连结18条线段，那么这些线段最多能构成多少个三角形？
60.将九个正方形其边长分别为1、4、7、8、9、10、14、15和18拼成一个
正方形，那么在这个长方形的四个直角上的四个正方形面积总和是多少？
答案与解析
1.【分析与解】⑴可以，^口（1989，989,89）>
（1900,900,0）>
（950,900，950）>
（50，0，50）>
（25，25，50）>
（O,0，25）.
（2）因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变.
现在共有
1989+989+89=3067
不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走.
2.【分析与解】
（1）我们知道4个队共进行了C4场比赛，而每场比
赛有2分产生，所以4个队的得分总和为C4×
2=12.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以4个队得分最少
2+3+4+5=14>
12
不满足.即n=4不可能。
（2）我们知道5个队共进行Cf场比赛，而每场比赛有2分产生，所
以4个队的得分总和为C2×
2=20•因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以5个队得分最少为
2+3+4+5+6=20
满足.即n=5有可能.但是我们必须验证是否存在实例.如下所示，A得2分,
C得3分，D得4分，B得5分，E得6分.其中“A》B'
表示AB比赛时,
A胜B；
“B--C”表示B、C比赛时，B平C,余下类推.
圆圈内的数特别小，有的特别大，那么M就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的.
因为每个圆圈内的数都用了5次，所以10次的和为
5×
（1+2+3+,+10）=275
每次和都小于等于朋，所以IoM大于等于275,整数M大于28.
下面来验证M=28时是否成立，注意到圆圈内全部数的总和是55，
所以肯定是一
边五个的和是28，
一边是27.因为数字都不一样，所以和28肯定是相间排列，和27也是相问排列，也就是说数组每
隔4个差值为I,这样从1填起，容易排出适当的填图•
4.【分析与解】要在表盘上共可作出12个不同的扇形，且1〜12中的每个数恰好被4个扇形覆盖•将这12个扇形分为4组，使得每一组的3个扇形恰好盖住整个表盘•那么，根据抽屉原理，从中选择9个扇形，必有
9^3个扇形属于同一组，那么这一组的3个扇形可以覆盖整个表盘.
4
另一方面，作8个扇形相当于从全部的12个扇形中去掉4个，则可以去掉
盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被剩下的8个扇形盖住，那么
这8个扇形不能盖住整个表盘.
5.【分析与解】首先把这组数从小到大排列起来，那么最小的肯定为1，
1后面只能是1的2倍即2,2后面可以是3或4，3的后面可以是4,5,6;
4的后面可以是5,6,8•最大的为25.下面将所有的可能情况列出：
l,2,3,4,,,25所有的和是35;
l,2,3,5,,,25所有的和是36;
1,2,3,6,,,25所有的和是37;
1,2,4,5,,,25所有的和是37;
1,2,4,6,,,25所有的和是38;
1,2,4,8,,,25所有的和是40.
25是奇数，只能是一个偶数加上一个奇数•在中间省略的数中不能只有1
个数，所以至少还要添加两个数，而且这两个数的和不能小于25,否则就
无法得到25这个数•要求求出最小值，先看这两个数的和是25的情况，因
为省略的两个数不同于前面的数，所以从20+5开始.
25=20+5=19+6=18+7=17+8=16+9=15+10=14+1仁13+12
这些数中20，19，18，17太大，无法产生，所以看：
16+9=15+10=14+11=13+12
看这些谁能出现和最小的I，2,3,4，,，25中，检验发现没有
可以满足的：
再看I，2，3,5，,，25,发现1，2,3，5，10，15,25满足,
所以：
1+2+3+5+10+15+25=36+25=61
6.【分析与解】先从简单的情况看起，看看棋子数量较少时，在什么情况
下先取者胜，什么情况下后取者胜•可以列表如下：
棋子数量
先取者胜
后取者胜
1枚
√
2枚
3枚
4枚
5枚（=3+1+1）
6枚（=4+1+1）
7枚
8枚
9枚（=1+8）
10枚
11枚（=3+8）
12枚（=4+8）
13枚（=3+10）
14枚（=4+10）
15枚（=7+8）
16枚
17枚（=1+16）
18枚
19枚（=3+16）
20枚（=4+16）
棋子数是1〜8时比较容易看得出来是先取者胜还是后取者胜，可以看
出只有棋子数是2枚和8枚时是后取者胜，其他情况下都是先取者胜.
当棋子数大于8时，可以先取若干枚棋子，使得剩下的棋子数变成前面已有的棋子数•先取者为了取胜，第一次取后，应该使剩下的棋子数是后取者胜的情况，比如变成剩下2枚或8枚•这样推下去，可以发现只有当棋子数是8的倍数或者除以8余2时，是后取者胜，其他情况下是先取者胜.
题目中有2004枚棋子，除以8余4,所以先取者肯定可以取胜•不过取胜的策略比较灵活，不能明确地说每次后取者取多少枚先取者就相应地取多少枚，应该从除以8的余数来考虑：
⑴先取者第一次可以先取4枚，这样还剩下2000枚，2000除以8的余数是0;
⑵先取者为了保证获胜，在每一次后取者取了之后，先取者再取的
时候，应该使得自己取后剩下的棋子数是8的倍数或者除以8余2;
⑶后取者每次可以取1,3，4,7枚，每次先取者取后剩下的棋子数除以8的余数是0或2,所以每次后取者取后剩下的棋子数除以8的余数是7，5，4，1或1，7，6，3.
所以接下来先取者可以对应地取7,3,4，1或1，7，4，3枚棋子，这样剩下的剩下的棋子数除以8的余数为0,2,0,0或0,0,2,0.
这样就保证了第⑵点•
⑷每次先取者取后剩下的棋子数除以8的余数是O或2,那么最后一枚棋子肯定是先取者取得，所以先取者获胜.
7.【分析与解】先每列的和最少为0,最多是10,每行的和最少是0,最
多是19,所以不同的和最多也就是0,1,2,3,4,,,18,19这20个.
下面我们说明如果0出现，那么必然有另外一个数字不能出现.
如果0出现在行的和中，说明有1行全是0,意味着列的和中至多
出现0到9,加上行的和至多出现10个数字，所以少了一种可能•
如果0出现在列的和中，说明在行的和中19不可能出现，所以0
出现就意味着另一个数字不能出现，所以至多是19,下面给出一
种排出方法•
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