解析几何100题经典大题汇编.doc
《解析几何100题经典大题汇编.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解析几何100题经典大题汇编.doc（114页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
2012届数学二轮复习
解析几何解答题100题精选
【山东省滕州二中2012届高三上学期期中理】
22:
（本小题满分14分）如图,为双曲线的右焦点,为双曲线在第一象限内的一点,为左准线上一点,为坐标原点,
（Ⅰ）推导双曲线的离心率与的关系式；
（Ⅱ）当时,经过点且斜率为的
直线交双曲线于两点,交轴于点,且
，求双曲线的方程.
【答案】22:
解：
（Ⅰ）为平行四边形.
设是双曲线的右准线,且与交于点,,
即………………6分
（Ⅱ）当时,得
所以可设双曲线的方程是,…8分
设直线的方程是与双曲线方程联立得:
由得.
①[来源:
学科网ZXXK]
由已知，，因为，
所以可得②…………10分
由①②得，
消去得符合，
所以双曲线的方程是………………14分
【山东济南市2012界高三下学期二月月考理】已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为,直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且.
（1）求椭圆方程；
（2）求的取值范围．
【答案】21.解：
（1）设C：
＋＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝，＝，
∴a＝1，b＝c＝…………………3分
故C的方程为：
y2＋＝1…………4分
（2）当直线斜率不存在时：
…………5分
当直线斜率存在时：
设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0………6分
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0（*）…7分
x1＋x2＝，x1x2＝ ………8分
∵＝3∴－x1＝3x2∴
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0………9分
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0
m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，………10分
∴k2＝0，∴或
把k2＝代入（*）得或
∴或…………11分
综上m的取值范围为或………………12分
【山东省济南一中2012届高三上学期期末理】21.（本小题满分12分）已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线的焦点，离心率是
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点C（—1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使为常数？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】21.解：
（1）根据条件可知椭圆的焦点在x轴，且
故所求方程为即………………3分
（2）假设存在点M符合题意，设AB：
代入得：
………………4分
则………6分
……10分
要使上式与K无关，则有，解得，存在点满足题意。
12分
【山东省济宁市金乡二中2012届高三11月月考理】23、（本小题满分分）[来源:
学科网]
已知曲线上的动点到点的距离比它到直线的距离大.
（I）求曲线的方程；
（II）过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：
为定值，并求出此定值.
【答案】23、解:
（I）设动点，动点到点的距离比它到直线的距离
多。
即动点到点的距离等于它到直线的距离
则
两边平方
化简可得：
A
B
m
P
F
B
C
D
（II）如图,作
设,的横坐标分别为
则
解得
同理
解得
记与的交点为
故
【山东省苍山县2012届高三上学期期末检测理】22．（本题满分14分）
如图，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于两点A，B。
（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；
（2）设P是抛物线上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交抛物线的准线于M，N两点，证明M，N两点的纵坐标之积为定值（仅与p有关）。
【答案】22．解：
设
（1）由条件知直线．……1分
由消去y，得…………2分
由题意，判别式（不写，不扣分）
由韦达定理，．……………………………3分
由抛物线的定义，
从而所求抛物的方程为．…………………6分
（2），易得．……………………………7分
设。
将代入直线PA的方程
得．……………………………9分[来源:
学科网ZXXK]
同理直线PB的方程为．………………10分
将代入直线PA，PB的方程得
．……………………………12分
【山东省淄博市第一中学2012届高三第一学期期中理】22、（满分14分）
已知点分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，到焦点的距离的最大值为，且的最大面积为
（1）求椭圆的方程。
（2）点的坐标为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点。
对于任意的是否为定值？
若是求出这个定值；若不是说明理由。
【答案】22.解：
⑴由题意可知：
a+c=+1，×2c×b=1,有∵a2=b2+c2[来源:
学科网ZXXK]
∴a2=2,b2=1,c2=1
∴所求椭圆的方程为：
⑵设直线l的方程为：
y=k（x-1）A（x1，y1）,B（x2，y2），M（,0）[来源:
学科网ZXXK]
联立
则
∵
【山东省青州市2012届高三2月月考理】21.（本小题满分12分）已知点分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，到焦点的距离的最大值为，且的最大面积为.
（I）求椭圆的方程。
（II）点的坐标为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点。
对于任意的是否为定值？
若是求出这个定值；若不是说明理由。
【答案】21.解：
（I）由题意可知：
a+c=+1，×2c×b=1,有∵a2=b2+c2
∴a2=2,b2=1,c2=1
∴所求椭圆的方程为：
…………….4分
（II）设直线l的方程为：
y=k（x-1）A（x1，y1）,B（x2，y2），M（,0）
联立
则
【山东省青岛市2012届高三期末检测理】17.（本小题满分12分）
已知函数的定义域为，解关于的不等式.
【答案】17.（本小题满分12分）
解：
因为函数的定义域为，
所以恒成立…………………………………………………2分
当时，恒成立,满足题意，…………………………………………3分
当时，为满足必有且，解得，
综上可知：
的取值范围是……………………………………………6分
原不等式可化为
当时，不等式的解为：
，或……………………………8分
当时，不等式的解为：
…………………………………………9分
当时，不等式的解为：
，或…………………………11分
综上，当时，不等式的解集为：
或
当时，不等式的解集为：
当时，不等式的解集为：
或………………………12分
【山东省莱芜市2012届高三上学期期末检测理】本小题满分12分）
设椭圆E：
的上焦点是，过点P（3，4）和作直线P交椭圆于A、B两点，已知A（）.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设点C是椭圆E上到直线P距离最远的点，求C点的坐标。
【答案】解：
（1）由A（）和P（3，4）可求直线的方程为：
y=x+1……………1分
令x=0，得y=1,即c=1……………2分
椭圆E的焦点为、，由椭圆的定义可知
…………………4分
∴……………5分
椭圆E的方程为…………6分
B．设与直线平行的直线:
…………………7分
，消去y得……………8分
，即…………9分
要使点C到直线的距离最远，则直线L要在直线的下方，所以…10分
此时直线与椭圆E的切点坐标为，故C（为所求。
……12分
【山东省莱芜市2012届高三上学期期末检测理】（本小题满分14分）
已知抛物线的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点，交抛物线于A，B两点，其中A在第二象限。
（1）求证：
以线段FA为直径为圆与Y轴相切；
（2）若，求的值.
【答案】解：
（1）由已知F（），设A（），则
圆心坐标为，圆心到y轴的距离为.……………………2分
圆的半径为，……………………4分
∴以线段FA为直径的圆与y轴相切。
……………………5分
（3）设P（0，），B（），由，得.
……………………6分
.………………7分
∴①
②
③…………………10分
∵.
将③变形为，∴.………………11分
将代入②，整理得………………12分
代入①得.………………13分
即.………………14分
【山东省烟台市2012届高三期末检测理】22.（本不题满分14分）
已知在平面直角坐标系中，向量，△OFP的面积为，且。
（1）设,求向量的夹角的取值范围；
（2）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且
取最小值时，求椭圆的方程。
【答案】22.解：
（1）由
因为
[来源:
学,科,网]
（2）设
【山东省潍坊市重点中学2012届高三2月月考理】（本小题满分12分）[来源:
学科网]
给定椭圆：
，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”。
若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.
（Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程.
（Ⅱ）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线使得与椭圆都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点；
（1）当为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程.
（2）求证：
为定值.
【答案】21.解：
（Ⅰ），椭圆方程为……2分
准圆方程为。
…………3分
（Ⅱ）
（1）因为准圆与轴正半轴的交点为，
设过点且与椭圆有一个公共点的直线为，
所以由消去，得.
因为椭圆与只有一个公共点，
所以，解得。
…………………………5分
所以方程为.…………………………6分
（2）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，
当方程为时，此时与准圆交于点，
此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），
即为（或），显然直线垂直；
同理可证方程为时，直线垂直.…………………………7分
②当都有斜率时，设点，其中.
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
则消去，得.
由化简整理得：
.…………………………8分
因为，所以有.
设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，
所以满足上述方程，
所以，即垂直.…………………………10分
综合①②知：
因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直，所以线段为准圆的直径，所以=4.………………………12分
【山东省潍坊市三县2012届高三12月联考理】19.如图，椭圆C：
焦点在轴上，左、右顶点分别为A1、A，上顶点为B．抛物线C1、C：
分别以A、B为焦点，其顶点均为坐标原点O，C1与C2相交于直线上一点P．
⑴求椭圆C及抛物线C1、C2的方程；
⑵若动直线与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M、N，已知点Q（，0），求的最小值．
【答案】19.解：
（Ⅰ）由题意，A（，0），B（0，），故抛物线C1的方程可设为，C2的方程为…………1分
由得…………3分
所以椭圆C:
，抛物线C1：
抛物线C2：
………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线OP的斜率为，所以直线的斜率为
设直线方程为
由，整理得…………6分
因为动直线与椭圆C交于不同两点，所以
解得…………7分
设M（）、N（），则
……8分[来源:
Z|xx|k.Com]
因为
所以
…………10分
因为，所以当时，取得最小值
其最小值等于…………12分
【山东省潍坊市三县2012届高三12月联考理】21.一条斜率为1的直线与离心率e=的椭圆C：
交于P、Q两点，直线与y轴交于点R，且，求直线和椭圆C的方程；
【答案】21.∵e＝，∴＝，a2＝2b2，则椭圆方程为＋＝1，设l方程为：
y＝x＋m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立消去y得3x2＋4mx＋2m2－2b2＝0，
故有Δ＝16m2－4×3（2m2－2b2）＝8（－m2＋3b2）＞0
∴3b2＞m2（*）
x1＋x2＝－m
（1）
x1x2＝（m2－b2）
（2）
又·＝－3得x1x2＋y1y2＝－3，
而y1y2＝（x1＋m）（x2＋m）＝x1x2＋m（x1＋x2）＋m2，
所以2x1x2＋m（x1＋x2）＋m2＝－3⇒（m2－b2）－m2＋m2＝－3，∴3m2－4b2＝－9（3）
又R（0，m），＝3，（－x1，m－y1）＝3（x2，y2－m）
从而－x1＝3x2（4）
由
（1）
（2）（4）得3m2＝b2（5）
由（3）（5）解得b2＝3，m＝±1适合（*），
∴所求直线l方程为y＝x＋1或y＝x－1；椭圆C的方程为＋＝1.
【山东省阳信一中2012届高三上学期期末理】19．（16分）椭圆的左、右焦点分别是，，过斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列．
（1）求证：
；
（2）设点在线段的垂直平分线上，求椭圆的方程．
【答案】19．解：
（1）由题设，得，
由椭圆定义，
所以，．………………………………………………………………………3分
设，，，：
，代入椭圆的方程，整理得
，（*）…………………………2分
则
，
于是有，……………………………………………………4分
化简，得，故，．……………………………………………………1分
（2）由
（1）有，方程（*）可化为………………1分
设中点为，则，
又，于是．………………………………………………2分
由知为的中垂线，，
由，得，解得，，…………………………2分[来源:
学科网ZXXK]
故，椭圆的方程为．…………………………………………………1分
【山东省枣庄市2012届高三上学期期末理】22.（本题满分14分）
已知椭圆＞b＞的离心率为且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求m的取值范围.
（3）试用m表示△MPQ的面积S，并求面积S的最大值.
【答案】22.解：
（1）依题意可得解得
从而所求椭圆方程为…………………4分
（2）直线的方程为
由可得
该方程的判别式△=＞0恒成立.
设则………………5分
可得
设线段PQ中点为N，则点N的坐标为………………6分
线段PQ的垂直平分线方程为
令，由题意………………………………………………7分
又，所以0＜＜…………………………………………………8分
（3）点M到直线的距离
于是
由可得代入上式，得
即＜＜.…………………………………………11分
设则[来源:
学§科§网]
而＞00＜m＜＜0＜m＜
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以当时，有最大值……………………13分
所以当时，△MPQ的面积S有最大值…………………14分
.（江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学届高三联考）已知为双曲线的左准线与x轴的交点，点，若满足的点在双曲线上，则该双曲线的离心率为.
.（江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学届高三联考）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为设M是抛物线上的动点，则的最大值为.
【解析】焦点，设，则，，设到准线的距离等于，则=====
==．令，，则[来源:
学科网]
==≤=（当且仅当时，等号成立）．
故的最大值为
的轨迹也是一抛物线，记为．对重复以上过程，又得一抛物线，以此类推．设如此得到抛物线的序列为，若抛物线的方程为，经专家计算得，
13．（江苏省泰州中学2012年3月高三第一次学情调研）已知点F是椭圆的右焦点，过原点的直线交椭圆于点A、P，PF垂直于x轴，直线AF交椭圆于点B，，则该椭圆的离心率=___▲___.[来源:
学+科+网Z+X+X+K]
直线PM的方程为y＝x＋1，①
直线QN的方程为y＝x＋2．②…………………………8分
证法一联立①②解得x＝，y＝，即T（，）．………11分
由＋＝1可得x02＝8－4y02．
因为（）2＋（）2＝
＝＝＝＝1，
【解析】由题设：
，，，
椭圆的方程为：
，
∴=2,点在定圆=2上．
22．（江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学届高三联考）（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点，P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜[来源:
学*科*网]
率满足kOP+kOA=kPA．
联立①②，得，∴点M的横坐标为定值．…………8分
由，得到，因为，所以，
由，得，∴的坐标为．[来源:
学*科*网]
∴存在点P满足，的坐标为． 10分
18.（江苏省泰州中学2012年3月高三第一次学情调研）（本小题满分16分）
已知点在双曲线上，圆C：
与双曲线M的一条渐近线相切于点（1，2），且圆C被x轴截得的弦长为4.（Ⅰ）求双曲线M的方程；（Ⅱ）求圆C的方程；（Ⅲ）过圆C内一定点Q（s，t）（不同于点C）任作一条直线与圆C相交于点A、B，以A、B为切点分别作圆C的切线PA、PB，求证：
点P在定直线l上，并求出直线l的方程.
18．（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）
[来源:
Z&xx&k.Com5.（浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试文科）已知实数4，，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）
10．（浙江省台州中学2012届高三下学期第二次统练文科）设双曲线C：
（）的左、右焦点分别为F1，F2．若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|＝3|PF2|，则双曲线C的离心率e的取值范围为
（A）（1,2] （B） （C） （D） （1,2）
A． B． C． D．
9．（浙江省杭州十四中2012年2月高三月考文科）若双曲线的渐近线和圆相切，则该双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
14．（浙江省温州市2012年2月高三第一次适应性测试文）已知双曲线的离心率为2，则它的一焦点到其中一条渐近线的距离为。
（16）（浙江省2012年2月三校联考高三文科）已知直线l1：
4x-3y+6=0和直线l2：
x=-1，则抛物线y2=4x上的动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2；
17.（浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试文科）在直角坐标系中,的两个顶点坐标分别为,平面内两点同时满足下列条件:
则的另一个顶点的轨迹方程为
（16）（浙江省台州中学2012届高三下学期第一次统练理科）若点P在曲线C1：
上，点Q在曲线C2：
（x－5）2＋y2＝1上，点R在曲线C3：
（x＋5）2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是10．
三、解答题：
21．（浙江省部分重点中学2012年3月高三第二学期联考理科）（本小题满分15分）．
21．（本小题满分15分）
（Ⅰ）由：
知（0，1），设，因M在抛物线上，故[来源:
学|科|网Z|X|X|K]
①又，则②，
由①②解得………………4分
椭圆的方程为：
。
……………7分
（Ⅱ）设，[来源:
Zxxk.Com]
由可得：
，
即
……………10分
所以，
即，所以点Q总在定直线上………………15分
21．（浙江省台州中学2012届高三下学期第二次统练文科）（本题满分15分）设椭圆C1：
（）的一个顶点与抛物线C2：
的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点F2的直线与椭圆C交于
21．（本题满分15分）椭圆的顶点为，即
，解得，椭圆的标准方程为……3分
（2）由题可知,直线与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．
|AB|=，∴为定值…15分
21．（浙江省温州市2012年2月高三第一次适应性测试理）（本题满分15分）如图，在矩形中，分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设.
（Ⅰ）求直线与的交点的轨迹
的方程；
（Ⅱ）过圆上一点
作圆的切线与轨迹交于两点，
（第21题）
若，试求出的值.
（II）方法一：
由已知得，又，则，……8分
设直线代入得，
方法二：
设，则，且可得直线的方程为[来源:
学,科,网Z,X,X,K]
代入得，
由得，即，
则，故.[来源:
Z+xx+k.Com]
（ⅱ）设存在直线满足题意,则圆心
升级会员 