1920 第1章 12121 中心投影与平行投影122 空间几何体的三视图文档格式.docx

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定义

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影，其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面

分

类

中心投影

光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点

平行投影

在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投影线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影

2.三视图

思考：

画三视图时一定要求光线与投射面垂直吗？

[提示]　正确．由画三视图的规则要求可知正确．

1．哪个实例不是中心投影（　　）

A．工程图纸B．小孔成像

C．相片D．人的视觉

A　[根据中心投影的概念可知A不是中心投影．]

2．如图，小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是（　　）

A　　　　B　　　　C　　　　D　

A　[矩形的投影可以是线段，矩形，平行四边形，但不会是梯形．]

3．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个________．

棱台　[从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但大小不一样，可以判断是棱台．]

4．水平放置的下列几何体，正视图是长方形的是________．（填序号）

①　　　②　　　③　　　　④

①③④　[①③④的正视图均是长方形，②是等腰三角形．]

中心投影和平行投影

【例1】　

（1）下列命题中正确的是（　　）

A．矩形的平行投影一定是矩形

B．梯形的平行投影一定是梯形

C．两条相交直线的投影可能平行

D．一条线段的中点的平行投影仍是这条线段投影的中点

D　[矩形的平行投影可能是线段、平行四边形或矩形，梯形的平行投影可能是线段或梯形，两条相交直线的投影还是相交直线．因此A、B、C均错，故D正确．]

（2）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是（　　）

A　　　　B　　　　C　　　　D

A　[由正投影的定义知，点M、N在平面ADD1A1上的正投影分别是AA1、DA的中点，D在平面ADD1A1上的投影还是D，因此A正确．]

判断几何体投影形状的方法及画投影的方法：

（1）判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．

（2）画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影．

1．已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的△A′B′C′与△ABC（　　）

A．全等　B．相似C．不相似D．以上都不对

B　[本题主要考查对中心投影的理解．根据题意画出图形，如图所示．

由图易得

＝

，则△ABC∽△A′B′C′.]

画空间几何体的三视图

【例2】　

（1）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（　　）

B　[依题意，侧视图中棱的方向是从左上角到右下角．故选B.]

（2）画出如图所示几何体的三视图：

①　　　　　　　　②

[解]　①此几何体的三视图如图③所示；

②此几何体的三视图如图④所示．

③　　　　　　　　　　　　　④

1．画组合体三视图的“四个步骤”

（1）析：

分析组合体的组成形式；

（2）分：

把组合体分解成简单几何体；

（3）画：

画分解后的简单几何体的三视图；

（4）拼：

将各个三视图拼合成组合体的三视图．

2．画三视图时要注意的“两个问题”

（1）务必做到“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”．

（2）把可见轮廓线画成实线，不可见轮廓线要画成虚线，重合的线只画一条．

2．螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如图，画出它的三视图．

[解]　它的三视图如图所示．

由三视图还原几何体

[探究问题]

1．如何由三视图确定几何体的长、宽、高？

[提示]　由正视图可确定几何体的长、高；

由俯视图可确定几何体的宽．

2．如图所示的三视图，其几何体是什么？

其正视图、侧视图中的三角形的腰是几何体的侧棱长吗？

[提示]　由三视图可知，该几何体为正四棱锥，如图所示．正视图、侧视图中三角形的腰长不是四棱柱的侧棱长，应为四棱椎的侧面高线．

【例3】　

（1）若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，则这个几何体可能是（　　）

A．圆柱B．三棱柱　　　C．圆锥　　　D．球体

C　[正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆说明此几何体是圆锥．]

（2）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（　　）

D　[对于选项A，B，正视图均不符合要求；

对于选项C，俯视图显然不符合要求．只有D符合要求．]

由三视图确定几何体一般分两步：

第一步：

通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体．若正视图和侧视图为矩形，则原几何体为柱体；

若正视图和侧视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；

若正视图和侧视图为等腰梯形，则原几何体为台体．

第二步：

通过俯视图确定是多面体还是旋转体．若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；

若俯视图为圆，则原几何体为旋转体．

3．根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状．

①　　　　　　　　　　②

[解]　由三视图的特征，结合柱、锥、台、球及简单组合体的三视图逆推．

图①对应的几何体是一个正六棱锥，图②对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空间几何体的图形分别如下：

1．三视图的正视图、侧视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体三视图的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征．

2．画组合体的三视图的步骤

特别提醒：

画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．

1．中心投影的投影线（　　）

A．相互平行B．交于一点

C．是异面直线D．在同一平面内

B　[由中心投影的定义知，中心投影的投影线交于一点，故选B.]

2．如图网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　）

A．三棱锥B．三棱柱

C．四棱锥D．四棱柱

B　[由题意知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．]

3．一个正三棱柱（俯视图为正三角形）的三视图如图所示，则这个三棱柱的高和底面边长分别为________．

2，4　[由正三棱柱三视图中的数据，知三棱柱的高为2，底面边长为2

×

＝4.]

4．画出如图所示的几何体的三视图．

[解]　该几何体的三视图如图所示．