初中数学勾股定理的多种证明Word格式文档下载.docx

初中数学勾股定理的多种证明Word格式文档下载.docx

《初中数学勾股定理的多种证明Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学勾股定理的多种证明Word格式文档下载.docx（8页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

∴∠EHA+∠GHD=90o.

又∵∠GHE=90o,

∴∠DHA=90o+90o=180o.

∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于a+b的平方。

∴a加b的平方等于4乘二分之一ab，加上c的平方。

.

∴a的平方加b的平方等于c的平方。

勾股定理的证明方法3

以a、b为直角边（b>

a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab。

把这四个直角三角形拼成如图所示形状。

∵RtΔDAH≌RtΔABE,

∴∠HDA=∠EAB.

∵∠HAD+∠HAD=90o，

∴∠EAB+∠HAD=90o，

∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.

∵EF=FG=GH=HE=b―a,

∠HEF=90o.

∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于b减a的平方。

∴4乘二分之一ab加上，b减a的平方等于c的平方。

∴a^2+b^2=c^2（说明a^2为a的平方）。

勾股定理的证明方法4

以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab。

把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵RtΔEAD≌RtΔCBE,

∴∠ADE=∠BEC.

∵∠AED+∠ADE=90o,

∴∠AED+∠BEC=90o.

∴∠DEC=180o―90o=90o.

∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，

它的面积等于二分之一c^2.

又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,

∴AD∥BC.

∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于1/2（a+b）^2.

∴1/2（a+b）^2=2x1/2ab+1/2c^2..

∴a^2+b^2=c^2.

勾股定理的证明方法5

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.

∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,

∴∠EGF=∠BED，

∵∠EGF+∠GEF=90°

，

∴∠BED+∠GEF=90°

∴∠BEG=180o―90o=90o.

又∵AB=BE=EG=GA=c，

∴ABEG是一个边长为c的正方形.

∴∠ABC+∠CBE=90o.

∵RtΔABC≌RtΔEBD,

∴∠ABC=∠EBD.

∴∠EBD+∠CBE=90o.

即∠CBD=90o.

又∵∠BDE=90o，∠BCP=90o，

BC=BD=a.

∴BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

a^2+b^2=S+2x1/2xab

c^2=S+2x1/2xab

勾股定理的证明方法6

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>

a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；

再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵∠BCA=90o，QP∥BC，

∴∠MPC=90o，

∵BM⊥PQ，

∴∠BMP=90o，

∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90o.

∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o，

∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o，

∴∠QBM=∠ABC，

又∵∠BMP=90o，∠BCA=90o，BQ=BA=c，

∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.

从而将问题转化为【证法4】

勾股定理的证明方法7

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.

∵AF=AC，AB=AD，

∠FAB=∠GAD，

∴ΔFAB≌ΔGAD，

∵ΔFAB的面积等于1/2乘a^2，

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半，

∴矩形ADLM的面积=a^2.

同理可证，矩形MLEB的面积=b^2.

∵正方形ADEB的面积

=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴c^2=a^2+b^2，即a^2+b^2=c^2.

勾股定理的证明方法8

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵∠ADC=∠ACB=90o，

∠CAD=∠BAC，

∴ΔADC∽ΔACB.

AD∶AC=AC∶AB，

即AC^2=AD·

AB.

同理可证，ΔCDB∽ΔACB，从而有BC^2=BD·

∴AC^2+BC^2=（AD+DB）·

AB=AB^2，即a^2+b^2=c^2.

勾股定理的证明方法9

a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.

∵∠BAD=90o，∠PAC=90o，

∴∠DAH=∠BAC.

又∵∠DHA=90o，∠BCA=90o，

AD=AB=c，

∴RtΔDHA≌RtΔBCA.

∴DH=BC=a，AH=AC=b.

由作法可知，PBCA是一个矩形，

所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=

CA=b，AP=a，从而PH=b―a.

∵RtΔDGT≌RtΔBCA,

RtΔDHA≌RtΔBCA.

∴RtΔDGT≌RtΔDHA.

∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.

又∵∠DGT=90o，∠DHF=90o，

∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90o，

∴DGFH是一个边长为a的正方形.

∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GT―GF=b―a.

∴TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a+（b―a）.

用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为

勾股定理的证明方法10

设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>

a），斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.

∵∠TBE=∠ABH=90o，

∴∠TBH=∠ABE.

又∵∠BTH=∠BEA=90o，

BT=BE=b，

∴RtΔHBT≌RtΔABE.

∴HT=AE=a.

∴GH=GT―HT=b―a.

又∵∠GHF+∠BHT=90o，

∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90o，

∴∠GHF=∠DBC.

∵DB=EB―ED=b―a，

∠HGF=∠BDC=90o，

勾股定理的证明方法11

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a.因为∠BCA=90o，点C在⊙B上，所以AC是⊙B的切线.由切割线定理，得

AC^2=AE·

AD

=（AB+BE）（AB-BD）

=（c+a）（c-a）

=c^2-a^2,

即b^2=c^2-a^2,

∴a^2+b^2=c^2

勾股定理的证明方法12

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c（如图）.过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有

AB·

DC=AD·

BC+AC·

BD，

∵AB=DC=c，AD=BC=a，

AC=BD=b，

∴AB^2=BC^2+AC^2，即c^2=a^2+b^2，

勾股定理的证明方法13

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵AE=AF，BF=BD，CD=CE，

勾股定理的证明方法14

勾股定理的证明方法15

勾股定理的证明方法16

以上为瑞德特老师整理的初中数学：

勾股定理的16种证明。