恒成立问题基本题型及解题方法Word格式文档下载.doc

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所以必须考察a与-1，2的大小，显然要进行三种分类讨论

1．当a2时f（x）在[-1，2]上是减函数此时

=f

（2）=4-4a+4即a结合a2，所以a的解集为

2．当a时f（x）在[-1，2]上是增函数，

=f（-1）=1+2a+4结合a即

3．当-1<

a<

2时=f（a）=a2-2a2+4

即a所以

综上1，2，3满足条件的a的范围为：

二确定主元，构造函数，利用单调性解题

例2．对于满足0a4的所有实数a求使不等式x2+ax>

4x+a-3都成立的x的取值范围。

不等式变形为x2+（x-1）a-4x+3>

设f（a）=（x-1）a+x2-4x+3，则其是关于a的一个一次函数：

是单调函数

结合题意有即得或

三利用不等式性质解题

例3．若关于的不等式|x-2|+|x+3|a恒成立，试求a的范围

由题意知只须

由所以

四构造新函数，利用导数求最值：

例4．已知若当时在[0，1]恒成立，求实数t的取值范围。

在[0，1]上恒成立，即在[0，1]上恒成立

令则须F（x）在[0，1]上的最大值小于或等于0

所以

又所以即在[0，1]上单调递减

所以即得

（说明：

若将恒成立改成有解，即在[0，1]上有解，则应F（x）min。

）

五分离参变量，变换成函数问题

例5已知二次函数对恒有，求的取值范围。

对恒有即变形为

当时对任意的都满足只须考虑的情况

即

要满足题意只要保证比右边的最大值大。

现求在上的最大值。

令

（）

所以

又是二次函数所以且

六利用数形结合解题

例6：

不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。

x

y

3

画出两个函数和在上的图象

如图

知当时，

当时总有所以

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