二次根式的运算Word文档下载推荐.docx
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【解析】注意题目中隐含的条件・
原式=（X+^）-77-（扌+y）“-
［答案］（X+2.）77-（"
I+y）4y
【巩周】j/+6"
+9+一10"
+25
【难度】3星
【解析】原式=”+3|+”一5|,
当5<
日寸，原式=“+3+“一5=2<
f—2:
当—3v«
v5吋，原式=“+3—“+5=8:
当“3时,原式=—“―3—"
+5=—2<
f+2・
【答案】当5<
«
时，原式=“+3+“—5=加—2:
当—3v«
v5时，原式=“+3—a+5=8:
当"
M—3时9原式=—"
—3—"
模块二二次根式的混合运算
在进行二次根式的混合运算吋，要注意几点:
（1）
（2）
整式和分式的运算法則仍然适用.如
多项式的乘法法则及乘法公式在运算中同样是适用的.乘法公式：
（a+b）（a-b）=a~-b~:
（a±
b）~■a，+庆±
2ab.
（371+>
/48）（7|8-4^3）
1星
【例6】
【解析】原式■（3^/I+4^/5）x（3^/I-4^/?
）■-30•
-30
（2后屈（石-275）
【巩周】
【解析】原式=675-12+6-6压-6.
-6
【巩固】【难度】
【解析】原式=11品+6・
【答案】1^/^+6
（47?
-3>
/2）（750+后）
【例7】
（1）（2苗+3@）（-67?
r）
【解析】
（2）（-16>
//+—JcF）
（2需+3亦）（-6©
）=72皿-i8b
（—16^^）（—^/^?
——y/ct^+—）=—&
『+1加‘—14"
—12y/ub—18b：
（2）—8t/"
+12<
r—14c『
（577-皿）（皿-5^/2）
【例8】
【解析】原式=-（5j5-应）2・2oJ5-6O・
【答案】20巧-60
【巩固］（苗-
【解析】原式岳）—6逅-7.
【答案】6^2-7
【巩固】
（1+J7）（i-jr）（j+x+J7）（i+x-J7）
【解析】原式=（1-・y）［（1+x）2-x］=（1-x）（1+x+/）=1-x'
・
【答案】1-X*
【例9】［（石-亦）+4\/^］手（需+@）•
【解析】原式・（亦+亦）2+（需+5/^）■需+&
【答案】y/if+
【巩固］（極+M）+Q
4
【解析】原式=（4>
疗+迈）x—u纟+渥・
43y^312
【巩固】U+27^+y）*（石+7^）
【解析】原式■（\/7+77）2+（\/7+77）■石+“•
【答案】y/x+yfy
【例10]（>
/6-2715）x73-6^
【解析】原式=3^/T-6^/5-3血=-675•
【答案】-6y/5
【例11】辰+-jJ—
72+1
【解析】原式=3屁尽1-押=471-1【答案】472-1-^>
/6
3
【巩固】:
原式=2+1—2=1・
/I+2+y/n~-4+n+2--4
n+2-厶2«
4«
+2+-4
【解析】此算式中的两个分式互为倒数，设《+2+J7二2=儿«
+2-7/r-4=y,则原式=艺+上=心£
=口221二竺，然后把x+y与町整体代入即可.
yXxyxy
设x=n+2+y/rr-4,y■"
+2-肿-4
原弍二X十y二+b_（x+〉y-2Ay二（2«
+4尸_2l讯"
+2尸—yXxyxy4h+84（/?
+2）
xy
4n+8
【答案】《
【难度】2星【解析】
【例12】已知两+3算求"
的值.
先化原方程中的二次根式为最简二次根式，然后按着解一般整式方程的步猱去解就可以.
+y/^+3yf^=18
5两=18
108
a=
25
【例13】
先化简，再求值：
11h卄.^5+1L>
/5-1
+-+,其中a=上=a+hha（a+h）22
【例14】
求（弊-，:
尸丄的值•
X'
—XX'
—2人•+1X
当2后1时，原心（亦冷=巧
已知a=72./?
=7^,求L-1"
L的值•da—yjbda+yjh
原式=—+—=^-=+—
3-2Q-13+2V2-I2-2722+25/722
【解析】先将ty化简，多项式可用x+y及Ay的形式衷示，为此求出x+y.厂，，最后整体代值计算.“=卓二£
=5-2点，尸兽£
=5+2“
^/3+7273-72
;
.x+y=\Q»
xy=1
•/3x~-5xy+3y~=3（a'
+v'
）-5xy=3（x+y）"
-1ixy
將A+y=10・xy=｝代入，得
原式=3xl0--llxl=289・
【答案】289
【例16】已知2*（77+75），〃=1（>
/7-点），求代数式a--5ab+h-的值.
【解析】•・•d=丄G/7+^/?
）,/2丄（>
/7-55），・5+b=『丄x（7-5）=丄,
2242
•:
原式=（"
+b）2—，将a+b=fah=—x（7—5）=—»
42
朋式"
5卜7一氏
总结：
在解題时注意整体带入的思想.
【例17】已知（人h.e均为实数，且J7+（f=0•啤=1,J7=q,
ah
化简-J（"
+b）2+\a—e\—y]（e—h）~-
■-a,:
.a<
0:
又t=Ij.k仍|=M人且a<
0打"
<
0;
又•
•・“+〃<
0;
“一1・<
0«
—/>
>
0・
4^-yj（n+b）-+\a-c|-^（c-h）-
=—h+a+b—（a—c）—（e—h）=—h+d+b—a+c—c+h=b.h
估算
・・・2<
-75<
3,4<
720<
5,有2个.
•/2<
/5<
1/.3+2<
3+>
/5<
3+3,/.5<
3+^<
6,/.-<
^i^<
-,Ai^^i：
^P*^为L
444
【答案】1
比较大小
比较二次根式的大小，可以通过平方法比较大小.
AB
II
万710
【例22】试比较辱i与gi車的大小.
【解析】2/111=S+l）2=6+2^/?
①遁=（d+®
=10+2何
75-14•"
.6+2点“10+2何
44
【答案】芈±
1<
£
+密
-7^—1>
yy—5/3
【巩固】比较下列二次根式的大小：
昇而岭
甬+皿姮<
6+姮<
6+6=12,
222
26
714-7107?
■
如果分母上有根号，先分母有理化再通过平方法比较大小.
【例23】比较下列二次根式的大小：
車巴与車竺
du+5V"
+6
【解析】1
yfu+5+6（+5）（>
/^+6）y/u+5+6
【答案】車杷
yja+5\id+6
比较二次根式的大小，亦可以通过做差法比校大小•
【例24】比较大小：
【难度】3星【解析】倒数法比较大小・
V10_ViT=—■=—=.>
/rT—2也=—=—
7Io+7h7H+7f2
VTo+<
jYi+5/12,——>
f—,.・.——<
——•
710+711711+712710+711vTT+vIT
•・^->
/rT<
/TT-2s/5
【答案】\/10—VTT<
vrr—2>
/3
模块五非负数性质的综合应用
二次根式石具有双重非负性，G>
0且6/>
0,以前所学的平方和绝对值同样具有非负性，这也是整个初中数学的三个非负性•
【例25】
若\lx+\+（y-201l）'
+|z-!
|=0t则（xzF的值等于.
对二次根式、平方和绝对值非负性的直接考察.
【例26】【难度】
如果y■^/57二？
+Q37+4,则2x+y的平方根是
对二次根式非负性的直接考察.
T2v-5>
0.5-2v>
0»
.■.0<
2a—5<
0.2a—5=0
/.2%=5»
y=4
.2x+y・9・・・・±
5/9=±
±
【例27】
已知h++-2ae+c'
+&
+b+（・—3■0,求^ahc的值•
由已知可得|Q+b|+（a-（・）2+Jd+b+c—3■（）,
0+曲>
0.（"
-e）220、&
+b+e-320»
a+h=0
—c=0,解得，
it+b+c-3=0
u=3
b=-39Jabc=斗3x3x（-3）=-3•
c=3
-3
【巩固】若me。
，求缶的值・
由已知可得（/-4“+1）+（//-2b+l）=0：
-2）'
+（"
-1）2=0,••卫=2上=1・.原式=2^211=3.
7272-1
已知正数Sh.且满足小/TR+HT二7=1，求证：
a-+h-=\.
【例28】
【解析】本題应用了配方的思想.
【答案】由已知可得，
两边平方的
化简可得两边平方得
a-（l-/?
-）=I+/?
-（!
-6（-）-,
\+b^-a-=2byli-a-,
1+/+戻一2crb-一2a-+2ir=4b--4<
加,
（/+F）2-2（/+F）+1=O•（（r+/、l）2=0,d-+h-=\.
【练nJ2】已知"
一/>
=5/3+>
/2,h—c=yf3—a/T求d~+Z?
+c"
—uh—etc—he的值-
【解析】原式=ix[⑺一»
+（b-e）2+（d-c）21
a—h=>
+*h—c=-a/Tt••d-e■（6f—by+（h—c）=>
+>
+疋>
/2=2^/3
.•.原式=lx[（7J+©
）2+（d-^/?
）'
+（2>
/5y]=*x（5+2〃+5-2^+12）=*x22=ll.
【答案】11
【练习3】比较大小：
【解析】1L—IL
•・・5/5^+75f^7>
^/5f^T+75515,二L…」厂—V广-…」厂—
V20t2+V^>
W1+5®
IO
.•75?
JTT-V5^^-
【答案】^/2^-720To<
^^^-^/2^
在比较两个二次根式^/^订-侖与5/^迈-5/^苻的大小，可以通过取倒数比较.由上题我们知道缶+1—亦＜+2—J”+1•若J2w+J—3川有意义，则m=・
【练习4】先化简再求值
4yfa+4h,Ja-yfh卄.
[—=—=—=可H—=S-1—»
克中“=3,h=4
（y/a+y/b）（y/a-yfh）yfah（y/b-y/a）y/ob
【解析】根据本题特点，可先通分做加法，后做除法进行化简，再代入.
4y/ah（需+亦）21
'
'
Jahi'
Jii+y/b）（yjd-\fh）石+G）（G-需Jy/ci-y/h
-（-yfb）"
\/db
yfab（yfa+\fh）[yfa-yfh）yfa-y/b
_I_\fa—yfh
\ia+爲a—b
当《=3,b=4fl寸，原式=—_=y/3—2・
3-4
【答案】73-2【练习5】已知"
、b、C满足a+b+c+3・2（亦+丽-1+&
+i）,求a'
+b~+c~的值
【解析】^?
+/?
+C+3-2yfa-2-7^-1-2>
/r+T=0,
:
.a-2亦+I+（（/?
-1）-2jb一I+1]+[（C+1）-2>
/r+T+1]=0
/.（y/a-I）-+-1）-+（>
/r+T-1）-=0
/.\fa=T=l,*7c+I=1,/.<
/=I,/j=2,c=0a~+b-+c~=\-+2-+Q-=5
【答案】5
1.JT?
+2的的整数部分是・
【解析】・・・16<
19<
25「4<
715<
5：
6<
皿+2<
7,故掐数部分为6.
【答案】6
2•比较大小
已知正数a和b,有下列命题：
⑴若“+b=2.则屈<
1：
（2）若“+b=3,则皿<
-：
⑶若“+b=6,则屁<
3.
根摇以上三个命题所提供的规律，猜想若“+b=9,则皿Mei+h=n,则yfdb<
并证明上式成立.
【难度】2星【解析】若“+"
9,则皿呀若E"
，则屈晋.
•/（yfa-y/b）~=-2yfay/E+（莎$=a-^h-2y/^=n=>
0./.2y/^<
n,古攵y/ah<
号.
【答案】皿呀叫
•・•（需一亦）2=（需）2—2•亦•亦+（亦）2=a-^h-2y/^=n=2>
/^>
0..\2\f^<
n»
故yf^<
#-
3•设"
，/?
都是实数，且问-"
=0»
\dh\=ah,|c|+f=0»
那么化简冋一｛（d+b），-/c-b），+”一4为（A.2c-bB・2/?
-加C・-bD"
【解析】•・・”|—d=0・・・“>
0・|"
Z>
|=“Zv.b>
0・・・・|c|+c=0・・.c<
.原^=b—u—b+c—b+a—c=—b,故选C・
【答案】D
4,若正数w・nw+4>
/nrn—2\fm-4\/n+4/i=3,求^^+2迥_.
VW+2Vrt+2011
【解析】此題用到了因式分解•
Tnt+4ylnw—2yfm—4yfn+4n=3,（侖严+4&
JT+（2亦）'
-2（&
?
+亦）—3■0,
即（*7^+2*7^）'
-2（5/^+2>
/J!
r）—0»
（yfm+2\fn-3）（\fm+2-71?
+1）=0:
.J^+2麻=3鼓肩m+2麻=—I（舍去）,
••原式==-丄
3+20112014
5・化简下列各式
⑵拄伫;
31）
Jx+1+-1
1、2^/?
+点-3^/5
2+V2-^/6
“、2+2>
/7+710I4+2713+^
（yfT+y/\0）（2+y/7）（7b+710）（4+43）
⑷3E-竺応+«
专但
VWmntVnVm
（1）原式=d（2+f-f）=G
2+逅-点
（2）原式-2
yJX+1+yJX—1
-1+血-iQx+l-Jx-1）
（Jx+1+Jx—1）（Jx+]-Jx—1）
（3）
（4）
y/x~~I-X+131I/■>
=1+x+—心--1
2222
这个分数如果直接有理化分母将十分緊轅，但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和，于是則有如下简解：
原式=（2+0+（后尿）+5+7?
）+（4+7?
）
2"
"
（>
+価）（2+0（7!
7+廊）（4+7[1）
=+++
77+7102+s/77l3+7io4+7i3
_g_yff77-2713-5/104-屈
—3—+3+3+—3—
=1（710-7?
+7?
-2+713-710+4->
/13）=-
原式=（—y/tnn-—•jinn+—-Jrun）-,1^
ntmm（广ZrVn
“2—ab+lI—1y—/—"
+1a~—肪+1
=3m・rT^寸nm=——mn=————
ma'
b'
ncrirtmtcrh~
屈⑵H4E：
⑶即⑷豊讐
6•已知初=庐-1.求（/+2（『-17/-/+1&
/-17））河的值
【解析】直接把“的值代入代数式计算，显然太繁，可把条件和要求的代数式同时变形，再代入计算
V<
/=717-1，（初+1）2=17
原式={/+2（『-（"
+1）2"
-/+[（"
+1）2+1]-（“+1）丁'
^9
=[/+2/—（詁+2/+“'
）—/+（/+2x/+2）"
—t/"
—2a—1]'
咖=（-/一/+/+2“'
+2«
-/一2“-1^^=（一1）'
咖=一1.
【答案】-1
7・已知正实数X、V.乙、W满足2007・£
=2008）,2=2009r=2010'
/,K-+-+-+-=l
■Xyzw
求J2007X+200紗+2009Z+2010比之值
【解析】2007a'
=2OO8y'
=2009z-=2010u<
=k'
伙>
0）则丄卜1十1十1_III
Xyzwkkkk
IbbbI
原式=2007X—^+2008x—^+2009x—^+2010x—
VV2OO7V2008V2009720T0
=3^/HJ+2^/5^+^/55^+75?
^^・
【答案】3屈5+2>
/5匝+炉矽+炉帀
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