绵阳市中考数学试题精析.docx

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绵阳市中考数学试题精析

2012年中考数学精析系列——绵阳卷

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

一．选择题：

（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2012四川绵阳3分）4的算术平方根是【】。

A．2B．-2C．±2D．2

【答案】A。

【考点】算术平方根。

【分析】根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a的算术平方根，特别地，规定0的算术平方根是0。

∵22=4，∴4的算术平方根是2。

故选A。

2．（2012四川绵阳3分）点M（1，-2）关于原点对称的点的坐标是【】。

A．（-1，-2）B．（1，2）C．（-1，2）D．（-2，1）

【答案】C。

【考点】关于原点对称的点的坐标特征。

【分析】关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点M（1，-2）关于原点对称的点的坐标是（-1，2）。

故选C。

3．（2012四川绵阳3分）下列事件中，是随机事件的是【】。

A．度量四边形的内角和为180°；

B．通常加热到100℃，水沸腾；

C．袋中有2个黄球，绿球3个，共五个球，随机摸出一个球是红球；

D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上。

【答案】D。

【考点】随机事件。

【分析】随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，利用定义即可判断：

A、是不可能事件，故选项错误；B、是必然事件，故选项错误；

C、是不可能事件，故选项错误；D、是随机事件，故选项正确．

故选D。

4．（2012四川绵阳3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【】。

【答案】D。

【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。

因此，

A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；

C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．

故选D。

5．（2012四川绵阳3分）绵阳市统计局发布2012年一季度全市完成GDP共317亿元，居全省第二位，将这一数据用科学记数法表示为【】。

A．31.7×109元B．3.17×1010元C．3.17×1011元D．31.7×1010元

【答案】B。

【考点】科学记数法。

【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。

在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。

当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。

317亿=31700000000一共11位，从而317亿=31700000000=3.17×1010。

故选B。

6．（2012四川绵阳3分）把一个正五棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是【】。

【答案】B。

【考点】平行投影。

【分析】根据正投影的性质，该物体为五棱柱，当投射线由正前方射到后方时，其正投影应是矩形，且宽度为对角线的长。

故选B。

8．（2012四川绵阳3分）已知a＞b，c≠0，则下列关系一定成立的是【】。

A．ac＞bcB．

C．c-a＞c-bD．c+a＞c+b

【答案】D。

【考点】不等式的性质。

【分析】根据不等式的基本性质进行判断即可：

A、当c＜0时，不等式a＞b的两边同时乘以负数c，则不等号的方向发生改变，即ac＜bc．故本选项错误；

B、当c＜0时，不等式a＞b的两边同时除以负数c，则不等号的方向发生改变，即

．故本选项错误；

C、在不等式a＞b的两边同时乘以负数-1，则不等号的方向发生改变，即-a＜-b；然后再在不等式的两边同时加上c，不等号的方向不变，即c-a＜c-b．故本选项错误；

D、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍然成立，即a+c＞b+c；故本选项正确。

故选D。

9．（2012四川绵阳3分）图

（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图

（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是【】。

A．2mnB．（m+n）2C．（m-n）2D．m2-n2

【答案】C。

【考点】完全平方公式的几何背景

【分析】由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）2。

又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）2-4mn=（m-n）2。

故选C。

10．（2012四川绵阳3分）在同一直角坐标系中，正比例函数y=2x的图象与反比例函数

的图象没有交点，则实数k的取值范围在数轴上表示为【】。

【答案】C。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】∵正比例函数y=2x的图象经过一、三象限，正比例函数y=2x的图象与反比例函数

的图象没有交点，

∴反比例函数图象位于二、四象限。

∴4-2k＜0，解得k＞2。

k＞2在数轴上表示为，

。

故选C。

11．（2012四川绵阳3分）已知△ABC中，∠C=90°，tanA=

，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=【】。

A．

B．

C．

D．

12．（2012四川绵阳3分）如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：

P′C=1：

3，则P′A：

PB=【】。

A．1：

B．1：

2C．

：

2D．1：

【答案】B。

【考点】旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】如图，连接AP，

∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，

∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°。

又∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，∴∠ABP=∠CBP′。

在△ABP和△CBP′中，∵BP=BP′，∠ABP=∠CBP′，AB=BC，∴△ABP≌△CBP′（SAS）。

∴AP=P′C。

∵P′A：

P′C=1：

3，∴AP=3P′A。

连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形。

∴∠BP′P=45°，PP′=2PB。

∵∠AP′B=135°，∴∠AP′P=135°-45°=90°，∴△APP′是直角三角形。

设P′A=x，则AP=3x，

在Rt△APP′中，

。

在Rt△APP′中，

。

∴

，解得PB=2x。

∴P′A：

PB=x：

2x=1：

2。

故选B。

二．填空题：

（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

13．（2012四川绵阳4分）比-1℃低2℃的温度是▲℃（用数字填写）。

【答案】-3。

【考点】有理数的减法。

【分析】用-1减去2，然后根据减去一个是等于加上这个数的相反数进行计算即可得解：

-1-2=-1+（-2）=-3。

14．（2012四川绵阳4分）如图，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线，若∠1=30°，∠2=40°，则∠BEF=▲度。

【答案】35。

【考点】平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义。

【分析】∵AB∥CD，∴∠D=∠1=30°。

∴∠BED=∠D+∠2=30°+40°=70°。

∵EF是∠BED的平分线，∴∠BEF=35°。

15．（2012四川绵阳4分）如图，BC=EC，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为

▲（答案不唯一，只需填一个）。

【答案】AC=DC（答案不唯一）。

【考点】开放型，全等三角形的判定

【分析】由∠1=∠2，求出∠BCA=∠ECD，又BC=EC，

∴根据SAS可添加的条件为AC=DC；根据ASA可添加的条件为∠B=∠E；根据AAS可添加的条件为∠A=∠D。

只需填一个即可。

16．（2012四川绵阳4分）如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为▲（结果保留两位有效数字，参考数据π≈3.14）。

【答案】1.7。

【考点】正方形的性质，有效数字。

【分析】由图形可知，四个半圆的面积=正方形的面积－空白部分的面积（空白部分被重叠算了1次），所以空白部分的面积=四个半圆的面积－正方形的面积=2个圆的面积－正方形的面积，则阴影部分的面积=正方形的面积－空白部分的面积，计算即可得解：

空白部分的面积=2×π×12－2×2=2π－4，

阴影部分的面积=2×2－（2π－4）=8－2π≈8－2×3.14=1.72≈1.7。

17．（2012四川绵阳4分）一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就变成了一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的面积为▲cm2。

【答案】

。

【考点】一元一次方程的应用（几何问题）。

【分析】设正方形的边长是xcm，则（x＋5）（x－2）=x2，解得x=

。

，

∴S=

。

18．（2012四川绵阳4分）如果关于x的不等式组：

，的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有▲个。

【答案】6。

【考点】一元一次不等式组的整数解

【分析】

，

由①得：

；由②得：

。

∵不等式组有解，∴不等式组的解集为：

。

∵不等式组整数解仅有1，2，如图所示：

，

∴0＜

≤1，2≤

＜3，解得：

0＜a≤3，4≤b＜6。

∴a=1，2，3，b=4，5。

∴整数a，b组成的有序数对（a，b）共有3×2=6个。

三．解答题：

（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。

19．

（1）（2012四川绵阳8分）计算：

【答案】解：

原式=

。

【考点】零指数幂，绝对值，二次根式的混合运算。

【分析】首先计算0次方，以及开方运算，去掉绝对值符号，化简二次根式，然后合并同类二次根式即可求解。

（2）（2012四川绵阳8分）化简：

【答案】解：

原式=

。

【考点】分式的混合运算。

【分析】首先计算括号内的分式，然后将除法化为乘法，约分化简。

20．（2012四川绵阳12分）课外阅读是提高学生素养的重要途径，亚光初中为了了解学校学生的阅读情况，组织调查组对全校三个年级共1500名学生进行了抽样调查，抽取的样本容量为300。

已知该校有初一学生600名，初二学生500名，初三学生400名。

（1）为使调查的结果更加准确地反映全校的总体情况，应分别在初一年级随机抽取人；在初二年级随机抽取人；在初三年级随机抽取人（请直接填空）。

（2）调查组对本校学生课外阅读量的统计结果分别用扇形统计图和频数分布直方图表示如下，请根据上统计图，计算样本中各类阅读量的人数，并补全频数分布直方图。

（3）根据

（2）的调查结果，从该校中随机抽取一名学生，他最大可能的阅读量是多少本？

为什么？

【答案】解：

（1）120，100，80。

（2）根据扇形图得出：

阅读6～10本的人数

（人）；

阅读10本以上的人数300×（1－6%－22%）－60=156（人）。

补全频数分布直方图，如图所示：

（3）根据扇形图可知10本以上所占比例最大，故从该校中随机抽取一名学生，他最大可能的阅读量是10本以上。

【考点】扇形统计图，频数分布直方图，频数、频率和总量的关系。

【分析】

（1）根据该校有初一学生600名，初二学生500名，初三学生400名，抽取的样本容量为300，分别求出各年级所占比例，即可得出答案：

∵该校有初一学生600名，初二学生500名，初三学生400名，抽取的样本容量为300，

∴应分别在初一年级随机抽取300×6001500=120人；

在初二年级随机抽取300×5001500=100人；

在初三年级随机抽取300×4001500=80人。

（2）求出其他占调查总数的百分比，从而得出各段人数，画出条形图即可。

（3）根据扇形图可知10本以上所占比例最大，即可得出从该校中随机抽取一名学生，他最大可能的阅读量是10本以上。

21．（2012四川绵阳12分）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C=60°。

（1）求∠APB的大小；

（2）若PO=20cm，求△AOB的面积。

【答案】解：

（1）∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB。

∴∠PAO=∠PBO=90°。

∵∠C=60°，∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°。

∴∠APB=360°－∠PAO－∠PBO－∠AOB=60°。

（2）∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴∠APO=

∠APB=

×60°=30°，PA=PB。

∴P在AB的垂直平分线上。

∵OA=OB，∴O在AB的垂直平分线上，即OP是AB的垂直平分线，

∴OD⊥AB，AD=BD=

AB。

∵∠PAO=90°，∴∠AOP=60°。

在Rt△PAO中，AO=

PO=

×20=10，

在Rt△AOD中，AD=AO•sin60°=10×

，OD=OA•cos60°=10×

=5，

∴AB=2AD=

，

∴△AOB的面积为：

AB•OD=

（cm2）。

【答案】解：

（1）证明：

∵△=（m＋2）2－4（2m－1）=（m－2）2＋4，

∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4＞0，即△＞0。

∴关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根。

（2）∵此方程的一个根是1，

∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=0，解得，m=2，

则方程的另一根为：

m＋2－1=2+1=3。

①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为

，该直角三角形的周长为1＋3＋

=4＋

。

②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为

；则该直角三角形的周长为1＋3＋

=4＋

。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程的解，勾股定理。

【分析】

（1）根据关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论。

（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根。

分类讨论：

①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算。

23．（2012四川绵阳12分）某种子商店销售“黄金一号”玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择。

方案一：

每克种子价格为4元，无论购买多少均不打折；

方案二：

购买3千克以内（含3千克）的价格为每千克5元，若一次性购买超过3千克的，则超过3千克的部分的，则超过3千克的部分的种子价格打7折。

（1）请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量x（千克）和付款金额．y（元）之间的函数关系式；

（2）若你去购买一定量的种子，你会怎样选择方案？

说明理由。

【答案】解：

（1）方案一的函数是：

y=4x，

方案二的函数是：

.

（2）当0≤x≤3时，∵4x≤5x，∴选择方案一。

当x＞3时，由4x＞15+3.5（x-3），解得：

x＞9；

由4x=15+3.5（x-3），解得：

x=9；

由4x＜15+3.5（x-3），解得：

x＜9。

∴当x＜9时，选择方案一；当x=9时，选择两种方案都可以；当x＞9时，选择方案二。

【考点】一次函数的应用。

【分析】

（1）根据付款金额=数量×单价，即可表示出方案一。

在方案二中，当0≤x≤3时的函数关系式由付款金额=数量×单价可得；当x＞3时，由金额=3千克内的金额+超过3千克部分的金额，即可写出函数解析式。

（2）当0≤x≤3时，选择方案一；

当x＞3时，比较4x与15+3.5（x-3）的大小关系，即可确定x的范围，从而进行判断。

24．（2012四川绵阳12分）如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G。

（1）求证：

AF⊥BE；

（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系；

（3）若GO：

CF=4：

5，试确定E点的位置。

【答案】解：

（1）证明：

∵ABCD为正方形，且DE=CF，∴AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°。

∴△ABE≌△DAF（SAS）。

∴∠ABE=∠DAF。

又∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠DAF+∠AEB=90°。

∴∠AOE=90°，即AF⊥BE。

（2）BO=AO+OG。

理由如下：

由

（1）的结论可知，∠ABE=∠DAF，∠AOB=∠DGA=90°，AB=AD，

∴△ABO≌△DAG（AAS）。

∴BO=AG=AO+OG。

（3）过E点作EH⊥DG，垂足为H，

由矩形的性质，得EH=OG，

∵DE=CF，GO：

CF=4：

5，∴EH：

ED=4：

5。

∵AF⊥BE，AF⊥DG，∴OE∥DG，∴∠AEB=∠EDH。

∴△ABE∽△HED。

∴AB：

BE=EH：

ED=4：

5。

在Rt△ABE中，AE：

AB=3：

4，∴AE：

AD=3：

4，即AE=

AD。

∴点E在AD上离点A的

AD处。

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】

（1）由DE=CF及正方形的性质，得出AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，由SAS证明△ABE≌△DAF，得出∠ABE=∠DAF，而∠ABE+∠AEB=90°，利用互余关系得出∠AOE=90°即可。

（2）由

（1）的结论根据AAS可证△ABO≌△DAG，得BO=AG=AO+OG。

（3）过E点作EH⊥DG，垂足为H，则EH=OG，由DE=CF，GO：

CF=4：

5，得EH：

ED=4：

5，而AF⊥BE，AF⊥DG，则OE∥DG，∠AEB=∠EDH，△ABE∽△HED，利用相似比得出AB：

BE，由勾股定理得出AE：

AB，从而得出AE：

AD。

25．（2012四川绵阳14分）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+

x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（-3，0），M（0，-1）。

已知AM=BC。

（1）求二次函数的解析式；

（2）证明：

在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；

（3）在

（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N。

①若直线l⊥BD，如图1所示，试求

的值；

②若l为满足条件的任意直线。

如图2所示，①中的结论还成立吗？

若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。

【答案】解：

（1）∵二次函数y=ax2+

x+c的图象经过点B（-3，0），M（0，-1），

∴

，解得

。

∴二次函数的解析式为：

。

（2）证明：

在

中，令y=0，得

，解得x1=－3，x2=2。

∴C（2，0），∴BC=5。

令x=0，得y=-1，∴M（0，－1），OM=1。

又AM=BC，∴OA=AM－OM=4。

∴A（0，4）。

设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，

则

，解得x1=5，x2=－6（位于第二象限，舍去）。

∴D点坐标为（5，4）。

∴AD=BC=5。

又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。

设直线BD解析式为：

y=kx+b，∵B（－3，0），D（5，4），

∴

，解得：

。

∴直线BD解析式为：

。

（3）在Rt△AOB中，

，

又AD=BC=5，∴▱ABCD是菱形。

①若直线l⊥BD，如图1所示，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD。

∴AC∥直线l。

∴

。

∵BA=BC=5，∴BP=BQ=10。

∴

。

②若l为满足条件的任意直线，如图2所示，此时①中的结论依然成立，理由如下：

∵AD∥BC，CD∥AB，∴△PAD∽△DCQ。

∴

。

∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25。

∴

。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形、菱形的判定和性质，平行线间的比例线段关系，相似三角形的判定和性质，分式化简。

【分析】

（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式。

（2）首先求出D点的坐标，可得AD=BC且AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形；再根据B、D点的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式。

（3）本问的关键是判定平行四边形ABCD是菱形。

①推出AC∥直线l，从而根据平行线间的比例线段关系，求出BP、CQ的长度，计算出

。

②判定△PAD∽△DCQ，得到AP•CQ=25，利用这个关系式对

进行分式的化简求值，结论为

不变。