九年义务教育湘教版九年级数学上册教案Word文档格式.docx
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试举例说明。
（方程两边都是未知数的整式，叫整式方程；
在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的方程叫作一元一次方程）
二、新课讲解：
问题1、引导性材料1中，所得出的四个方程有哪些共同点？
（学生分组讨论，然后各组交流）
（1）都是整式方程
（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2
从而教师导出一元二次方程的定义，得出一元二次方程的一般形式：
aX2+bX+c=0（a≠0）
问题2下列方程都是整式方程吗？
其中哪些是一元一次方程？
哪些是一元二次方程？
（1）3x+2=5x－3
（2）x2=4
（3）（x－1）（x－2）=x2+8（4）（x+3）（3x－4）=（x+2）2
（上列方程都是整式方程。
其
（1）、（3）是一元一次方程，
（2）、（4）是一元二次方程）
说明：
通过一元二次方程与一元一次方程的比较，既加深学生对整式方程的认识，又可使学生深刻理解一元二次方程的意义。
问题3为什么在一元二次方程的一般形式aX2+bX+c=0中，二次项系数不为0呢？
方程aX2+bX+c=0是一元二次方程，必须具备a≠0的条件。
如果所研究的问题中，明确指出方程aX2+bX+c=0是一元二次方程，则它隐含了条件a≠0。
若没有特别说明，方程aX2+bX+c=0既可能是一元二次方程（当a≠0时），也有可能是一元一次方程（当a=0且b≠0时）。
例题解析：
例1把方程（x+3）（3x－4）=（x+2）2化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
解：
2x2+x－16=0
二次项系数是2，一次项系数是1，常数项是－16。
一元二次方程的一般形式aX2+bX+c=0（a≠0）具有两个特征：
一是方程的右边为0；
二是左边的二次项系数不能为0。
此外要使学生意识到：
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的，不同的一元二次方程的差异实质上是系数的差异，从而能正确的找出一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。
例2当a、b、c满足什么条件时，方程（a－1）x2+bx+c=0是一元二次方程？
这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么？
当a、b、c满足什么条件时，方程（a－1）x2+bx+c=0是一元一次方程？
本题供学有余力的同学讨论。
当a=1时是一元二次方程；
当a=1，b≠0时是一元一次方程；
三、课堂练习：
教科书第5页练习第1题，第2题
四、课堂小结：
1、一元二次方程属于“整式方程”，其次它“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”，
2、一元二次方程的一般形式aX2+bX+c=0（a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
3、在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。
五、作业：
课本第5页练习第3题
补充题：
一、选择题（40分）
将下题中唯一正确答案的序号填在题后的括号内。
下列方程是一元二次方程的是（）
A、
B、（x+2）（x-3）x=3x2+
C、（x+1）（x2-x+1）=x3-x2D、（2x2-1）2-1=0
二、解答题（每题30分，共60分）
1、把下列各题化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项、一次项及常数项；
（1）（）（）=（y-2）2；
（2）（x+a）2+2（x+a）（2x+c）=b2
2、对于方程x2-mx（2x-m-1）=0，当m为何值时，是一元二次方程？
板书设计
教学反思
一元二次方程
一、新课引入
二、新课讲解
三、课堂练习
四、课堂小结
五、作业
20年月日第周星期总第课时
第2课时直接开平方法
1、知道直接开平方法适用于解形如（x+h）2=m的方程，它的依据是数的开方；
2、会用直接开平方法解形如（x－a）2=b（b≥0）的方程；
3、在把（x－a）2=b（b≥0）看成x2=b（b≥0）的过程中，引导学生体会“换元”的数学方法。
用直接开平方法解一元二次方程
怎样的一元二次方程适用于直接开平方法
要求学生复述平方根的意义。
（1）文字语言表示：
如果一个数的平方的等于a，这个数叫a的平方根。
（2）用式子表示：
若x2=a，则x叫做a的平方根。
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
零的平方根是零；
负数没有平方根。
求适合等于x2=4的x的值。
学生不难看出本题的解（x=2或x=－2），教学中要注意引导学生观察这个方程的特点，探索解这个方程与已学知识（数的开方）的联系。
在求出方程x2－4=0的解以后，引导学生总结：
解这样的方程，就是要“求一个数，使它的平方是4”，即求4的平方根，可用开平方的方法。
这个过程体现了数学常用的一种重要的数学思想方法——化归。
事实上，解决数学问题的过程，就是一系列的转化过程，把未知的转化为已知的，最终使问题解决。
问题1如果一元二次方程：
aX2+bX+c=0（a≠0）的一次项系数b、常数项c中至少有一个为0，那么就能得到那些特殊的一元二次方程？
（1）ax2=0
（2）ax2+c=0（3）ax2+bx=0
问题2怎样解方程ax2=0？
（可以3x2=0为具体例子，学生根据平方根的定义，得到x=0。
应指出3x2=0有两个相等的实数根，即x=0，x=0
；
这与一元一次方程3x=0有一个根x=0是有区别的，进而指出：
方程ax2=0有两个相等的实数根x=x=0）
问题3怎样解方程ax2+c=0（a≠0）？
可以
（1）x2－4=0，
（2）2x2－50=0，（3）2x2+50=0等方程为例，由学生把它们变形为x2=－的形式，用平方根的定义来求解。
接着指出：
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法，其中适合方程（3）的实数x不存在，所以原方程无实数解。
进而引导学生归纳方程ax2+c=0的解的情况：
当a、c异号时，方程ax2+c=0有两个不相等的实数根；
当a、c同号时，方程ax2+c=0没有实数根。
以上教学设计让学生经历由简单到复杂的研究过程，对于一元二次方程的解有全面了解；
通过对方程ax2+c=0（a≠0）解的情况的讨论，体会分类的思想；
最后设计的几个过程，让学生判断、求解，体现了“换元”的思想方法。
例1课本例2
在讲解例1时注意：
1、对于形如“（x－a）2=b（b≥0）”型的方程，教科书给出的例子是解方程（x+3）2=2。
这时，只要把x+3看作一个整体，就可以转化为x2=b（b≥0）型的方法去解决，这里渗透了“换元”的方法。
2、在对方程（x+3）2=2两边同时开平方后，原方程就转化为两个一次方程。
要向学生指出，这种变形实质上是将原方程“降次”。
“降次”也是一种数学方法
例2不解方程，说出下列方程根的情况：
（1）1－3x2=2x2；
（2）－4x2+1=0；
（3）－0.5x2－2=0.
（通过训练，使学生明确一元二次方程的解有三种情况）
例2解下列方程：
（1）（1－x）2=1；
（2）（1+x）2－2=0；
（3）（2x+1）2+3=0；
（4）x2－2x+1=4.
（渗透换元思想训练）
教科书第8页练习
1、直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：
x2=b（b≥0）；
（x－a）2=b（b≥0）。
解法的根据是平方根的定义。
要特别注意，由于负数没有平方根，所以上述两式中规定了b≥0。
当b﹤0时，方程无解。
2、求解形如x2=b（b≥0）的方程，实质上是“求一个数x，使它的平方是b”，所以用“直接开平方法”；
对于形如（x－a）2=b（b≥0）的方程，只要把x+a看作一个整体X，就可转化为x2=b（b≥0）的形式，这就是“换元”的方法
习题1A组第1题
补充题：
一、选择题（每题9分，共18分）
将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后的括号内。
1、解是x=的方程是（）
A、x2+2=0B、x2-2=0C、x-2=0D、（4x）2=2
2、若方程（x-4）2=m-6可用直接开平方法解，则m的取值范围是（）
A、m>
6B、m≥0C、m≥6D、m=6
二、填空题（每题9分，共18分）
1、若x=2是方程a2x2-x+1=0的一个解，则a的值是_________.
2、方程（x+2）2=8的根是______________.
三、用直接开平方法解下列方程（每题8分，共64分）
1、3x2-27=02、x2-3、（2x+5）（2x-5）=144
4、2（x-2）2=505、（3x-1）2=6、
7、3（8、（a-x）2=a2+1
第2课时直接开平方法
20年月日第周星期总第课时
第3课时因式分解法
1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
3、进一步让学生体会“降次”化归的思想。
掌握用因式分解法解某些一元二次方程。
用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程。
（一）复习引入
1、提问：
（1）解一元二次方程的基本思路是什么？
（2）现在我们已有了哪几种将一元二次方程“降次”为一元一次方程的方法?
2、用两种方法解方程：
9（1-3x）2=25
（二）创设情境
说明：
可用因式分解法或直接开平方法解此方程。
解得x1=，x2=-。
1、说一说：
因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程。
归纳结论：
因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、想一想：
展示课本1．1节问题二中的方程0.01t2-2t=0，这个方程能用因式分解法解吗?
（三）探究新知
引导学生探索用因式分解法解方程0.01t2-2t=0，解答课本1．1节问题二。
把方程左边因式分解，得t（0.01t-2）=0，由此得出t=0或0.01t-2=0
解得tl=0，t2=200。
t1=0表明小明与小亮第一次相遇；
t2=200表明经过200s小明与小亮再次相遇。
（四）讲解例题
1、展示课本P．8例3。
按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程。
2、让学生讨论P．9“说一说”栏目中的问题。
要使学生明确：
解方程时不能把方程两边都同除以一个含未知数的式子，若方程两边同除以含未知数的式子，可能使方程漏根。
3、展示课本P．9例4。
让学生自己尝试着解，然后看书上的解答，交换批改，并说一说在解题时应注意什么。
（五）应用新知
课本P．10，练习。
（六）课堂小结
1、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：
先把一个一元二次方程变形，使它的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，然后使每一个一次因式等于0，分别解这两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。
2、在解方程时，千万注意两边不能同时除以一个含有未知数的代数式，否则可能丢失方程的一个根。
（七）思考与拓展
用因式分解法解下列一元二次方程。
议一议：
对于含括号的守霜露次方程，应怎样适当变形，再用因式分解法解。
（1）2（3x-2）=（2-3x）（x+1）；
（2）（x-1）（x+3）=12。
[解]
（1）原方程可变形为2（3x-2）+（3x-2）（x+1）=0，
（3x-2）（x+3）=0，
3x-2=0，或x+3=0，
所以xl=，x2=-3
（2）去括号、整理得x2+2x-3=12，x2+2x-15=0，
（x+5）（x-3）=0，
x+5=0或x-3=0，
所以x1=-5，x2=3
先让学生动手解方程，然后交流自己的解题经验，教师引导学生归纳：
对于含括号的一元二次方程，若能把括号看成一个整体变形，把方程化成一边为0，另一边为两个一次式的积，就不用去括号，如上述
（1）；
否则先去括号，把方程整理成一般形式，再看是否能将左边分解成两个一次式的积，如上述
（2）。
（八）布置作业课本习题1．2中A组第2题。
第3课时因式分解法
（二）创设情境
（四）讲解例题
（八）布置作业
第4课时配方法
（一）
1、理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法。
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的方程。
1、a2±
2ab+b2=?
2、用两种方法解方程（x+3）2-5=0。
如何解方程x2+6x+4=0呢?
如何解方程x2+6x+4=0呢？
1、利用“复习引入”中的内容引导学生思考，得知：
反过来把方程x2+6x+4=0化成（x+3）2-5=0的形式，就可用前面所学的因式分解法或直接开平方法解。
2、怎样把方程x2+6x+4=0化成（x+3）2-5=0的形式呢？
让学生完成课本P．10的“做一做”并引导学生归纳：
当二次项系数为“1”时，只要在二次项和一次项之后加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．将方程一边化为0，另一边配方后就可以用因式分解法或直接开平方法解了，这样解一元二次方程的方法叫作配方法。
例1（课本P.11，例5）
[解]
（1）x2+2x-3（观察二次项系数是否为“l”）
=x2+2x+（在一次项和二次项之后加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使它与原式相等）
=（x+1）2-4。
（使含未知数的项在一个完全平方式里）
用同样的方法讲解
（2），让学生熟悉上述过程，进一步明确“配方”的意义。
例2引导学生完成P．11~P．12例6的填空。
（五）应用新知
1、课本P.12，练习。
2、学生相互交流解题经验。
（六）课堂小结
1、怎样将二次项系数为“1”的一元二次方程配方？
2、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？
（七）思考与拓展
解方程：
（1）x2-6x+10=0；
（2）x2+x+=0；
（3）x2-x-1=0。
说一说一元二次方程解的情况。
[解]
（1）将方程的左边配方，得（x-3）2+1=0，移项，得（x-3）2=-1，所以原方程无解。
（2）用配方法可解得x1=x2=-。
（3）用配方法可解得x1=，x2=
一元二次方程解的情况有三种：
无实数解，如方程
（1）；
有两个相等的实数解，如方程
（2）；
有两个不相等的实数解，如方程（3）。
（八）课后作业
课本习题1.2中A组第4题
（1）
（2）（3）。
第5课时配方法
（二）
1、理解用配方法解一元二次方程的基本步骤。
3、进一步体会化归的思想方法。
会用配方法解一元二次方程．
使一元二次方程中含未知数的项在一个完全平方式里。
1、用配方法解方程x2+x-1=0，学生练习后再完成课本P．13的“做一做”．
2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤是什么?
现在我们已经会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，而对于二次项系数不为1的一元二次方程能不能用配方法解?
怎样解这类方程：
2x2-4x-6=0
（三）探究新知
让学生议一议解方程2x2-4x-6=0的方法，然后总结得出：
对于二次项系数不为1的一元二次方程，可将方程两边同除以二次项的系数，把二次项系数化为1，然后按上一节课所学的方法来解。
让学生进一步体会化归的思想。
1、展示课本P．14例8，按课本方式讲解。
2、引导学生完成课本P．14例9的填空。
3、归纳用配方法解一元二次方程的基本步骤：
首先将方程化为二次项系数是1的一般形式；
其次加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里；
最后将配方后的一元二次方程用因式分解法或直接开平方法来解。
课本P．15，练习。
1、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么?
2、配方法是一种重要的数学方法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数，高中学习二次曲线时都要经常用到。
3、配方法是解一元二次方程的通法，但是由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少。
4、按图1—l的框图小结前面所学解
一元二次方程的算法。
不解方程，只通过配方判定下列方程解的
情况。
（1）4x2+4x+1=0；
（2）x2-2x-5=0；
（3）–x2+2x-5=0；
[解]把各方程分别配方得
（1）（x+）2=0；
（2）（x-1）2=6；
（3）（x-1）2=-4
由此可得方程
（1）有两个相等的实数根，方程
（2）有两个不相等的实数根，方程（3）没有实数根。
课本习题1.2中A组第3题的（4），选做B组第2，3题。
通过解答这三个问题，使学生能灵活运用“配方法”，并强化学生对一元二次方程解的三种情况的认识。
第6课时公式法
（一）
1、理解求根公式法与配方法的联系。
2、会用求根公式法解一元二次方程。
3、注意培养学生良好的运算习惯。
会运用求根公式法解一元二次方程。
由配方法导出一元二次方程的求根公式。
（一）创设情境
由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：
对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）使用这些步骤，然后求出解x的公式？
这样做了以后，我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解，取得一通百通的效果．
（二）探究新知
按课本P．16的方式引导学生，用配方法导出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-40c≥0时的求根公式为：
x=（b2-4ac≥0）。
并让学生知道，运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法叫公式法。
（三）讲解例题
1、展示课本P．16~P．17例10
（1），
（2），按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程，并提醒学生注意a，b，c的符号。
2、引导学生完成P．17例10（3）的填空，并提醒学生在确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式。
3、引导学生归纳用公式法解一元二次方程的基本步骤：
首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；
其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，再用求根公式求解。
（四）应用新知
课本P．18练习，第
（1）~（4）题。
（五）课堂小结
1、熟记一元二次方程的求根公式，并注意公式成立的条件：
a≠0，b2-4ac≥0。
2、熟悉用公式法解一元二次方程的基本步骤。
3、公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一元二次方程。
（六）布置作业
课本习题1．2中A组第4，6题。
第6课时公式法
（一）
（二）探究新知
（四）应用新知
第1章一元二次方程
20年月日第周星期总第8课时
第7课时公式法
（二）
1、会熟练运用求根公
升级会员 