数学文化及其应用Word下载.doc
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讲述数学之美有利于培养鉴赏力。
值得注意的是，在历史上，重大课题的选择与结果的评价，美学价值是一个重要的标准。
例如，正电子的猜想便是狄拉克从数学对称美的角度大胆预言出来的。
他唯一的根据就是从电子运动的方程得出正负两个解。
几年之后，这个预言得到了物理学家的证实。
狄拉克后来说：
“理论物理学家把数学美的要求当作信仰的行为，它没有什么使人非信不可的理由，但过去已经证明了这是有益的目标。
为什么把美看得这样重要？
因为人类的生存是按照美的原则来构建世界的。
发现美、认识美和运用美，这是人类生存的要求。
反过来，美又是人类进步的动力。
追求美的实质就是追求自然界的数学美。
人类一步一步地揭示自然界的数学规律，人类就越了解我们所处的宇宙的美。
希腊箴言说，美是真理的光辉。
因而追求美就是追求真。
英国诗人济慈写道：
美就是真，
真就是美—这就是
你所知道的，
和你应该知道的。
法国数学家阿达玛说：
“数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。
”可见，数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。
那么，什么是美呢？
美有两条标准：
一、一切绝妙的美都显示出奇异的均衡关系（培根），二、“美是各部分之间以及各部分与整体之间固有的和谐。
”（海森堡）。
这是科学和艺术共同追求的东西。
希尔伯特说：
“我们无比热爱的科学把我们团结在一起。
它像一座鲜花盛开的花园展现在我们眼前。
在这个花园熟悉的小道上，你可以悠闲地观赏，尽情地享受，不需费多大力气，与心领神会的伙伴一起更是如此。
但我们更喜欢寻找幽隐的小道，发现许多意想不到的令人愉快的美景；
当其中一条小道向我们显示出这一美景时，我们会共同欣赏它，我们的欢乐也达到尽善尽美的境地。
对美的追求起源于古代。
毕达哥拉斯发现，在相同张力作用下的弦，当它们的长度成简单的整数比时，飨曳⒊龅纳籼鹄词呛托车摹Ｕ腔谡庵秩鲜叮洗锔缋寡啥ǔ隽艘袈伞Ｋ潮阒赋觯夜诠糯惨酝姆绞饺范艘袈伞Ｕ馐侨死嗟谝淮稳妨⒘丝衫斫獾亩饔朊乐涞哪谠诹担侨死嗬飞弦桓稣嬲卮蟮姆⑾帧Ｅ６俚耐蛴幸剑蛩固沟闹誓茏还剑仁敲溃质钦妗?
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数学的美表现在什么地方呢？
表现在简单、对称、完备、统一和谐和奇异。
为什么我们这样重视美？
并把它作为数学发展的动力与价值标准的一个重要因素呢？
因为人们常常忽视它。
人们只重视实用方面、科学方面，而对于审美情趣、智力挑战、心灵的愉悦诸方面，要么不予承认，即使承认，也认为只不过是次要的因素。
但事实上，实用的、科学的、美学的和哲学的因素共同促进了数学的形成。
把这些作出贡献、产生影响的因素除去任何一个，或抬高一个而贬低另一个都是违反数学发展史的。
二、数学是什么
给数学下定义是一个困难的问题。
对任何事物下定义都遇到同样的困难。
因为很难在一个定义中把事物的一切重要属性都概括进去。
考虑全面性与历史发展，我们给数学下两个定义。
数学是数和形的学问。
数学是一棵参天大树。
它的根深深地扎在我们的现实世界。
它有两个主干，一曰形─几何，一曰数─代数。
这棵树是如此之古老，它已有上万年的历史；
这棵树是如此之长新，它年年都在发新枝；
这棵树是如此之繁茂，它已深入到自然科学与社会科学的一切领域；
这棵树是如此之奇特，它同根异干，同干异枝，同枝异叶，同叶异花，同花异果。
如果我们一辈子只停留在一个枝上，或只见一朵花，我们将永远见不到数学的多采和多姿。
见不到数学整体的宏伟和谐调。
我们先看数学大树的两大主干：
几何与代数。
几何：
空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉能力，培养洞察力；
代数：
数量关系的科学，有序思维占主导，培养逻辑推理能力。
记住，认不清几何与代数的基本特征，就是基本上没有学懂它们。
特别要注意到，这两者相辅相成。
没有直觉就没有发明，没有逻辑就没有证明。
借助直觉发明的命题，要借助逻辑加以证明。
庞加莱说：
“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇到任何障碍，但是它不能告诉我们哪一条路能引导我们达到目的地。
为此必须从远处了望目标，而数学教导我们，了望的本领是直觉。
”英国数学家阿蒂亚说：
“几何直觉乃是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。
”遗憾的是，在通常的数学教学中只讲逻辑而很少讲直觉。
如果只研究数与形，那是静态的，属于常量数学的范围。
所以只研究数与形是不够的，必须研究大小与形状是如何改变的。
这就产生了微积分。
它的延伸是，无穷级数，微分方程，微分几何等。
那么，什么是数学呢？
19世纪恩格斯给数学下了这样的定义：
“数学是关于空间形式和数量关系的科学。
恩格斯关于数学的定义是经典的，概括了当时数学的发展，即使在目前也概括了数学的绝大部分。
但是在19世纪末，数理逻辑诞生了。
在数理逻辑中既没有数也没有形，很难归入恩格斯的定义。
于是人们又考虑数学的新定义
数学是关于模式和秩序的科学。
我们生活在一个由诸多模式组成的世界中：
春有花开，夏有惊雷，秋收冬藏，一年四季往复循环；
球形的雨从云中飘落；
繁星夜夜周而复始地从天空中划过；
世界上没有两片完全相同的雪花，但所有的雪花都是六角形的。
人类的心智和文化为模式的识别、分类和利用建立了一套规范化的思想体系，它就是数学。
通过数学建立模式可以使知识条理化，并揭示自然界的奥秘。
模式和秩序的科学都是数学吗？
物理学，力学似乎也符合这个定义，所以需要作出某些界定。
物理学的基本元素：
基本粒子。
生物学的基本元素：
细胞。
数学呢？
数，形，机会，算法与变化。
数学的处理对象分成三组：
数据，测量，观察资料；
推断，演绎，证明：
自然现象，人类行为，社会系统的各种模式。
数学提供了有特色的思考方式：
抽象化：
选出为许多不同的现象所共有的性质来进行专门研究：
符号化：
把自然语言扩充，深化，而变为紧凑，简明的符号语言。
这是自然科学公有的思考方式，以数学为最。
公理化：
从前提，从数据，从图形，从不完全和不一致的原始资料进行推理。
归纳与演绎并用。
最优化：
考察所有的可能性，从中寻求最优解。
建立模型：
对现实现象进行分析。
从中找出数量关系，并化为数学问题。
应用这些思考方式的经验构成数学能力。
这是当今信息时代越来越重要的一种智力。
它使人们能批判地阅读，辨别谬误，摆脱偏见，估计风险。
数学能使我们更好地了解我们生活于其中的充满信息的世界。
三、数学的内容
大致说来，数学分为初等数学与高等数学两大部分。
初等数学中主要包含两部分：
几何学与代数学。
几何学是研究空间形式的学科，而代数学则是研究数量关系的学科。
初等数学基本上是常量的数学。
高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为限，它主要包含：
解析几何：
用代数方法研究几何，其中平面解析几何部分内容已放到中学。
线性代数：
研究如何解线性方法组及有关的问题。
高等代数：
研究方程式的求根问题。
微积分：
研究变速运动及曲边形的求积问题。
作为微积分的延伸，物理类各系还要讲授常微分方程与偏微分方程。
概率论与数理统计：
研究随机现象，依据数据进行推理。
所有这些学科构成高等数学的基础部分，在此基础上建立了高等数学的宏伟大厦。
四、数学的特点
数学区分于其它学科的明显特点有三个：
第一是它的抽象性，第二是它的精确性，第三是它的应用的极端广泛性。
从中学数学的学习过程中读者已经体会到数学的抽象性了。
数本身就是一个抽象概念，几何中的直线也是一个抽象概念，全部数学的概念都具有这一特征。
整数的概念，几何图形的概念都属于最原始的数学概念。
在原始概念的基础上又形成有理数、无理数、复数、函数、微分、积分、维空间以至无穷维空间这样一些抽象程度更高的概念。
但是需要指出，所有这些抽象度更高的概念，都有非常现实的背景。
不过，抽象不是数学独有的特性，任何一门科学都具有这一特性。
因此，单是数学概念的抽象性还不足以说尽数学抽象的特点。
数学抽象的特点在于：
第一，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其它一切；
第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的一般抽象；
第三，数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。
如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那么数学家证明定理只需用推理和计算。
这就是说，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的。
数学的精确性表现在数学定义的准确性、推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑与无可争辩性。
这点读者从中学数学就已很好的懂得了。
当然，数学的严格性不是绝对的，一成不变的，而是相对的，发展着的，这正体现了人类认识逐渐深化的过程。
数学应用的极其广泛性也是它的特点之一。
正像已故著名数学家华罗庚教授曾指出的，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是出现”量”的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学。
数学之为用贯穿到一切科学部门的深处，而成为它们的得力助手与工具，缺少了它就不能准确地刻画出客观事物的变化，更不能由已知数据推出其它数据，因而就减少了科学预见的可能性，或减弱了科学预见的精确度。
五、关于中等教育
为了为二十一世纪为我国培养一大批杰出的科学家，中学数学教育起着关键的作用。
以下几点应当受到注意：
1．将应试教育转为素养教育。
要培养学生善于思考，有独创精神，而不只是常于记忆，巧于应考。
这对我们民族的长远利益是极关重要的。
2．中学数学教育的中心应实现三个转变：
从具体数学到概念化数学的转变，发展符号意识；
从常量数学到变量数学的转变；
从直观描述到严格证明的转变，建立严密的逻辑思维意识。
3．向学生提供数学主流的核心部分，为微积分，统计学和计算机作好准备。
4．计算机教育应尽早进行。
计算机的出现必将改变中等教育的方式与内容。
首先，建立在计算机与人脑思维相结合之上的新教学法，将有利于培养学生的洞察力，理解力，以及数学直观。
其次，离散数学、图论、进位制系统、算法与函数迭代的部分内容也将进入中学数学。
科学和技术已经达到影响人类生活的所有方面的地步，数学也就成为教育议事日程上极其重要的问题。
数学是科学和技术的基础。
数学在决定国家的各级人才的实力方面起着日益重要的作用。
六、数学与人类文明
王国维在《人间词话》中说：
“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。
只知入乎其内，那是见木不见林，常常会迷失方向。
所以还要辅助以出乎其外，站出来作高瞻远瞩。
不站出来，就不知道数学的根在何处，不知道自己研究的最终目的与最终方向是什么。
不站出来，就看不到数学与别的学科的密切联系与相互影响。
不站出来，就看不到数学对人类文明的巨大贡献。
整个人类文明的历史就像长江的波浪一样，一浪高过一浪，滚滚向前。
科学巨人们站在时代的潮头，以他们的勇气、智慧和勤奋把人类的文明从一个高潮推向另一个高潮。
我们认为，整个人类文明可以分为三个鲜明的层次：
（1）以锄头为代表的农耕文明；
（2）以大机器流水线作业为代表的工业文明；
（3）以计算机为代表的信息文明。
数学在这三个文明中都是深层次的动力。
其作用一次比一次明显。
数学在人类文明中一直是一种主要的文化力量。
它不仅在科学推理中具有重要的价值，在科学研究中起着核心的作用，在工程设计中必不可少。
而且，数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和构造了诸多宗教教义，为政治学和经济学提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学。
数学为我们回答人与宇宙的根本关系的问题提供了最好的答案。
作为理性的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，并取而代之，成为其思想和行动的指南。
这里，还需要指出，数学文化包含两个方面。
一是作为人类文化子系统的数学，它自身的发生、发展的规律，以及它自身的结构；
一是它与其它文化的关系，与整个人类文明的关系。
今天报告希望兼顾两个方面，但重点放在第二个方面。
我们必须认识到，数学对人类文化的影响有这样一些特点：
由小到大，由弱到强，由少到多，由隐到显，由自然科学到社会科学。
简而言之，今天我们要唱一曲数学的赞歌，赞美数学思想的博大精深，赞美由数学文化引出的理性精神，以及在理性精神的指导下，人类文明的蓬勃发展。
1．古希腊的数学。
古希腊人最了不起的贡献是，他们认识到，数学在人类文明中的基础作用。
这可以用毕达哥拉斯的一句话来概括：
自然数是万物之母。
毕达哥拉斯学派研究数学的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理。
他们对周围世界作了周密的观察，发现了数与几何图形的关系，数与音乐的和谐，他们还发现数与天体的运行都有密切关系。
他们把整个学习过程分成四大部分：
（1）数的绝对理论—算术；
（2）静止的量—几何；
（3）运动的量—天文；
（4）数的应用—音乐。
合起来称为四艺。
他们得到结论：
宇宙中的一切现象都以某种方式依赖于整数。
但是当他们利用毕达哥拉斯定理发现不能表示为两个整数的比，即，不是有理数时，受到了极大的震动。
这就爆发了第一次数学危机。
数学基础的第一次危机是数学史上的一个里程碑，它的产生与克服都具有重要的意义。
第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：
证明进入了数学，数学已由经验科学变为演绎科学。
中国，埃及，巴比伦，印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学，即算术的阶段。
希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的”几何原本”与亚里士多得的逻辑体系，而成为现代科学的始祖。
2．欧几里得的“几何原本”。
欧几里得（Euclid，约公元前330－前275）的“几何原本”的出现是数学史上的一个伟大的里程碑。
从它刚问世起就受到人们的高度重视。
在西方世界除了“圣经”以外没有其它著作的作用、研究、印行之广泛能与“几何原本”相比。
自1482年第一个印刷本出版以后，至今已有一千多种版本。
在我国，明朝时期意大利传教士利玛窦与我国的徐光启合译前6卷，于1607年出版。
中译本书名为“几何原本”。
徐光启曾对这部著作给以高度评价。
他说：
“此书有四不必：
不必疑，不必揣，不必试，不必改。
有四不可得：
欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。
有三至三能：
似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；
似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；
似至难，实至易，故能以其易易他物之至难。
易生于简，简生于明，综其妙在明而已。
”“几何原本”的传入对我国数学界影响颇大。
欧几里得的“几何原本”称为数学家的圣经，在数学史，乃至人类科学史上具有无与伦比的崇高地位。
它在数学上的主要贡献是什么呢？
（1）成功地将零散的数学理论编为一个从基本假定到最复杂结论的整体结构。
（2）对命题作了公理化演绎。
从定义，公理，公设出发建立了几何学的逻辑体系，成为其后所有数学的范本。
（3）几个世纪以来，已成为训练逻辑推理的最有力的教育手段。
（4）演绎的思考首先出现在几何学中，而不是在代数学中，使几何具有更加重要的地位。
这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。
我们还应当注意到，它的影响远远地超出了数学以外，而对整个人类文明都带来了巨大影响。
它对人类的贡献不仅仅在于产生了一些有用的、美妙的定理，更重要的是它孕育了一种理性精神。
人类的任何其它创造都不可能像欧几里德的几百条证明那样，显示出这么多的知识都仅仅是靠几条公理推导出来的。
这些大量深奥的演绎结果使得希腊人和以后的文明了解到理性的力量，从而增强了他们利用这种才能获得成功的信心。
受到这一成就的鼓舞，人们把理性运用于其它领域。
神学家、逻辑学家、哲学家、政治家、和所有真理的追求者都纷纷仿效欧几里德的模式，来建立他们自己的理论。
此外欧氏几何的重要性还表现在它的美学价值。
随着几何学美妙结构和精确推理的发展，数学变成了一门艺术。
3．希腊文化小结。
古希腊的文化大约从公元前600年延续到公元前300年。
古希腊数学家强调严密的推理以及由此得出的结论。
他们所关心的并不是这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象推理，激发人们对理想与美的追求。
因此，这个时代产生了后世很难超越的优美文学，极端理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕刻。
那位断臂美人—米洛的维纳斯（公元前4世纪）是那个时代最好的代表，是至善至美象征。
正是由于数学文化的发展，使得希腊社会具有现代社会的一切胚胎。
希腊文化给人类文明留下了什么样的珍贵遗产呢？
它留给后人四件宝。
第一，它留给我们一个坚强的信念：
自然数是万物之母，即宇宙规律的核心是数学。
这个信念鼓舞人们将宇宙间一切现象的终极原因找出来，并将它数量化。
第二，它孕育了一种理性精神，这种精神现在已经渗透的人类知识的一切领域。
第三，它给出一个样板—欧几里得几何。
这个样板的光辉照亮了人类文化的每个角落。
第四，它研究了圆锥曲线，为日后天文学的研究奠定了基础。
但是，令人痛惜的是，罗马士兵一刀杀死了阿基米德这个科学巨人。
这就宣布了一个光辉时代的结束。
怀特海对此评论道：
“阿基米德死于罗马士兵之手是世界巨变的象征。
务实的罗马人取代了爱好理论的希腊人，领导了欧洲……罗马人是一个伟大的民族。
但是受到了这样的批评：
讲求实效，而无建树。
他们没有改进祖先的知识，他们的进步只限于工程上的技术细节。
他们没有梦想，得不出新观点，因而不能对自然的力量得到新的控制。
此后是千余年的停滞。
4．欧几里得几何的影响。
欧几里得几何是推理的典范，其特点是，以简驭繁，以少胜多。
这本书成为后人模仿的样板。
我们来举几个典型的例子。
阿基米德不是通过用重物作实验，而是按欧几里得的方式，从“相等的重物在离支点相等距离处处于平衡”这一公设出发证明了杠杆定律。
牛顿称著名的三定律为“公理或运动定律”。
从三定律和万有引力定律出发，建立了他的力学体系。
他的《自然哲学的数学原理》具有欧几里得式的结构。
在马尔萨斯1789年的《人口论》中，我们可以找到另一个例子。
马尔萨斯接受了欧几里得的演绎模型。
他把下面两个公设作为他的人口学的出发点：
人需要食品；
人需要繁衍后代。
他接着从对人口增长和食品供求增长的分析中建立了他的数学模型。
这个模型简洁，有说服力，对各国的人口政策有巨大影响。
令人惊奇的是，欧几里得的模式还推广到了政治学。
美国的《独立宣言》是一个著名的例子。
独立宣言是为了证明反抗大英帝国的完全合理性而撰写的。
美国第三任总统杰斐逊（1743－1826）是这个宣言的主要起草人。
他试图借助欧几里得的模型使人们对宣言的公正性和合理性深信不疑。
”我们认为这些真理是不证自明的…”不仅所有的直角都相等，而且”所有的人生来都平等”。
这些自明的真理包括，如果任何一届政府不服从这些先决条件，那么”人民就有权更换或废除它”。
宣言主要部分的开头讲，英国国王乔治的政府没有满足上述条件。
”因此，……我们宣布，这些联合起来的殖民地是，而且按正当权力应该是，自由的和独立的国家。
”我们顺便指出，杰斐逊爱好文学、数学、自然科学和建筑艺术。
相对论的诞生是另一个光辉的例子。
相对论的公理只有两条
（1）相对性原理，任何自然定律对于一切直线运动的观测系统都有相同的形式；
（2）光速不变原理，对于一切惯性系，光在真空中都以确定的速度传播。
爱因斯坦就是在这两条公理的基础上建立了他的相对论。
关于建立一个理论体系，爱因斯坦认为科学家的工作可以分为两步。
第一步是发现公理，第二步是从公理推出结论。
哪一步更难呢？
他认为，如果研究人员在学校里已经得到很好的基本理论、推理和数学的训练，那么他在第二步时，只要“相当勤奋和聪明，就一定能成功”。
至于第一步，即找出所需要的公理，则具有完全不同的性质，这里没有一般的方法。
爱因斯坦说：
“科学家必须在庞杂的经验事实中间抓住某些可用精密公式来表示的普遍特性，由此探求自然界的普遍原理。
5．选票分配问题。
选票分配问题属于民主政治的范畴。
选票分配是否合理是选民最关心的热点问题。
这一问题早已引起西方政治家和数学家的关注，并进行了大量深入的研究。
那么，选票分配的基本原则是什么呢？
首先是公平合理。
要做到公平合理，一个简单的办法是，选票按人数比例分配。
但是会出现这样的问题：
人数的比例常常不是整数。
怎么办？
一个简单的办法是四舍五入。
四舍五入的结果可能会出现名额多余，或名额不足的情况。
因为有这个缺点，美国乔治·
华盛顿时代的财政部长亚历山大·
汉密尔顿在1790年提出一个解决名额分配的办法，并于1792年为美国国会所通过。
美国国会的议员是按州分配。
假定美国的人口数是，各州的人口数分别是。
再假定议员的总数是。
记
称它为第i个州分配的份额。
汉密尔顿方法的具体操作如下：
（1）取各州份额的整数部分，让第i个州先拥有个议员。
（2）然后考虑各个的小数部分，按从大到小的顺序将余下的名额分配给相应的州，直到名额分配完为止。
汉密尔顿方法看起来十分合理，但是仍存在问题。
按照常规，假定各州的人口比例不变，议员名额的总数由于某种原因而增加的话，那么各州的议员名额数或者不变，或者增加，至少不应该减少。
可是汉密尔顿方法却不能满足这一常规。
1880年，亚拉巴马州曾面临这种状况。
人们把汉密尔顿方法产生的这一矛盾叫作亚拉巴马悖论。
汉密尔顿方法侵犯了亚拉巴马州的利益。
其后，1890年，1900年人口普查后，缅因州和克罗拉多州也极力反对汉密尔顿方法。
所以，从1880年起，美国国会就针对汉
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