四年级奥数数列规律总汇.docx
《四年级奥数数列规律总汇.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四年级奥数数列规律总汇.docx（49页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
四年级奥数数列规律总汇
寻找常见数列的排列规律可以从以下三个方面入手：
一、仔细观察数据的特征（对于一些特殊数要有一定的积累，如平方数、立方数），根据数据特征极其相互之间的关系找规律。
二、对数列中相邻两个数作差或相除，根据差和商的情况找规律。
三、统筹考虑数列中相邻的三、四个数，根据它们之间的关系找规律。
《奥赛天天练》第1讲，模仿训练，练习2
【题目】：
按规律在“？
”处填数。
【解析】：
第
（1）小题，仔细观察前三幅图，通过计算可找到规律：
上格的数字与左下格数字之差的2倍就是右下格数字，如第一幅图中：
（8-6）×2=4。
所以第四幅图中“？
”处的数字为：
（13-6）×2=14；第五幅图中“？
”处的数字为：
32-（24÷2）=20。
第
（2）小题，仔细观察前两幅图，通过计算可找到规律：
中间方格中的数字就等于左、上、右方三角形中三个数字连乘的积，如第一幅图中：
1×4×5=20。
所以第三幅图中“？
”处的数字为：
3×5×2=30；第四幅图中“？
”处的数字为：
56÷（7×8）=1。
《奥赛天天练》第1讲，巩固训练，习题2
【题目】：
将8个数从左到右排成一行，从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数的和。
如果第7个数和第8个数分别是81，131，那么第一个数是多少？
【解析】：
根据题意列出数列（未知数字用方框代替）：
□、□、□、□、□、□、81、131……
“从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数的和”，倒过来可以推出，这个数列中每个数等于这个数后面两个数的差。
如：
第8个数等于第7个数与第6个数的和，则第6个数就等于第8个数与第7个数的差，可求出第6个数为：
131-81=50。
依次倒推，可求出前面5个数。
第5个数为：
81-50=31；
第4个数为：
50-31=19；
第3个数为：
31-19=11；
第2个数为：
19-11=8；
第1个数为：
11-8=3。
四年级奥数解析
（二）找规律巧填数（下）
《奥赛天天练》第1讲，拓展提高，习题1
【题目】：
从下边表格中各数列的规律可以看出：
（1）“☆”代表＿，“△”代表＿；
（2）81排在第＿行第＿列。
【解析】：
观察表格寻找规律，一般包括三个观察方向：
横着看、竖着看、斜着看。
不难看出这个表格中的数字都是奇数，从左上角开始，沿着右上到左下的方向从小到大依次斜向排列。
解法一：
简单枚举。
按照表格中的数字的排列规律，填出表格中所有空格里的数字，则题中的问题必然迎刃而解。
解法二：
探索规律。
依次从表格中不同的方向观察，寻找规律。
从表格的第一行横着看，这是个递增数列，后面的数依次比前一个数大：
2、4、6……。
所以，“△”代表的数为：
31+12+14=57；
从表格第一列竖着看，这也是个递增数列，后面的数依次比前一个数大：
4、6、8、10……。
所以，“☆”代表的数为：
29+12+14+16=71；
从表格的左上角向右下角斜看，看到的数列是：
1、9、25……。
这个数列的前三项依次是1的平方、3的平方、5的平方……，按照这个规律排下去，81是9的平方应该是第5项，排在表格的第5行第5列。
解法二比解法一更有效。
《奥赛天天练》第1讲，拓展提高，习题2
【题目】：
在1，2两数之间，第一次写上3；第二次在1，3之间和3，2之间分别写上4，5，得到：
14352
以后每一次都在已写上的两个相邻数之间，再写上这两个相邻数之和。
这样的过程共重复了8次，那么所有数的和是多少？
【解析】：
解法一：
简单枚举。
按照规定的要求重复8次相同的操作，写出8次重复操作后的所有数字。
起始数列：
1、2；
第1次后：
1、3、2；
第2次后：
1、4、3、5、2；
第3次后：
1、5、4、7、3、8、5、7、2；
第4次后：
1、6、5、9、4、11、7、10、3、11、8、13、5、12、7、9、2；
第5次后：
1、7、6、11、5、14、9、13、4、15、11、18、7、17、10、13、3、14、11、19、8、21、13、18、5、17、12、19、7、16、9、11、2；
……
再求出第8次后，所有数的和（略）。
重复次数少，题目简单，这种解法比较适合。
当重复次数增加到一定的程度，这种解法非常繁琐，很容易错，人力甚至无法计算。
解法二：
探索规律。
从简单的情况开始，依次列出每次操作后所有数的和，再寻找规律，并按规律求解。
起始值：
1+2=3；
第1次后，数字总和：
3+3=6；
第2次后，数字总和：
6+4+5=15；
第3次后，数字总和：
15+5+7+8+7=42；
……
起始值和前面三次计算后得到的和依次是：
3、6、15、42……，这是个递增数列，从第二项（第1次操作后的总和）开始，后面的数依次比前一个数多：
3、32、33……，按照这个规律，8次重复操作后的所有数之和为：
3+3+32+33+34+35+36+37+38=3+3+9+27+81+243+729+2187+6561=9843。
上面这道算式也可以用数列求和公式求解，不过四年级孩子只能通过先乘后加进行计算了。
本题答案就是斐波那契数列的一部分。
四年级奥数解析（三）算式谜（上）
《奥赛天天练》第2讲《破译算式谜》、第3讲《文字算式谜》，分别学习乘、除法竖式算式谜和文字算式谜。
算式谜又被称为“虫食算”，意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系，通过推理判定被吃掉的数字，把算式还原。
“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用□、△、☆等图形符号或字母表示。
文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字，相同的数字或字母表示同一个数字。
文字算式谜也是最难的一种算式谜。
简单算式谜的解法，在三年级奥数课堂已有说明，请查阅：
user3/4092/archives/2008/53612.shtml
本册奥数教材介绍的算式谜，是三年级奥数的继续和延伸。
解答算式谜最关键的一步是找准“突破口”，即：
认真分析算式中所包含的数量关系，尽可能找出所有的隐藏条件，选择有典型特征的部分作出局部判断。
再由局部的突破，利用算式中的数量关系，通过推理逐步还原整个算式。
其次，通过题中的已知数字和数量关系，有时只能判断出算式谜中部分数字的取值范围，这时可采用列举、尝试和筛选相结合的方法，逐步排除不合题意的数字，找到正确的答案。
最后，算式谜解出后，一定要验算一遍。
算式谜的解题步骤比较复杂，解题思路表达出来也很繁琐，但解题过程中有许多步骤可以适当地运用口算、心算和估算来解决，只要掌握了解题策略，大多数的算式谜都可以引刃而解。
《奥赛天天练》第2讲，模仿训练，练习2
【题目】：
在下面算式的□内填入适当的数字，使算式成立。
【解析】：
为了便于叙述，我们将方格里的数字用字母代替（不同字母表示不同位置的数字，有可能是相同的数字），如下面算式：
因为两位数AB和3的积是七十多，所以AB可能是24、25或26。
又因为AB与C的积是一百多，且个位上数字是0，所以：
（1）当AB是24或26时，C只能等于5。
用24和5代替AB和C，通过计算可得使原式成立的一组答案：
A=2；B=4；C=5；D=4；E=2；F=2；G=2。
用26和5代替AB和C，通过计算可知这组数字不合题意。
（2）当AB是25时，C可能是4或6。
用25和4代替AB和C，通过计算可得使原式成立的第二组答案：
A=2；B=5；C=4；D=5；E=5；F=0；G=0。
用25和6代替AB和C，通过计算可知这组数字不合题意。
所以，这道算式谜共有两组解，分别是：
840÷24=35；850÷25=34。
《奥赛天天练》第2讲，拓展提高，习题1
【题目】：
在下面的□中填入合适的数字。
【解析】：
为了便于叙述，我们将方格里的数字用字母代替，如下面算式：
第
（1）题推理过程：
①因为A1B和3的积是四位数H2J5,个位上数字为5，所以B肯定是5；
②因为A1B和3的积是四位数H2J5，A1B和2的积是三位数D3E,所以A肯定是4；
③由①、②可知算式中第一个乘数是415，415乘以C的积是四位数3F2G,即三千多，所以C肯定是8。
把A=4、B=5、C=8带入原式，可以求出其余方框里的数字，这个算式谜的答案为：
415×382=158530。
第
（2）题推理过程：
①由倒数第二步，四位数PSTR减去三位数JM4,余数为两位数4Y，可知P是1，S等于0，J等于9。
②由最后一步4YZ减去NWX余数为0，可得N是4，即E乘以A4B积是四百多，只能有两种可能：
A等于1，E等于3，或A等于2，E等于2；
③把A等于1，E等于3，P是1，S等于0，J等于9，N等于4带入算式，尝试计算。
D乘以三位数A4B积为三位数JM4,综合①、②步得到的信息，即D乘以一百四十多，积为九百多且个位数字为4，所以D只能是7，B只能是2。
因为三位数A4B乘以C积是三位数LK4,即142乘以C积是三位数LK4,C只能等于2。
把除数142和商273带入原式求出题中其余方框里的数字，可得这一题的一个解：
38766÷142=273。
④把A等于2，E等于2，P是1，S等于0，J等于9，N等于4带入算式，尝试计算。
因为D乘以三位数A4B，积是三位数JM4，即D乘以三位数24B，积是九百多且个位数字为4，所以D肯定是4，B等于1或6。
当B等于1时，C乘以241等于三位数LK4，C只能等于4，算得三位数LK4就是964，三位数FGH减去九百多，不可能余一百多，不合题意。
同理可证，B等于6也不合题意。
所以这题只有一组解：
38766÷142=273。
《奥赛天天练》第2讲，拓展提高，习题1
【题目】：
某人洗衣服时，不小心把两个人卖同一种货的单据以及两人分钱的账单洗烂了。
经细心拼凑，只能回复成下面的样子，记帐时他还记得第一个人卖的这种货比第二个人多。
请根据这些条件回复此帐的本来面目。
【解析】：
这一题中四个算式是相互关联的，要综合考虑。
①
（1）式中两个一位数相加，货物总重量肯定是十几，十位上数字是1；
（2）式中每千克的价钱等于总价除以货物的总重量，所以货物总重量就是式中的除数，个位数字为7；所以两人所卖货物总重量为17千克。
②
（1）式中和为17，两个加数只能是8和9，因此第一个人卖出货物重量为9千克，第二个人卖出货物重量为8千克。
③（3）式中，第一个人的钱等于卖出货物的重量乘以每千克货物的价钱，因为货物重量是9千克乘以单价两位数，总价还是两位数，所以货物的单价只能是每千克10元或11元；结合
（2）式中的商即货物单价的个位数字不可能为0，所以货物的单价只能是11元。
④把两人卖出货物的重量、单价带入四个算式，可以求出其余方框中的数字，恢复此帐本来面目：
第一个人卖出货物9千克；第二个人卖出货物8千克；货物总重量为17千克；货物单价为11元；总价为187元；第一个人得99元；第二个人得88元。
注：
在解析中一些用文字或字母表示的多位数，在word上不好操作，书写不够规范，只能用文字说明，例如：
三位数JM4。
后面关于多位数的表示与此相同。
四年级奥数解析（四）算式谜（下）
《奥赛天天练》第3讲，巩固训练，习题1
【题目】：
下面算式中同一个汉字代表相同的数，不同的汉字代表不同的数。
问每个汉字各代表什么数？
（1）优优优优优优÷学=学习再学习；
（2）认认×真真=踏踏实实。
【解析】：
第
（1）题，由原式可得：
学习再学习
×学
————————
优优优优优优
从低位算起，“学”和第一个“习”相乘积的个位上数字是“优”，“学”和第二个“习”相乘积的个位上数字还是“优”，即：
“学”和第二个“习”相乘的前一步计算没有进位。
所以，两位数“学习”和“学”的积就是三位数“优优优”，“再”是0。
可以从“学”入手，列举出“学”可能取的值：
3、4、5、6、7、8、9，一一试算，筛选出符合题意的数字，也可以“优”入手列举出可能值，再筛选出答案。
通过计算可得本题只有一组解：
37037×3=111111。
第
（2）题，两位数“认认”和“真真”分别是11的“认”倍和“真”倍，四位数“踏踏实实”等于11乘以三位数“踏0实”，因此三位数“踏0实”肯定是11的倍数。
所以三位数“踏0实”与11的商是“认”和“真”的积，且“踏”与“实”的和为11（根据能被11整除的数的特征可知）。
列举出三位数“踏0实”可能的取值有：
209=11×19；308=11×28；407=11×37……
其中只有308符合题意，它与11的商28可以写成两个一位数4和7的积，其它各数与11的商都不合题意。
所以，此题有唯一一组解：
44×77=3388。
《奥赛天天练》第3讲，巩固训练，习题2
【题目】：
下式中不同的汉字代表不同的数字，“□”代表一个一位自然数。
你知道每个汉字各代表多少吗？
开放的中国盼奥运
×□
———————————————
盼盼盼盼盼盼盼盼盼
【解析】：
①这一题中第一个乘数是8个数字各不相同的八位数，积是9个相同的数字“盼”9个相同数字组成的九位数，唯有除以9才能得到8个数字各不相同的八位数商（只有除以9才有8个不同的余数，余数不重复才能保证商的数字各不相同），因此“□”代表的数字是9。
②本题的积是111111111的“盼”倍，其中：
111111111÷9=12345679，“盼”不可能是1，因为原式中第一个乘数里，“盼”不是排在最高位的，而是排在百位上。
“盼”依次取：
2、3、4、5、6、7、8，一一试算，可得“盼”等于7时符合题意，本题有唯一一组解：
86419753×7=777777777。
《奥赛天天练》第3讲，拓展提高，习题1
【题目】：
下面算式中“数”、“学”、“俱”、“乐”、“部”这五个汉字各应代表什么数字？
1数学俱乐部
×3
————————————
数学俱乐部1
【解析】：
①“部”和3的积的尾数为1，所以“部”代表数字7；
②把“部”是7带入算式计算，3乘7等于21，写1进2，3与“乐”的积加2所得结果的尾数为7（“部”是7），则3与“乐”的积的尾数为5，所以“乐”代表数字5；
③依此类推，可算出其它汉字代表的数字：
“数”代表数字4；“学”代表数字2；“俱”代表数字8。
《奥赛天天练》第3讲，拓展提高，习题2
【题目】：
下面的竖式中不同的字母代表0～9中不同的数字。
求出它们是竖式成立的值。
？
SEND
+MORE
———————
MONEY
【解析】：
①式中两个四位数相加和为五位数，所以和的最高位上数字M肯定表示数字1；
②从高位看起，M是1加上一位数S的和最大只能是10，如果前一位进一，则最大是11，所以O可能是0或1，M表示数字1，所以O只能代表数字0；
③把M、O表示的值带入算式，N不能等于0、1，O表示数字0，所以E和O的和就不可能进位，所以，只能是N比E大1，S表示数字9；
④N比E大1，且N与R的和的个位数字为E，R只能为9或8（前一位进1时，R可以是8），S已经表示数字9，所以R只能是8；
⑤排除题中已出现的数字，0～9中还剩下2、3、4、5、6、7六个数字，Y最小是2。
结合④的推理可知D和E的和最小满12，E比N小，所以E可取5或6,对应的N可能是6或7。
⑥试算。
当E等于6，N等于7时，不合题意。
当E等于5，N等于6时，可以推算出D等于7。
所以这一题有唯一一组解：
9567+1085=10652。
四年级奥数解析（五）等差数列（上）
《奥赛天天练》第4讲《等差数列》、第5讲《等差数列求和》，帮助孩子进一步认识等差数列，学会运用等差数列的几个公式解决简单的数学问题。
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
如果用an表示数列的第n项，用Sn表示数列前n项所有数的和，则有以下公式：
通项公式为：
an=a1+（n-1）d；
前n项求和公式：
Sn=n（a1+an）÷2；
项数公式：
项数＝（末项-首项）÷公差＋1；
所有项总和＝（首项＋末项）×项数÷2；
首项=总和×2÷项数-末项；
末项=总和×2÷项数-首项。
公差=（末项-首项）÷（项数-1）
辅导时，可以以最简单的自然数列为例，介绍等差数列中一些名词的含义，并利用具体数据，通过不完全归纳法，帮助孩子理解通项公式、项数公式和求和公式的推导过程，一定要在理解的基础上学会运用，切忌死记硬背。
以数列“1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”为例，帮助孩子理解求和公式的原理：
这是个等差数列，首项为1，末项为10，公差为1，共有10项。
数列和为：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10。
如果我们把这个数列重复一遍插入原数列中，就可以得到一个新的20项的数列：
“1、10、2、9、3、8、4、7、5、6、6、5、7、4、8、3、9、2、10、1”，这个数列的总和为：
（1+10）+（2+9）+（3+8）+（4+7）+（5+6）+（6+5）+（7+4）+（8+3）+（9+2）+（10+1）=（1+10）×10。
新数列的和是原数列的2倍，所以：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×10÷2。
把这个数列换成其它等差数列可以得到相同的验证：
数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；
《奥赛天天练》第4讲，巩固训练，习题2
【题目】：
一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高4厘米。
它从离地面10厘米处开始跳，如果把这一处称为小虫第一次落脚点，那么它的第100个落脚点正好是树梢，这棵树高多少厘米？
【解析】：
小虫子第一次落脚点的高度为10厘米，后面每一次的落脚点都比前一个落脚点高4厘米，所有落脚点的高度形成一个首项为10、公差为4的等差数列，第100个落脚点的高度就是这棵树高度为：
10+（100-1）×4=406（厘米）。
《奥赛天天练》第4讲，拓展提高，习题1
【题目】：
下面的算式是按一定规律排列的，那么，第100个算式的得数是多少？
4+2，5+8，6+14，7+20，……
【解析】：
这一列算式中，每个算式的第一个数都比后一个算式的第一个数少1，每个算式的第二个数都比后一个算式的第二个数少6，所以，后面算式的和总比前一个算式的和多：
1+6=7，所有算式的和组成了一个公差为7的等差数列。
首项即第一个算式的和为：
4+2=6，则第100个算式的得数是：
6+（100-1）×7=699。
《奥赛天天练》第4讲，拓展提高，习题2
【题目】：
在124和245之间插入10个数以后，使它成为一个等差数列。
这10个数中，最小的是几？
最大的是几？
【解析】：
由题意可得这个等差数列首项为124，末项为245，项数为12。
所以这个数列的公差为：
（245-124）÷（12-1）=11
则插入的10个数中，最小的是：
124+11=135；
插入的10个数中，最大的是：
245-11=234。
四年级奥数解析（六）等差数列（下）
《奥赛天天练》第5讲，模仿训练，练习2
【题目】：
一辆双层公共汽车有78个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位乘客，第三站上三位乘客，依此类推，那么第几站以后车上坐满乘客？
【解析】：
每个站点上车乘客人数是个首项为1，公差为1的等差数列，坐满乘客即此前所有站点共上78位乘客，也就是这个数列的数列和。
解法一：
列举法。
从1开始依次加2、3、4、5、……，求和，直到和为78，可得：
1+2+3+……+12=78。
所以到第12站以后车上坐满乘客。
解法二：
利用求和公式推导。
由求和公式可得，（首项+末项）×项数=78×2=156，而由题意可知首项为1，末项等于项数，即首末两项和就等于项数加1。
再对156进行因数分解可得：
156=12×13。
所以这个数列的项数为12，即第12站以后车上坐满乘客。
四年级孩子对因数分解还不太熟，可以考虑第一种解法。
《奥赛天天练》第5讲，巩固训练，习题2
【题目】：
（1）2000-3-6-9-…-51-54；
（2）（2+4+6+…+96+98+100）-（1+3+5+…+95+97+99）。
【解析】：
（1）3、6、9、…、51、54，是个公差为3的等差数列，项数为：
（54-3）÷3+1=18。
根据减法的运算性质：
2000-3-6-9-…-51-54
=2000-（3+6+9+…+51+54）
=2000-（3+54）×18÷2
=2000-513
=1487
（2）解法一：
先分别求和，再求两个和的差。
（略）
解法二：
对应相减。
（2+4+6+…+96+98+100）-（1+3+5+…+95+97+99）
=（2-1）+（4-3）+（6-5）+…+（96-95）+（98-97）+（100-99）
=1+1+1+…+1+1+1（50个1相加）
=50
《奥赛天天练》第5讲，拓展提高，习题1
【题目】：
一本书的页码从1～62，共有62页。
小丽在把这本书所有页码数累加起来的时候，发现这本书有一张纸被撕掉了，她把其他页码加起来的和是1858。
问被撕掉的这张纸上的页码是多少？
【解析】：
书上任意一张纸都有两个相邻的页码，由题意得这本书少了两个相邻的页码，两个页码数应该是两个相邻的数字。
先求出1～62这62个页码数的和：
（1+62）×62÷2=1953，
则撕掉的两个页码数的和为：
1953-1858=95，
95=47+48，所以被撕掉的这张纸上的页码是47、48。
《奥赛天天练》第5讲，拓展提高，习题2
【题目】：
盒子里装着写有1，2，3，…，134，135的红色卡片各一张。
从盒中任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上的各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色卡片上放回盒内。
经过若干次这样的操作后，盒内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片。
已知这两张红色卡片上写的数分别是19和97，求那张黄色卡片上所写的数。
【解析】：
去掉剩下的两张红色卡片，摸出的所有红色卡片上数字之和为：
1+2+3+……+134+135-19-97=（1+135）×135÷2-19-97=9064。
每次“从盒中任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上的各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色卡片上放回盒内。
”即放回的黄色卡片上的数比每次摸出的数少了17的整数倍，所以，无论摸出多少次，盒中剩下来的数除以17的余数不变。
而且黄色卡片上的数字是余数（比17小）。
9064÷17=533……3，所以最后那张黄色卡片上数字为3
四年级奥数解析（七）平均数问题
《奥赛天天练》第6讲《平均数问题》。
平均数问题在三年级奥数课堂已经作了简单介绍，这个问题主要涉及到三个数量：
总数量、总份数、平均数，基本数量关系式为：
总数量÷总份数=平均数；
总数量÷平均数=总份数；
平均数×总份数=总数量。
这三个数量中，知道其中任意两个数量，就可以求出第三个数量。
解题的关键是弄清题意，找准题中什么数量是总数量，其对应的总份数及平均数各是什么数量，再运用对应的数量关系求解。
本讲介绍稍微复杂一点的平均数问题，即灵活运用上面的基本数量关系，解决一些变式问题。
《奥赛天天练》第6讲，模仿训练，练习1
【题目】：
求下列20个数的平均数：
4
升级会员 