运筹学离线作业.docx
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运筹学离线作业
浙江大学远程教育学院
《运筹学》课程作业
第2章
1．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，如下表所示。
问应如何安排生产使该工厂获利最多？
（建立模型，并用图解法求解）
产品1
产品2
可用的材料数
原材料A
原材料B
原材料C
1
3
0
2
2
2
30
60
24
单位产品获利
40万元
50万元
1.解：
：
设生产产品1为x件，生产产品2为y件时，使工厂获利最多
产品利润为P（万元）
则P=40x+50y
作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域：
由约束条件可知0ABCD所在的阴影部分，即为可行域
目标函数P=40x+50y是以P为参数，-
为斜率的一族平行线
y=-
x+
（图中红色虚线）
由上图可知，目标函数在经过C点的时候总利润P最大
即当目标函数与可行域交与C点时，函数值最大
即最优解C=（15，7.5），最优值P=40*15+50*7.5=975（万元）
答：
当公司安排生产产品1为15件，产品2为7.5件时使工厂获利最大。
2．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的两种原材料的消耗和人员需要及所获的利润，如下表所示。
问应如何安排生产使该工厂获利最多？
（建立模型，并用图解法求解）
产品1
产品2
可用的材料数
原材料A
原材料B
人时
1
0
3
0
2
2
4
12
24
单位产品获利
300万元
500万元
解：
设生产产品1为x件，生产产品2为y件时，使工厂获利最多
产品利润为P（万元）
则P=300x+500y
作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域：
由约束条件可知阴影部分，即为可行域
目标函数P=300x+500y是以P为参数，-
为斜率的一族平行线
y=-
x+
（图中红色虚线）
由上图可知，目标函数在经过A点的时候总利润P最大
即当目标函数与可行域交与A点时，函数值最大
即最优解A=（4，6），最优值P=300*4+500*6=4200（万元）
答：
当公司安排生产产品1为4件，产品2为6件时使工厂获利最大。
3.下表是一个线性规划模型的敏感性报告，根据其结果，回答下列问题：
1）是否愿意付出11元的加班费，让工人加班；
2）如果工人的劳动时间变为402小时，日利润怎样变化？
3）如果第二种家具的单位利润增加5元，生产计划如何变化？
MicrosoftExcel9.0敏感性报告
工作表[ex2-6.xls]Sheet1
报告的建立:
2001-8-611:
04:
02
可变单元格
终
递减
目标式
允许的
允许的
单元格
名字
值
成本
系数
增量
减量
$B$15
日产量（件）
100
20
60
1E+30
20
$C$15
日产量（件）
80
0
20
10
2.5
$D$15
日产量（件）
40
0
40
20
5.0
$E$15
日产量（件）
0
-2.0
30
2.0
1E+30
约束
终
阴影
约束
允许的
允许的
单元格
名字
值
价格
限制值
增量
减量
$G$6
劳动时间（小时/件）
400
8
400
25
100
$G$7
木材（单位/件）
600
4
600
200
50
$G$8
玻璃（单位/件）
800
0
1000
1E+30
200
解：
（1）由敏感性报告可知，劳动时间的影子价格为8元，即在劳动时间的增量不超过25小时的条件下，每增加1个小时劳动时间，该厂的利润（目标值）将增加8元，因此付出11元的加班费时，该厂的利润是亏损的。
所以不会愿意付出11元的加班费，让工人加班
（2）如果工人的劳动时间变为402小时时，比原先的减少了2个小时，该减少量在允许的减少量（100小时）内，所以劳动时间的影子价格不变，仍为8元。
因此，该厂的利润变为：
9200+（402-400）*8=9216元，即比原先日利润增加了16元。
（3）由敏感性报告可知，第二种家具的目标系数（即单位利润）允许的增量为10，即当第二种家具的单位利润增量不超过10的时候，最优解不变。
因此第二种家具的单位利润增加5元的时候，该增量在允许的增量范围内，这时，最优解不变。
四种家具的最优日产量分别为100件，80件，40件，0件。
生产计划不变。
4某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，如下表所示。
问应如何安排生产使该工厂获利最多？
（建立模型，并用图解法求解）（20分）
产品1
产品2
可用的材料数
原材料A
原材料B
原材料C
0.6
0.4
0
0.5
0.1
0.4
12000
4000
6000
单位产品获利
25元
10元
解：
设生产产品1为x件，生产产品2为y件时，使工厂获利最多
产品利润为P（元）
则P=25x+10y
作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域：
由约束条件可知阴影部分，即为可行域
目标函数P=25x+10y是以P为参数，-2.5为斜率的一族平行线
y=-2.5x+
（图中红色线）
由上图可知，目标函数在经过A点的时候总利润P最大
即当目标函数与可行域交与A点时，函数值最大
即最优解A=（6250，15000），最优值P=6250*25+15000*10=306250（元）
答：
当公司安排生产产品1为6250件，产品2为15000件时使工厂获利最大
5.线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种。
6.在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为4，则说明如果在该空格中增加一个运量，运费将增加4 。
7.“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解”，这句话对还是错？
错
第3章
1．一公司开发出一种新产品，希望通过广告推向市场。
它准备用电视、报刊两种广告形式。
这两种广告的情况见下表。
要求至少30万人看到广告，要求电视广告数不少于8个，至少16万人看到电视广告。
应如何选择广告组合，使总费用最小（建立好模型即可，不用求解）。
媒体
可达消费者数
单位广告成本
媒体可提供的广告数
电视
2.3
1500
15
报刊
1.5
450
25
解：
设电视广告为x个，报刊广告为y个时，总费用最小
则目标函数为：
P（mix）=1500x+450y
2．医院护士24小时值班，每次值班8小时。
不同时段需要的护士人数不等。
据统计：
序号
时段
最少人数
1
06—10
60
2
10—14
70
3
14—18
60
4
18—22
50
5
22—02
20
6
02—06
30
应如何安排值班，使护士需要量最小。
解：
设第1到第6班安排的护士人数分别是X1，X2，X3，X4，X5，X6。
MinX1+X2+X3+X4+X5+X6
X1+X2≥70
X2+X3≥60
X3+X4≥50
X4+X5≥20
X5+X6≥30
X6+X1≥60
第4章（本章不是重点，稍作理解即可）
1．对例4.5.1,如果三个工厂的供应量分别是:
150,200,80,两个用户的需求量不变.请重新建立模型,不需要求解.
2．已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。
销地
产地
B1
B2
B3
产量
A1
5
9
2
15
A2
3
1
7
11
A3
6
2
8
20
销量
18
12
16
解：
初始解为
B1
B2
B3
产量/t
A1
15
15
A2
11
11
A3
18
1
1
20
销量/t
18
12
16
计算检验数
B1
B2
B3
产量/t
A1
5
13
0
15
A2
－2
0
0
11
A3
0
0
0
20
销量/t
18
12
16
由于存在非基变量的检验数小于0，所以不是最优解，需调整
调整为：
B1
B2
B3
产量/t
A1
15
15
A2
11
11
A3
7
12
1
20
销量/t
18
12
16
重新计算检验数
B1
B2
B3
产量/t
A1
5
13
0
15
A2
0
2
2
11
A3
0
0
0
20
销量/t
18
12
16
所有的检验数都大于等于0，所以得到最优解
第5章
1．考虑4个新产品开发方案A、B、C、D，由于资金有限，不可能都开发。
要求A与B至少开发一个，C与D中至少开发一个，总的开发个数不超过三个，预算经费是30万，如何选择开发方案，使企业利润最大（建立模型即可）。
方案
开发成本
利润
A
12
50
B
8
46
C
19
67
D
15
61
解：
设新产品开发法方案A、B、C、D是否开发分别用X1，X2，X3，X4表示。
即当X1=1的时候表示A产品为开发；X1=0，表示A产品不开发。
建立数学模型：
o.b.MAX：
50X1+46X2+67X3+61X4
s.t.X1+X2≥1
X3+X4≥1
X1+X2+X3+X4≤3
12X1+8X2+19X3+15X4≤30
第9章
1．某厂考虑生产甲、乙两种产品，根据过去市场需求统计如下：
方案
自然状态
概率
旺季
0.3
淡季
0.2
正常
0.5
甲
乙
8
10
3
2
6
7
分别用乐观主义、悲观主义和最大期望值原则进行决策，应该选择哪种产品？
解：
（1）乐观决策选择乙，
甲（旺季）＜乙（旺季）
（2）悲观决策选择甲
甲（淡季）＞乙（淡季）
（3）最大期望原则决策选择乙
E（甲）=0.3*8+0.2*3+0.5*6=6
E（乙）=0.3*10+0.2*2+0.5*7=6.9
E（甲）＜E（乙）
答：
①乐观主义，即只考虑旺季状态：
甲方案市场需求=8＜乙方案市场需求=10
由此可见，在乐观主义原则下应选择乙方案。
②悲观主义，即只考虑淡季状态：
甲方案市场需求=3＞乙方案市场需求=2
由此可见，在悲观主义原则下应选择甲方案。
③最大期望值原则
甲方案最大期望值=0.3*8+0.2*3+0.5*6=6.0＜乙方案最大期望值=0.3*10+0.2*2+0.5*7=6.9
由此可见，在最大期望值原则下应选择乙方案。
2．某公司准备生产一种新产品，但该产品的市场前景不明朗。
公司一些领导认为应该是先做市场调查，以确定市场的大小，再决定是否投入生产和生产规模的大小，而另一些领导认为没有必要花钱与浪费时间进行市场调查，应立即投入生产。
根据估计，市场调查的成本是2000元，市场调查结果好的概率是0.6,而市场调查结果好时市场需求大的概率是0.8,市场调查结果不好时市场需求大的概率是0.3.在不同市场前景下,不同生产规模下企业的利润如下表.请你分析这个问题的决策过程，并通过建立概念模型（决策中的主要因素），用决策树方法辅助决策。
市场规模大
市场规模小
生产规模大
20000
-5000
生产规模小
10000
10000
进行市场调查的期望收益是11000,不做调查的期望收益是10000.因此,最优决策是先进行市场调查,然后在调查结果乐观时,选择大规模生产,调查结果悲观时选择小规模生产.
解：
这是一个两级决策的问题，刚开始的第一个决策是调查与否，第二个决策是在调查的情况下选择生产规模大小。
调查会产生2个结果，一个是市场乐观的结果一个事市场悲观的结果
市场乐观概率为0.6的情况下得到一个市场好的结果的概率是0.8，预计利润为20000元，市场坏的结果概率是0.2，利润为-5000元。
市场悲观概率为0.4的情况下得到一个市场好的结果的概率为0.3，预计利润为10000元，市场坏的结果概率为0.7，利润为10000元
不调查直接会产生2个可能，一个是生产规模大，一个事生产规模小
生产规模大时，市场规模大小概率我们假设各位0.5，其利润各位20000，-5000
生产规模小时，市场规模大小概率我们假设各位0.5，其利润各位10000，10000
不调查的期望值：
生产规模大20000*0.5+（-5000）*0.5=7500
生产规模小10000*0.5+10000*0.5=10000
7500＜10000选择生产规模小的
调查的期望值：
市场乐观时：
大规模生产：
20000*0.8+（-5000）*0.2=15000
小规模生产：
10000*0.8+10000*0.2=10000
15000＞10000选择大规模生产
市场悲观时：
大规模生产：
20000*0.3+（-5000）*0.7=2500
小规模生产：
10000*0.3+10000*0.7=10000
2500＜10000选择小规模生产
15000*0.6+10000*0.4=13000再减去调查成本2000，最后调查的期望值为11000
进行市场调查的期望收益是11000,不做调查的期望收益是10000.因此,最优决策是先进行市场调查,然后在调查结果乐观时,选择大规模生产,调查结果悲观时选择小规模生产.
公司生产问题的决策树
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