概率论与数理统计.docx

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概率论与数理统计

第一章随机事件及其概率

内容提要

1、随机试验、样本空间与随机事件

（1）随机试验：

具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为E.

1）试验可在相同的条件下重复进行；

2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果；

3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现.

（2）样本空间：

随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为e.

（3）随机事件：

在一次试验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件，常用A、B、C等大写字母表示；可表述为样本空间中样本点的某个集合，分为复合事件和简单事件，还有必然事件（记为）和不可能事件（记为）.

2、事件的关系与运算

（1）包含关系与相等：

“事件A发生必导致B发生”，记为或；且.

（2）和事件（并）：

“事件A与B至少有一个发生”，记为.

（3）积事件（交）：

“事件A与B同时发生”，记为或.

（4）差事件、对立事件（余事件）：

“事件A发生而B不发生”，记为A－B称为A与B的差事件；称为的对立事件；易知：

.

（5）互不相容性：

；互为对立事件且.

（6）事件的运算法则：

1）交换律：

，；

2）结合律：

，；

3）分配律：

，；

4）对偶（DeMorgan）律：

，，可推广.

3、频率与概率

（1）频率的定义：

事件在次重复试验中出现次，则比值称为事件在次重复试验中出现的频率，记为，即.

（2）统计概率：

当时，频率.当很大时，称为事件的统计概率.

（3）古典概率：

若试验的基本事件数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，则试验对应古典概型（等可能概型），事件发生的概率为：

.

（4）几何概率：

若试验基本事件数无限，随机点落在某区域g的概率与区域g的测度（长度、面积、体积等）成正比，而与其位置及形状无关，则试验对应几何概型，“在区域中随机地取一点落在区域g中”这一事件发生的概率为：

.

（5）概率的公理化定义：

设（）为可测空间，在事件域上定义一个实值函数，满足：

1）非负性：

，对任意；2）规范性：

；3）可列可加性：

若有一列，使得，则称为域上的概率测度，简称“概率”．

4、概率的基本性质

（1）不可能事件概率零：

＝0.

（2）有限可加性：

设是n个两两互不相容的事件，即＝，（），则有＝＋.

（3）单调不减性：

若事件BA，则P（B）P（A），且

P（B－A）＝P（B）－P（A）.（4）互补性：

P（）＝1－P（A），且P（A）1.（5）加法公式：

对任意两事件，有－；此性质可推广到任意n个事件的情形.

（6）可分性：

对任意两事件，有.

5、条件概率与乘法公式

（1）条件概率：

设是中的两个事件，即，则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．

（2）乘法公式：

设，则称为事件A、B的概率乘法公式.

6、全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式

（1）全概率公式：

设是的一个划分，且，，则对任何事件，有，称为全概率公式.

（2）贝叶斯（Bayes）公式：

设是的一个划分，且，则对任何事件，有，称为贝叶斯公式或逆概率公式.

7、事件的独立性

（1）两事件的独立：

设为一概率空间，事件，且，若，则称事件A与B相互独立；等价于：

.

（2）多个事件的独立：

设是n个事件，如果对任意的，任意的，具有等式，称n个事件相互独立．

8、贝努里（Bernoulli）概型

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Mr_Mas2008-12-1403:

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概率论与数理统计.课程手册

（1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为．也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常用表示，其中＝“成功”.

（2）把重复独立地进行n次，所得的试验称为n重贝努里试验，记为．

（3）把重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为．以上三种贝努里试验统称为贝努里概型．

（4）中成功次的概率是：

其中.

疑难分析

1、必然事件与不可能事件

必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下必然不发生的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把它们看作特殊的随机事件.

2、互逆事件与互斥事件

如果两个事件与必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则、为互逆事件；如果两个事件与不能同时发生，则、为互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：

当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的情形.作为互斥事件在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个.

3、两事件独立与两事件互斥

两事件、独立，则与中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关，这时；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发生，这两事件的发生是有影响的，

这时.可以用图形作一直观

解释.在图1.1左边的正方形中，

图1.1

，表示样本空间中两事件的独立关系，而在右边的正方形中，，表示样本空间中两事件的互斥关系.

4、条件概率与积事件概率

是在样本空间内，事件的概率，而是在试验增加了新条件发生后的缩减的样本空间中计算事件的概率.虽然、都发生，但两者是不同的，一般说来，当、同时发生时，常用，而在有包含关系或明确的主从关系时，用.如袋中有9个白球1个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求：

（1）第二次才取到白球的概率；

（2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题

（1）求的就是一个积事件概率的问题，而问题

（2）求的就是一个条件概率的问题.

5、全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式

当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，而该结果又不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑用全概率公式，在对样本空间进行划分时，一定要注意它必须满足的两个条件.贝叶斯公式用于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.

例题解析

【例1】写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点：

（1）掷一棵骰子，出现奇数点.

（2）投掷一枚均匀硬币两次：

1）第一次出现正面；2）两次出现同一面；3）至少有一次出现正面.

（3）在1，2，3，4四个数中可重复地抽取两个数，其中一个数是另一个数的两倍.

（4）将a,b两只球随机地放到3个盒子中去，第一个盒子中至少有一个球.

分析：

可对照集合的概念来理解样本空间和样本点：

样本空间可指全集，样本点是元素，事件则是包含在全集中的子集.

解:

（1）掷一棵骰子，有六种可能结果，如果用“1”表示“出现1点”这个样本点，其余类似.则样本空间为：

={1，2，3，4，5，6}，出现奇数点的事件为：

{1，3，5}.

（2）投掷一枚均匀硬币两次，其结果有四种可能，若用（正，反）表示“第一次出现正面，第二次出现反面”这一样本点，其余类似.则样本空间为：

={（正,正）,（正,反）,（反,正）,（反,反）}，用分别表示上述事件1）、2）、3），则事件={（正,正）,（正,反）}；事件={（正,正），（反,反）}；事件={（正,正）,（正,反）,（反,正）}.

（3）在1，2，3，4四个数中可重复地抽取两个数，共有种可

能，若用表示“第一次取数，第二次取数”这一样本点，则样本空间为：

={}；其中一个数是另一个数的两倍的事件为：

{（1,2）,（2,1）,（2,4）,（4,2）}.

（4）三个盒子分别记为甲、乙、丙，将a,b两只球随机地放到3个盒子中去共有九种结果.若用（甲、乙）表示“a球放入甲盒，b球放入乙盒”这一样本点，其余类似.则样本空间为：

={（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙，乙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙）}；第一个盒子中至少有一个球的事件为：

{（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（丙，甲）}.

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Mr_Mas2008-12-1403:

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【例2】设为三个事件，用的运算关系表示下列各事件：

（1）仅发生；

（2）与都发生，而不发生；

（3）所有三个事件都不发生；（4）至少有一个事件发生；

（5）至多有两个事件发生；（6）至少有两个事件发生；

（7）恰有两个事件发生；（8）恰有一个事件发生.

分析：

利用事件的运算关系及性质来描述事件.

解：

（1）；

（2）；（3）或；（4）或；（5）或；

（6）或；

（7）；（8）.

【例3】把个不同的球随机地放入个盒子中，求下列事件的概率：

（1）某指定的个盒子中各有一个球；

（2）任意个盒子中各有一个球；

（3）指定的某个盒子中恰有个球.

分析：

这是古典概率的一个典型问题，许多古典概率的计算问题都可归结为这一类型.每个球都有种放法，个球共有种不同的放法.“某指定的个盒子中各有一个球”相当于个球在个盒子中的全排列；与

（1）相比，

（2）相当于先在个盒子中选个盒子，再放球；（3）相当于先从个球中取个放入某指定的盒中，再把剩下的个球放入个盒中.

解：

样本空间中所含的样本点数为.

（1）该事件所含的样本点数是，故：

；

（2）在个盒子中选个盒子有种选法，故所求事件的概率为：

；

（3）从个球中取个有种选法，剩下的个球中的每一个球都有种放法，故所求事件的概率为：

.

【例4】随机地向由所围成的正方形内掷一点，点落在该正方形内任何区域的概率与区域面积成正比，求原点和该点的连线与轴正向的夹角小于的概率.

分析：

这是一个几何概率问题，通常可借助几何上的度量（长度、面积、体积或容积等）来合理地规定其概率.

解：

用表示该正方形的面积，表示

图1.2阴影部分面积，则所求的概率为：

.

【例5】设事件与互不相容，且，求下列事件的概率：

.

分析：

按概率的性质进行计算.

解：

与互不相容，所以，；

；由于与互不相容，这时，从而；由于，从而.

【例6】某住宅楼共有三个孩子，已知其中至少有一个是女孩，求至少有一个是男孩的概率（假设一个小孩为男或为女是等可能的）.

分析：

在已知“至少有一个是女孩”的条件下求“至少有一个是男孩”的概率，所以是条件概率问题.根据公式，必须求出.

解：

设={至少有一个女孩}，={至少有一个男孩}，则={三个全是男孩}，={三个全是女孩}，于是

，事件为“至少有一个女孩且至少有一个男孩”，因为，且，所以=

，从而，在已知至少有一个为女孩的条件下，求至少有一个是男孩的概率为：

.

【例7】某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据（表1-1）.

表1-1

元件制造厂次品率提供晶体管的份额

10.020.15

20.010.80

30.030.05

设这三家工厂的产品在仓库中均匀混合的，且无区别的标志.

（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率.

（2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少.试求这些概率.

分析：

事件“取出的一只晶体管是次品”可分解为下列三个事件的和：

“这只次品是一厂提供的”、“这只次品是二厂提供的”、“这只次品是三厂提供的”，这三个事件互不相容，可用全概率公式进行计算.一般地，当直接计算某一事件的概率比较困难，而比较容易计算，且时，可考虑用全概率公式计算.

（2）为条件概率，可用贝叶斯公式进行计算.

解：

设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”.易知，是样本空间的一个划分，且有=

.

（1）由全概率公式：

.

（2）由贝叶斯公式：

.以上结果表明，这只次品来自第二家工厂的可能性最大.

【例8】一名工人照看三台机床，已知在1小时内三台机床各自不需要工人照看的概率为.求1小时内三台机床至多有一台需要照看的概率.

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Mr_Mas2008-12-1403:

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分析：

每台机床是否需要照看是相互独立的，这样，可根据事件的独立性性质及加法公式进行计算.

解：

各台机床需要照看的事件是相互独立的，而三台机床至多有一台需要照看的事件可写成：

，则由加法公式与独立性性质得：

=0.902.

【例9】某车间有10台同类型的设备，每台设备的电动机功率为10千瓦.已知每台设备每小时实际开动12分钟，它们的使用是相互独立的.因某种原因，这天供电部门只能给车间提供50千瓦的电力.问该天这10台设备能正常运作的概率是多少？

分析：

由题意知，所要求的概率就是求“该天同时开动的设备不超过5台”这一事件的概率.因为每台设备的使用是相互独立的，且在某一时刻，设备只有开动与不开动两种情况，所以本题可视为10重贝努里试验，可用二项概率公式进行求解.

解：

设表示事件“设备开动”，表示“同时开动的设备数”，则由二项概率公式得：

，同时开动不超过5台的概率：

；

故该天这10台设备能正常运作的概率为0.994.

第二章随机变量及其分布

内容提要

1、随机变量

设是随机试验的样本空间，如果对于试验的每一个可能结果，都有唯一的实数与之对应，则称为定义在上的随机变量，简记为.随机变量通常用大写字母等表示.

2、分布函数及其性质

设为随机变量，为任意实数，函数称为随机变量的分布函数.

分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：

（1）；

（2）如果，则；

（3）为右连续，即；

（4）；

（5）.

3、离散型随机变量及其概率分布

如果随机变量只能取有限个或可列个可能值，则称为离散型随机变量.如果的一切可能值为，并且取的概率为，则称

为离散型随机变量的概率函数（概率分布或分布律）.列成表格形式，也称为分布列（表2-1）：

表2-1

…

…

其中.

常见的离散型随机变量的分布有：

（1）0-1分布，记为，概率函数；

（2）二项分布，记为，概率函数

；

（3）泊松分布，记为，概率函数

；

泊松定理设是一常数，是任意正整数，设，则对于任一固定的非负整数，有.

当很大且很小时，二项分布可以用泊松分布近似代替，即

，其中.

（4）超几何分布，记为，概率函数

，其中为正整数，且.

当很大，且较小时，有.]

（5）几何分布，记为，概率函数

.

4、连续型随机变量及其概率分布

如果对于随机变量的分布函数，存在非负函数，使对于任一实数，有，则称为连续型随机变量.函数

称为的概率密度函数.

概率密度函数具有以下性质：

（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）如果在处连续，则.

常见的连续型随机变量的分布有：

（1）均匀分布，记为，概率密度为

.相应的分布函数为；

（2）指数分布，记为，概率密度为

.相应的分布函数为；

（3）正态分布，记为，概率密度为

，相应的分布函数为；

当时，即时，称服从标准正态分布.这时分别用和表示的密度函数和分布函数，即.具有性质：

.

一般正态分布的分布函数与标准正态分布的分布函数有关系：

.

5、随机变量函数的分布

（1）离散型随机变量函数的分布

设为离散型随机变量，其分布列为（表2-2）：

表2-2

……

……

则任为离散型随机变量，其分布列为（表2-3）：

表2-3

……

……

有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加.

（2）连续型随机变量函数的分布

设为离散型随机变量，概率密度为，则的概率密度有两种方法可求.

1）定理法：

若在的取值区间内有连续导数，且单调时，是连续型随机变量，其概率密度为

.

其中是的反函数.

2）分布函数法：

先求的分布函数

，然后求.

疑难分析

1、随机变量与普通函数

随机变量是定义在随机试验的样本空间上，对试验的每一个可能结果，都有唯一的实数与之对应.从定义可知：

普通函数的取值是按一定法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间.

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Mr_Mas2008-12-1403:

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2、分布函数的连续性

定义左连续或右连续只是一种习惯.有的书籍定义分布函数左连续，但大多数书籍定义分布函数为右连续.左连续与右连续的区别在于计算时，点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于，则定义左连续或右连续时值就不相同，这时，就要注意对定义左连续还是右连续.

例题解析

【例1】分析下列函数是否是分布函数.若是分布函数，判断是哪类随机变量的分布函数.

（1）

（2）

（3）

分析：

可根据分布函数的定义及性质进行判断.

解：

（1）在上单调不减且右连续.同时，.故是随机变量的分布函数.有的图形可知是阶梯形曲线，故是离散型随机变量的分布函数；

（2）由于在上单调下降，故不是随机变量的分布函数.但只要将中的改为，就满足单调不减右连续，且，这时就是随机变量的分布函数.由可求得显然，是连续型随机变量的分布函数；

（3）在上单调不减且右连续，且，是随机变量的分布函数.但在和处不可导，故不存在密度函数，使得.同时，的图形也不是阶梯形曲线，因而既非连续型也非离散型随机变量的分布函数.

【例2】盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0、1、2、…、9.从中任取1个，观察号码是“小于5”、“等于5”、“大于5”的情况.试定义一个随机变量，求其分布律和分布函数.

分析：

“任取1球的号码”是随机变量，它随着试验的不同结果而取不同的值.根据号码是“小于5”、“等于5”、“大于5”的三种情况，可定义该随机变量的取值.进一步，可由随机变量的分布律与分布函数的定义，求出其分布律与分布函数.

解:

分别用表示试验的三种结果“小于5”、“等于5”、“大于5”，这时试验的样本空间为，定义随机变量为：

，取每个值的概率为：

，

，；故的分布律为（表2-4）：

表2-4

012

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

由此求得分布函数为：

.

【例3】设1小时内进入某图书馆的读者人数服从泊松分布.已知1小时内无人进入图书馆的概率为0.01.求1小时内至少有2个读者进入图书馆的概率.

分析：

1小时内进入图书馆的人数是一个随机变量，且.这样，表示在1小时内无人进入图书馆，表示在1小时内至少有2人进入图书馆.通过求参数，进一步，求.

解：

设为在1小时内进入图书馆的人数，则，这时：

已知，故.所求概率为：

.

【例4】设随机变量的密度函数为，试求：

（1）常数；

（2）；（3）的分布函数.

分析：

由密度函数的性质可求得常数；对密度函数在上积分，即得；根据连续型随机变量分布函数的定义可求的分布函数.

解：

（1）由得：

；

（2）；

（3）当时，是不可能事件，所以；当时，；

当时，；所以，的分布函数为：

.

【例5】设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）服从指数分布，其概率密度为，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开.他一个月要到银行5次，以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出的分布律，并求.

分析：

显然，为随机变量，取值为0、1、2、3、4、5，且.由及分布律的定义，可求得的分布律，进而求.

解：

的取值为0、1、2、3、4、5，.由题意得：

，故的分布律为：

，即（表2-5）:

表2-5

0123…5

…

所以，.

【例6】某单位招聘2500人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有10000人报名，假设报名者的成绩，已知90分以上有359人，60分以下有1151人，问被录用者中最低分为多少？

分析：

已知成绩，但不知的值，所以，本题的关键是求，再进一步根据正态分布标准化方法进行求解.

解：

根据题意：

，故，而

，反查标准正态分布表，得：

（1）

同样，，而

，通过反查标准正态分布表，得：

（2）

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Mr_Mas2008-12-1403:

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由

（1）、

（2）两式解得：

，所以；

已知录用率为，设被录用者中最低分为，则

，而

，反查标准正态分布表，得：

，解得：

故：

被录用者中最低分为79分.

【例7】设的分布律为（表2-6）:

表2-6

123456

求的分布律.

分析：

是离散型随机变量，也是离散型随机变量.当取不同值时，将那些取相等的值分别合并，并把相应的概率相加.从而得到的分布律.

解：

与的对应关系如下表2-7：

表2-7

123456

0-1010-1

由上表可知，的取值只有-1，0，1三种可能