中考数学复习专题汇编第六讲 第1课时 几何图形中的动点问题.docx

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中考数学复习专题汇编第六讲第1课时几何图形中的动点问题

第六讲运动型问题

第1课时　几何图形中的动点问题

（58分）

一、选择题（每题6分，共18分）

1．[2017·安徽]如图6－1－1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（　D　）

A.B.C.5D.

图6－1－1　　第1题答图

【解析】令点P到AB的距离为h，由S△PAB＝S矩形ABCD，得×5h＝×5×3，解得h＝2，动点P在EF上运动，如答图，作点B关于EF的对称点B′，BB′＝4，连结AB′交EF于点P，此时PA＋PB最小，根据勾股定理求得最小值为＝，选D.

图6－1－2

2．如图6－1－2，在矩形ABCD中，AB＝2a，AD＝a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D的路径移动．设点P经过的路径长为x，PD2＝y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（　D　）

【解析】①当0≤x≤2a时，∵PD2＝AD2＋AP2，AP＝x，∴y＝x2＋a2；②当2a＜x≤3a时，CP＝2a＋a－x＝3a－x，∵PD2＝CD2＋CP2，∴y＝（3a－x）2＋（2a）2＝x2－6ax＋13a2；③当3a＜x≤5a时，PD＝2a＋a＋2a－x＝5a－x，

∴PD2＝y＝（5a－x）2，y＝∴能大致反映y与x的函数关系的图象是选项D中的图象．

图6－1－3

3．如图6－1－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，以2为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿AB的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（　A　）

【解析】首先根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，分别求出AC，BC，以及AB边上的高线各是多少；然后根据图示，分三种情况：

①当0≤t≤2时；②当2＜t≤6时；③当6＜t≤8时，分别求出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S的表达式，进而判断出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是哪个即可．

S＝

二、解答题（共20分）

4．（20分）[2017·无锡]如图6－1－4，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连结CP，作点D关于直线PC的对称点E.设点P的运动时间为t（s）．

（1）若m＝6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．

（2）已知m满足：

在动点P从点D到点A的整个过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3.求所有这样的m的取值范围．

图6－1－4

【解析】

（1）如答图①，P，E，B三点在同一直线上，连结EC.①在Rt△BEC中，计算BE的值；②在Rt△ABP中，利用勾股定理列出关于t的方程，解出t值即可求；

（2）如图②，P，E，B三点在同一直线上，连结EC，过点E作EF⊥BC于F.①在Rt△EFC中，利用勾股定理求出CF；②利用相似三角形的判定与性质求得BF；③根据m＝BC＝BF＋CF计算m的值．

解：

（1）如答图①，P，E，B三点在同一直线上，连结EC.

第4题答图①

∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC.

∵PD＝t，m＝6，∴PA＝6－t.

∵点D，点E关于直线PC对称．

∴PE＝t，EC＝DC＝AB＝4，∠CEP＝∠CDP＝90°.

在Rt△BCE中，∵BC＝6，CE＝4，

∴BE＝＝＝2.

在Rt△ABP中，∵AB2＋AP2＝BP2，即42＋（6－t）2＝（2＋t）2，

解得t＝6－2.

（2）如答图②，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3.

作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M.则EQ＝3，CE＝DC＝4.易证四边形EMCQ是矩形，∴CM＝EQ＝3，∠M＝90°，

∴EM＝＝，

∵∠DAC＝∠EDM，∠ADC＝∠M，

∴△ADC∽△DME，∴＝，即＝，

∴AD＝4.

第4题答图②　　　第4题答图③

如答图③，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3.

作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M.则EQ＝3，CE＝DC＝4.

在Rt△ECQ中，QC＝DM＝＝，由△DME∽△CDA，

∴＝，即＝，∴AD＝，

综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，这样的m的取值范围是≤m＜4.

5．（20分）[2017·丽水]如图6－1－5，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连结BE，作点A关于BE的对称点F，且点F落在矩形ABCD的内部．连结AF，BF，EF，过点F作GF⊥AF交AD于点G，设＝n.

图6－1－5

（1）求证：

AE＝GE；

（2）当点F落在AC上时，用含n的代数式表示的值；

（3）若AD＝4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．

【解析】设AE＝a，则AD＝na.

（1）由轴对称性质得到AE＝FE，结合“等边对等角”得到∠EAF＝∠EFA.由垂直得到两个角的互余关系，根据“等角的余角相等”可得到结论；

（2）由对称性质得BE⊥AF，先证∠ABE＝∠DAC，进而证得△ABE∽△DAC，根据相似三角形的对应边成比例建立关系式，通过适当变形求解；

（3）由特例点F落在线段BC上，确定n＝4，根据条件点F落在矩形内部得到n＞4，判断出∠FCG＜90°.然后分∠CFG＝90°和∠CGF＝90°两种情况，由

（2）的结论和相似三角形的性质分别建立关于n的等式，求得n的值．

解：

设AE＝a，则AD＝na.

（1）证明：

由对称得AE＝FE，∴∠EAF＝∠EFA.

∵GF⊥AF，∴∠EAF＋∠FGA＝∠EFA＋∠EFG＝90°.

∴∠FGA＝∠EFG，∴FG＝EF，∴AE＝GE.

第5题答图①

（2）当点F落在AC上时（如答图①），由对称得BE⊥AF，

∴∠ABE＋∠BAC＝90°，

∵∠DAC＋∠BAC＝90°，

∴∠ABE＝∠DAC.

又∵∠BAE＝∠D＝90°，

∴△ABE∽△DAC，∴＝.

∵AB＝DC，∴AB2＝AD·AE＝na·a＝na2.

∵AB＞0，∴AB＝a，∴＝＝.

（3）若AD＝4AB，则AB＝a.当点F落在线段BC上时（如答图②），EF＝AE＝AB＝a.此时a＝a，

∴n＝4.∴当点F落在矩形内部时，n＞4.

∵点F落在矩形的内部，点G在AD上，

∴∠FCG＜∠BCD，∴∠FCG＜90°.

第5题答图②　第5题答图③

①若∠CFG＝90°，则点F落在AC上，由

（2）得＝，∴n＝16.

②若∠CGF＝90°（如答图③），

则∠CGD＋∠AGF＝90°.

∵∠FAG＋∠AGF＝90°，

∴∠CGD＝∠FAG＝∠ABE，

∵∠BAE＝∠D＝90°，

∴△ABE∽△DGC.∴＝，

∴AB·DC＝DG·AE，即＝（n－2）a·a，

解得n1＝8＋4，n2＝8－4＜4（不合题意，舍去）．∴当n＝16或8＋4时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．

（20分）

6．（20分）[2017·菏泽]如图6－1－6，正方形ABCD的边长为6cm，点E，M分别是线段BD，AD上的动点，连结AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N.

（1）如图①，若点M与点D重合，求证：

AF＝MN；

（2）如图②，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以cm/s的速度沿BD向点D运动，设运动时间为ts.

①设BF＝ycm，求y关于t的函数表达式；

②当BN＝2AN时，连结FN，求FN的长．

图6－1－6

【解析】

（1）由正方形性质和垂直的性质就可以得出∠ADN＝∠BAF，利用“AAS”可以得出△ADN≌△BAF就可以得到结论AF＝MN；

（2）①由AD∥BF可得△ADE∽△FBE，利用＝可以构造y关于t的函数表达式；②由

（1）可知△MAN∽△ABF，∴＝，又∵BN＝2AN，∴＝，用含t的代数式表示BF，结合①中的关系式，可以构造关于t的方程求出t的值，从而求出BF，最后利用勾股定理求FN的长．

解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°.

∵MN⊥AF，∴∠DHA＝∠NHA＝90°，

∴∠ADH＋∠HAD＝90°，∠NAH＋∠HAD＝90°，

∴∠ADH＝∠NAH.在△ADN与△BAF中，

∴△ADN≌△BAF，

∴AF＝DN，即AF＝MN.

（2）①∵正方形的边长为6cm，∴BD＝＝AD＝6cm，

∵设运动时间为ts，根据题意，得BE＝tcm，

∴DE＝BD－BE＝（6－t）cm，

∵AD∥BF，∴△ADE∽△FBE，∴＝，

∵BF＝ycm，∴＝，即y＝，

∴y关于t的函数表达式为y＝.

②∵BN＝2AN，AB＝6cm，∴AN＝2cm，BN＝4cm，由

（1）得△MAN∽△ABF，又∵DM＝tcm，AM＝（6－t）cm，

∴＝，即＝，∴BF＝，

又∵y＝，∴，＝解得t＝2，

当t＝2时，BF＝y＝＝3cm，在Rt△NBF中，FN＝＝＝5，

∴当BN＝2AN时，FN的长为5cm.

（22分）

7．（22分）[2017·温州]如图6－1－7，已知线段AB＝2，MN⊥AB于点M，且AM＝BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点为C（点C在线段BD上），连结AC，DE.

（1）当∠APB＝28°时，求∠B和的度数；

（2）求证：

AC＝AB；

（3）在点P的运动过程中．

①当MP＝4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；

②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得点G，若点G恰好落在MN上，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG与△DEG的面积比．

图6－1－7

【解析】

（1）由垂直平分线的性质得到等腰△PAB，由三线合一得∠APM＝∠BPM＝∠APB＝14°，∠B＝90°－∠BPM＝90°－14°＝76°，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得∠MDB＝∠BAC＝2∠DPM＝28°，以此求得弧CD的度数为2∠MDB＝56°；

（2）由同角的余角相等，得∠ACB＝∠B，AC＝AB；

（3）由垂直分线的性质，分类讨论符合条件的点Q的个数，利用相似和勾股定理分别求出MQ的长度；利用旋转的性质，平行四边形的性质，锐角三角比求出各边的长度，用面积公式求出比值．

解：

（1）如答图①，连结MD.

∵AB⊥MN，AM＝BM，

∴PM垂直平分线段AB，∴PA＝PB，

在等腰三角形PAB中，∵∠APB＝28°，∴∠APM＝∠BPM＝∠APB＝14°，

∴∠B＝90°－∠BPM＝90°－14°＝76°，

在Rt△MPB中，点D为斜边BP的中点，

∴DM＝DP，∴∠MPD＝∠DMP＝14°，

∴∠MDB＝∠BAC＝2∠DPM＝28°，

∴的度数＝2∠MDB＝56°；

（2）证明：

由

（1）可得

∠B＝90°－∠BPM＝90°－∠BAC，

在△ABC中，∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－（90°－∠BAC）－∠BAC＝90°－∠BAC，

∴∠ACB＝∠B,∴AC＝AB.

第7题答图①　　第7题答图②

（3）①若要满足题意，则点Q必为过点A，C，E，D的垂线与线段MN的交点，分析图形可得只有过点C，E，D的垂线与线段MN的交点满足题意．

（Ⅰ）若CQ⊥CP（如答图②点Q1），AM＝BM＝1，MP＝4，由勾股定理，得BP＝＝，由

（1）

（2）可得∠BAC＝∠APB，

又∵∠B＝∠B，

∴△ABC∽△PBA，

∴＝，得BC＝，

∴CP＝.

由△PCQ1∽△PMB，得＝，解得PQ1＝，

∴MQ1＝4－PQ1＝.

（Ⅱ）若QD⊥BP，由EP＝DP可知△EPQ2≌△DPQ2（如答图②点Q2），∴EQ2⊥EP.（即过点E，D的垂线与线段MN的交点重合）

∵点D为线段BP的中点，且Q2D⊥BP，

∴Q2D垂直平分线段BP，则Q2P＝Q2B，

设Q2M＝x，则Q2B＝Q2P＝4－x,由勾股定理，得BM2＋M2Q2＝B2Q2，12＋x2＝（4－x）2，解得x＝.

（Ⅲ）若AC⊥CQ（如答图②点Q3），

∵∠ACQ3＝90°，∴Q3A为该圆的直径，

∴点Q3为MP与圆的交点，

∵∠MAC＝∠MQ3C＝2∠MPC，∠MQ3C＝∠MPC＋∠Q3CP，∴PQ3＝CQ3，

设MQ3＝x，则PQ3＝4－x，AC＝AB＝2，

∵A3Q2＝AM2＋M3Q2＝AC2＋C3Q2，

∴12＋x2＝22＋（4－x）2，解得x＝.

综上所述，MQ的值为或或.

第7题答图③

②如答图③，过点E作AP的中垂线，交MP于点K.过点C作CJ⊥AB于点J，连结AK，KE，DM.

∵点M，D分别为AB，BP的中点，∴MD为△ABP的中位线，

∴MD∥AP，AM＝DF.

又∵AM∥ED，∴四边形MAED为平行四边形，

∴AM＝DE，∠MDE＝∠MAP，∴DE＝DF，

∵△GHE≌△GHD，∴GE＝GD，

∴GE＝GD＝DE＝DF，则△GDE为正三角形，∠GDE＝60°.

∵∠EDF＝90°－60°－30°，∴∠DEF＝（180°－∠EDF）＝75°，

∴∠APM＝15°，则∠AKM＝2∠APM＝30°，

∴MK＝，AK＝KP＝2，tan75°＝tan∠MAP＝＝＝2＋，

∴tan∠MAP＝tan∠HEP＝tan75°＝2＋，

∵EH为△AMP的中位线，∴EH＝，GH＝，

∴tan∠HEP＝＝2＋，HP＝（2＋），∴MG＝1，

∵∠MAC＝2∠MPA＝30°，AM＝1，CJ＝AC＝AB＝1，

∴MI＝，IG＝1－，AJ＝，

∴S△ACG＝IG·AJ＝××＝，S△EDG＝ED·GH＝×1×＝，

∴＝＝.