高等数学微分在近似计算中的运用文档格式.docx

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王

J二、计算函数的近似值

T1•求/*（"

）在点兀=兀0附近的近似值；

士Ay=/（x0+Ar）-/（x0）・

/（x0+Ar）»

/（x0）+广（a：

0）・Ax・（|Ax很小时）计算cos60°

30'

的近似值.

设/*（%）=COSX,/./r（x）=-sinx,（x为弧度）

7C▲71

•••碍弓,广（护-亨

7t

7tn

.•.cos60»

30-cos（^^）«

cos^-sin^36（）

=--^1•工»

0.4924.

22360

2•求f（兀）在点x=0附近的近似值；

令兀°

=0,Ax=兀・

/（x0+Ar）«

/（x0）+广（兀°

）・Ar,

.\/（x）«

/（0）+/\0）-x・

常用近似公式31很小时）

（1）a/1+x«

l+-x;

（2）sinx»

x（兀为弧度）；

n

（3）tanx«

x（兀为弧度）；

（4）盯«

l+x;

（5）ln（l+x）«

x・

1--1

证明⑴设/（兀）=也寸，广（兀）=—（1+兀）"

，

1

/（0）=l,/\0）=-・

A/（X）«

/（O）+/W=1+-・

1000（1-竺）=10^1-0.00151000

1«

10（l--x0.0015）=9.995・

（2）e-003®

1-0.03=0.97.

干例2计算下列各数的近似值干⑴炳菇；

⑵严.

X解⑴^/9985=V1000-1.5

而绝对误差牛的比值

三、误差估计

由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.

定义：

如果某个量的精度值为它的近似值

为a,那末|A-⑷叫做a的绝对误差.

I叫做Q的相对误差问题:

在实际工作中，绝对误差与相对误差无法求得?

办法:

将误差确定在某一个范围内•

如果某个量的精度值是4,测得它的近似值是I,又知道它的误差不超过5“即

|A-a|<

5A,

那末■叫做测量4的绝对误差而》叫做测量

A的相对误差限

通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差专相对误会.

x=2.41

=4・82.

5.8081皿％・

例3正方形边长为2・41±

0・005米，求出它的面稅并估计绝对误差与相对误差.

解设正方形边长为兀,面积为y,则y=

当工=2.41时,j=（2.41）2=5.8081（加彳）.

v边长的绝对误差为8X=0.005,

・•・面积的绝对误差为Sy=4.82x0.005=0.0241（m2）.

・•・面积的相对误差为J00241

近似计算的基本公式

当|Ar|很小时，

Av|x=xo«

^|x=Xo=广（心）・心・

/（x）«

/（x0）+/r（x0）•（x-x0）,当兀=0时，

/•（兀）Q/（0）+广（0）•兀・

练习题

li

一、填空题：

1、利用公式/（x）«

/（x0）+/\x0）（x-X。

）计算f（兀）

时，要求很小.

2、当兀"

时，由公式可近似计算

ln（l-x）«

；

tanxa,由此得

tan45°

a；

In1.002q

二、利用微分计算当兀由45。

变到45。

10'

时，函数J=COSX的增量的近似值（1°

=£

.017453弧度）.

三、已知单摆的振动周期T=2it其中g=980厘

\；

g

米/秒2,Z为摆长（单位为厘米），设原摆长为20厘米，为使周孵增大0.05秒，摆长约需加长多少？

3、V996.

I=.

l=.

四、求近似值：

1、tan136°

•2、arcsin0.5002；

五、设4>

0,且\B\«

Anf证明

VAn+B«

A+-4r，并计算烦而的近似值.mA1

六、已知测量球的直径）有1%的相对误差，问用公式V=^D3计算球的体积时，相对误差有多大？

6

七、某厂生产（教材2-18图）所示的扇形板，半從=200毫米，要求中心鉅歩5。

产品检验时，一般用测量弦长乙的办法来间接测量中心角r,如果测量弦悽时的误差爲=0.1毫米，问由此而引起的中心角测量误差兀是多少？