专题：分式运算中的常用技巧.doc

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初中数学

专题：

分式运算中的常用技巧

编稿老师

徐文涛

一校

杨雪

二校

黄楠

审核

刘敏

一、考点突破

知识点

考纲要求

命题角度

备注

分式的性质

掌握

利用分式的基本性质进行约分和通分

分式的运算

综合运用

1.利用设k的方法进行分式化简与计算

2.利用公式进行分式化简与计算

3.利用整体通分的思想对分式进行化简与计算

常考

二、重难点提示

重点：

1.掌握设参数法进行分式运算；

2.利用公式变形进行分式运算；

3.掌握整体通分的思想方法。

难点：

会选用恰当的方法解决与分式有关的问题。

微课程1：

设k求值

【考点精讲】

运用已知条件，求代数式的值是数学学习的重要内容之一。

除了常规代入求值法，还要根据题目的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，才能达到预期的目的。

如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数，以便沟通数量关系，设k求值，也叫做设参数法。

通常是用含有字母的代数式来表示变量，这个代数式叫作参数式，其中的字母叫做参数。

参数法，是许多解题技巧的源泉。

【典例精析】

例题1已知，求的值。

思路导航：

首先设，则可得a＝3k，b＝4k，c＝5k，然后将其代入，即可求得答案。

答案：

解：

设（k≠0），则a＝3k，b＝4k，c＝5k，

所以＝＝＝

点评：

本题考查了运用设k值的方法求分式的值，用“设k法”表示出a、b、c可以使运算更加简便。

例题2已知a，b，c均不为0，且，求的值。

思路导航：

仔细观察，只要a、b、c用同一个未知数表示，就可以约去分式中的未知数。

所以，设＝k，用k来表示a、b、c，然后将其代入所求的分式即可。

答案：

解：

设＝k，

则a＋2b＝5k，①

3b－c＝3k，②

2c－a＝7k，③

由①＋③得，2b＋2c＝12k，

∴b＋c＝6k，④

由②＋④，得4b＝9k，

∴b＝k，分别代入①、④得，

a＝k，

c＝k，

∴＝＝＝

例题3已知，计算。

思路导航：

设＝k，得b＋c＝ak，a＋c＝bk，a＋b＝ck；然后将三式相加即可求出k的值，代入即可求值。

答案：

解：

设＝k，得b＋c＝ak，a＋c＝bk，a＋b＝ck；把这3个式子相加得2（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）k

若a＋b＋c＝0，a＋b＝－c，则k＝－1

若a＋b＋c≠0，则k＝2

＝＝

当k＝－1时，原式＝－1，

当k＝2时，原式＝8。

点评：

用含k的代数式表示出a，b，c的值是解决本题的突破点。

【总结提升】

设k求值解题的基本步骤

（1）设参数k，即选择适当的参数k（参数的个数可取一个或多个）；

（2）建立含有参数的方程或代数式；

（3）消去参数，即通过运算消去参数，使问题得到解决。

例：

已知，求的值。

解：

设，于是有，所以＝0。

微课程2：

活用公式变形

【考点精讲】

完全平方公式和平方差公式是数学中的两个重要的乘法公式，也是同学们解题时常出错的难点。

在进行运算时，若能根据公式的结构特征，选择适当的方法，灵活应用公式，可使问题化繁为简，收到事半功倍的效果，同时掌握其变形特点并灵活运用，可以巧妙地解决很多问题。

【典例精析】

例题1已知a2－5a＋1＝0，计算的值。

思路导航：

让等式两边同时除以a，得到＝5，然后对进行公式变形即可。

答案：

解：

因为a≠0，将a2－5a＋1＝0两边都除以a整理得：

＝5，

所以＝－2＝＝（52－2）2－2＝527

点评：

本题既考查了对完全平方公式的变形，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力。

解答本题的关键是将看做一个整体代入。

例题2计算

思路导航：

将原式乘以代数式，同时再除以代数式，即可连续利用平方差公式。

答案：

解：

原式＝

点评：

在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。

例题3已知，求的值。

思路导航：

本题将的分子、分母颠倒过来，即变为求＝的值，再利用公式变形求值就简单多了。

答案：

解：

∵，∴，即，

∴＝＝23＋1＝24。

∴＝

点评：

利用x和互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程更加简捷。

【总结提升】

完全平方公式的常见变形：

（1）a2＋b2＝（a＋b）2－2ab，

（2）a2＋b2＝（a－b）2＋2ab，

（3）（a＋b）2－（a－b）2＝4ab，

（4）a2＋b2＋c2＝（a＋b＋c）2－2（ab＋ac＋bc）

平方差公式的常见变形：

（1）位置变化：

（a＋b）（－b＋a）＝－（b2－a2）；

（2）符号变化：

（－a－b）（a－b）＝－（a2－b2）；

（3）系数变化：

（3a＋2b）（3a－2b）＝9a2－4b2；

（4）指数变化：

（a3＋b2）（a3－b2）＝a6－b4；

（5）项数变化：

（a＋2b－c）（a－2b＋c）＝a2－（2b－c）2；

（6）连用变化：

（a＋b）（a－b）（a2＋b2）＝（a2－b2）（a2＋b2）＝a4－b4。

微课程3：

整体通分

【考点精讲】

分式的加减运算过程中，一般要按照运算法则同级运算从左到右计算。

异分母分式加减的运算法则是“异分母的分式相加减，先通分变为同分母的分式，然后再加减。

”但对于一些较为特殊的异分母分式加减运用此规则显得麻烦。

因而需根据题型，灵活运用其法则及有关知识进行解答。

在分式计算题中，如果出现了部分整式，我们可以把整式看成一个整体进行通分，从而最终达到解决整个问题的目的。

【典例精析】

例题1计算：

思路导航：

题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求能作为整体的部分，那么计算起来可以简便一些。

对于本题可以将后面的部分看做一个整体进行通分。

答案：

解：

原式＝＝＝－＝。

点评：

本题是求一个分式与一个多项式的和，若把整个多项式看作分母为1的分式，再通分相加，可以使解法更简便。

例题2计算：

思路导航：

将后三项看做分母是1，变为，整理后，利用完全平方公式即可解答。

答案：

解：

原式＝

＝

＝

＝

点评：

本题考查分式的加减，在计算过程中要注意整体思想的运用，运用分式的通分必须注意整个分子和整个分母。

注意到与之间的关系，利用换元法，可以将问题转化为我们熟悉的形式。

【总结提升】

若题目为整式和分式相加减运算，可把整式看做一个整体进行通分计算。

解此类题可运用整体思想，把整式看做分母是“1”的一个整体参与计算，可达到简化目的，使计算简便。

例如：

计算分式时，可将a＋2看做一个整体，将其分母看做“1”进行通分，可使运算过程大大简化。

（答题时间：

60分钟）

设k求值

一、选择题

1.已知x：

2＝y：

3＝z：

0.5，则的值是（　　）

A. B.7 C.3 D.

2.若实数a、b、c、d满足，则的值是（）

A.1或0 B.－1或0 C.1或－2 D.1或－1

3.若x是一个不等于0的数，且x2－3x＋1＝0，则等于（　　）

A. B. C.10 D.12

二、填空题

4.若，则＝___________。

5.若2a＝3b＝4c，且abc≠0，则的值是______________。

三、解答题

6.若，求的值。

7.已知满足，求的值。

8.已知，求的值。

活用公式变形

一、选择题

1.化简（−）•的结果是（　　）

A.－4 B.4 C.2a D.－2a

2.已知m＋＝3，那么m−的结果是（　　）

A. B. C. D.

3.设，则＝（）

A. B. C. D.

二、填空题

4.已知x2－4x＋1＝0，求的值___________。

5.已知：

（0＜a＜1），则＝________。

三、解答题

6.先化简，后求值：

，其中。

7.计算：

已知，求的值。

整体通分

一、选择题

1.当a＝3时，则a－2＋的值为（）

A.3 B.4 C.5 D.6

2.已知，则的值是（　　）

A.－3 B. C.3 D.

3.计算的结果为（　　）

A. B.

C. D.

二、填空题

4.若a＝，则＝_________。

5.已知，则＝_________。

三、解答题

6.计算：

（1）；

（2）

7.计算：

8.先化简，再求值：

，其中x＝3，y＝－2。

设k求值

一、选择题

1.B解析：

设x：

2＝y：

3＝z：

0.5＝a，则可以得出：

x＝2a，y＝3a，z＝0.5a，代入中，得原式＝7。

2.D解析：

设＝＝＝＝k，则b2＝ac，c2＝bd，d2＝ac＝b2，a2＝bd＝c2，由＝k得，a＝bk，由＝k得，d＝ak＝bk2，由＝k得，c＝dk＝bk3，再由＝k得，＝k，即：

k4＝1，k＝±1。

当k＝1时，原式＝1；当k＝－1时，原式＝－1。

3.A解析：

解：

设，

则，

，

，

，

。

故选A。

二、填空题

4.5解析：

由题意，设x＝3k，y＝5k，z＝7k，∴原式＝＝5。

5.－2解析：

设2a＝3b＝4c＝12k（k≠0），则a＝6k，b＝4k，c＝3k，所以，原式＝－2。

三、解答题

6.解：

设，则

原式＝

7.解：

设，

则

8.解：

设，

则，①

，②

。

③

由①＋②＋③有，

所以，

故有或。

当时，。

当时，。

活用公式变形

一、选择题

1.A解析：

原式＝－（a＋2）＋（a－2）＝－4。

2.D解析：

∵（m－）2＝（m＋）2－4＝9－4＝5，∴m−＝。

3.A解析：

解：

，

，

，

∴原式＝

二、填空题

4.解析：

解：

，

，

则。

5.－2解析：

解：

，

且由，可得，

。

三、解答题

6.解：

，

，

，

，

，

当时，原式＝。

7.解：

，

，

，

同理可得，，

∴原式＝。

整体通分

一、选择题

1.C解析：

原式＝a－2＋＝a－2＋a＋1＝2a－1，当a＝3时，原式＝6－1＝5。

2.A解析：

解：

，

，即，

∴原式＝

3.A解析：

解：

原式＝

＝

二、填空题

4.解析：

原式＝＝。

5.1解析：

解：

对已知等式整理得，

三、解答题

6.解：

（1）原式＝

（2）原式＝

7.解：

原式＝

＝－

＝

8.解：

原式＝

，

当x＝3，y＝－2时，原式＝32－（－2）2＝9－4＝5。

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