内蒙古中考数学重点题型专项训练函数的实际应用题.docx
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内蒙古中考数学重点题型专项训练函数的实际应用题
函数的实际应用题
类型一方案设计类
★1.某校在去年购买A，B两种足球，费用分别为2400元和
2000元，其中A种足球数量是B种足球数量的2倍，B种足
球单价比A种足球单价多80元/个．
（1）求A，B两种足球的单价；
（2）由于该校今年被定为“足球特色校”，学校决定再次购买A，B两种足球共18个，且本次购买B种足球的数量不少于A种足球数量的2倍，若单价不变，则本次如何购买才能使费用W最少？
解：
（1）设A种足球单价为x元/个，则B种足球单价为（x＋80）
元/个，
根据题意，得2400x＝2×x2000＋80，解得x＝120，
经检验，x＝120是分式方程的解，且符合实际意义，∴x＋80＝200，
答：
A种足球单价为120元/个，B种足球单价为200元/个；
（2）设再次购买A种足球a个，则购买B种足球为（18－a）个，根据题意，得W＝120a＋200（18－a）＝－80a＋3600，∵18－a≥2a，
∴a≤6，
∵－80＜0，
∴W随a的增大而减小，
∴当a＝6时，W最小，此时18－a＝12，
答：
本次购买A种足球6个，B种足球12个，才能使购买费
用W最少．
★2.某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元．
（1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？
（2）据市场调研，1株甲种花木售价为760元，1株乙种花木
售价为540元，该花农决定在成本不超过30000元的前提下
培育甲、乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的
3倍还多10株，那么要使总利润不少于21600元，花农有哪
几种具体的培育方案？
解：
（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为x元和y元．
由题意得
2x＋3y＝1700
，解得
3x＋y＝1500
x＝400
y＝300.
答：
甲、乙两种花木每株成本分别为400元、300元；
（2）设培育甲种花木为a株，则培育乙种花木为（3a＋10）株．
则有
400a＋300（3a＋10）≤30000
（760－400）a＋（540－300）（3a＋10）≥21600，
解得1779≤a≤201013.
由于a为整数，
∴a可取18或19或20.
∴有三种具体方案：
①培育甲种花木18株，培育乙种花木3a＋10＝64株；
②培育甲种花木19株，培育乙种花木3a＋10＝67株；
③培育甲种花木20株，培育乙种花木3a＋10＝70株．
★3.育才初中九年级举行“生活中的数学”竞赛活动，购买了A，B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元，根据比赛设奖情况，需要购买两种笔记本共30本，若学校决定购买笔记本的资金不能超过280元，设购买A种笔记本x本．
（1）根据题意完成以下表格（用含x的代数式表示）；
笔记本型号
A
B
数量（本）
x
________
价格（元/本）
12
8
费用（元）
12x
________
（2）最多能购买A种笔记本多少本？
（3）若购买B种笔记本的数量要小于A种笔记本的数量的3
倍，则购买这两种笔记本各多少本时，费用最少，最少费用
是多少元？
解：
（1）30－x，8（30－x）；
【解法提示】购买两种笔记本共30本，A种笔记本为x本，
则B种笔记本为（30－x）本；由于B种笔记本的价格为8元/
本，则购买B种笔记本共花费8（30－x）元．
（2）由题意得12x＋8（30－x）≤280，
解得x≤10.
∴最多能购买A种笔记本10本；
（3）设购买两种笔记本的总费用为W元，
由题意，得W＝12x＋8（30－x）＝4x＋240，
∵30－x＜3x，∴x＞7.5，
∵k＝4＞0，∴W随x的增大而增大，
∵x为整数，∴当x＝8时，W最少＝4×8＋240＝272元，此时B种笔记本数量为30－8＝22本．
答：
购买A种笔记本8本，B种笔记本22本时，费用最少，
最少费用为272元．
类型二方案择优类
★1.甲、乙两家商场以同样价格出售相同的商品，在同一促
销期间两家商场都让利酬宾，让利方式如下：
甲商场所有商
品都按原价的8.5折出售，乙商场只对一次购物中超过200
元后的价格部分按原价的7.5折出售，某顾客打算在促销期
间到这两家商场中的一家去购物，设该顾客在一次购物中的
购物金额的原价为x（x＞0）元，让利后的购物金额为y元．
（1）分别就甲、乙两家商场写出y关于x的函数解析式；
（2）该顾客应如何选择这两家商场去购物会更省钱？
并说明
理由．
解：
（1）甲商场y关于x的函数解析式y1＝0.85x，
当0≤x≤200时，乙商场y关于x的函数解析式y2＝x（0≤x≤200）；
当x＞200时，乙商场y关于x的函数解析式y2＝200＋（x－
200）×0.75＝0.75x＋50（x＞200），
x（0≤x≤200）
故y2＝
；
0.75x＋50（x＞200）
（2）由y1＞y2，得0.85x＞0.75x＋50，解得x＞500，当x＞500时，到乙商场购物会更省钱；
由y1＝y2得0.85x＝0.75x＋50，解得x＝500，
当x＝500时，到两家商场去购物花费一样；
由y1＜y2，得0.85x＜0.75x＋500，
解得x＜500，
当x＜500时，到甲商场购物会更省钱；
综上所述，x＞500时，到乙商场购物会更省钱；x＝500时，
到两家商场去购物花费一样；当x＜500时，到甲商场购物会
更省钱．
★2.蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对
外批发销售某种蔬菜，为了加快销售，该批发商对价格进行
两次下调后，售价降为每千克6.4元.
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择.方案一：
打八折销售；方案二：
不打折，每吨优惠现金1000元，试问超市采购员选择哪种方案更优惠？
请说明理由.
解：
（1）设平均每次下调的百分率为x，由题意，得10（1-x）2=6.4,
解得x1=0.2=20%，x2=1.8（不符合题意，舍去），
∴平均每次下调的百分率是20%.
（2）采购员选择方案一购买更优惠,
理由：
方案一所需费用为：
6.4×0.8×2000=10240（元），
方案二所需费用为：
6.4×2000-1000×2=10800（元）,
∵10240＜10800，
∴采购员选择方案一购买更优惠.
★3.甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务
的收费方案．
甲公司方案：
每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是
一次函数关系，如图所示．
乙公司方案：
绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用
5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元
的基础上，超过部分每平方米收取4元．
（1）求如图所示的y与x的函数解析式；（不要求写出取值范围）
（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算
说明：
选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．
解：
（1）设该一次函数解析式为y＝kx＋b（k≠0），
将点（0，400），（100，900）代入y＝kx＋b，
400＝0＋bk＝5
得
900＝100k＋b，解得
b＝400，
∴y与x的函数解析式为y＝5x＋400；
（2）由
（1）知，甲公司费用解析式为y＝5x＋400，
当x＝1200时，y＝6400（元），
设乙公司费用为z，z＝5500＋（1200－1000）×4＝6300（元），
∵6400>6300，
∴选乙公司绿化养护费用较少．
类型三图象类
★1.心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学
生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的
注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理
想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析
可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下
图所示（其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求
学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师
能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
第1题图
解：
（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1＝k1x＋20，
把B（10，40）代入得，k1＝2，
∴y1＝2x＋20（0≤x≤10）．
设C，D所在双曲线的解析式为y2＝kx2，
把C（25，40）代入得，k2＝1000，∴y2＝1000x（25＜x≤40），
当x1＝5时，y1＝2×5＋20＝30，
当x2＝30时，y2＝100030＝1003，
∵y1＜y2，∴第30分钟时学生的注意力更集中；
（2）令y1＝36，∴36＝2x＋20，∴x1＝8，
令y2＝36，∴36＝1000x，∴x2＝100036≈27.8，
∵27.8－8＝19.8＞19，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲
解完这道题目．
★2.在一条笔直的公路上有A，B两地，甲从A地去B地，
乙从B地去A地然后立即原路返回B地，返回时的速度是原
来的2倍，如图是甲、乙两人离B地的距离y（千米）和时间
x（小时）之间的函数图象．请根据图象回答下列问题：
（1）A，B两地的距离是________千米，a＝________；
（2）求P的坐标，并解释它的实际意义；
（3）请直接写出当x取何值时，甲乙两人相距15千米．
b＝90
得3k＋b＝0，解得
解：
（1）90，2；
【解法提示】观察函数图象可知：
A、B两地的距离是90千
米，∵乙从B地去A地然后立即原路返回B地，返回时的速
度是原来的2倍，∴90a·2=390－a，∴a=2.
（2）设甲离B地的距离y（千米）和时间x（小时）之间的函数关系式为y＝kx＋b，乙离B地的距离y（千米）和时间x（小时）之间的函数关系式为y＝mx＋n，
将（0，90）、（3，0）代入y＝kx＋b中，
k＝－30
b＝90，
∴甲离B地的距离y和时间x之间的函数关系式为y＝－30x
＋90（0≤x≤3）；
将（0，0）、（2，90）代入y＝mx＋n中，
n＝0m＝45得2m＋n＝90，解得n＝0，
∴此时y＝45x（0≤x≤2）；
将（2，90）、（3，0）代入y＝mx＋n中，
2m＋n＝90
得
3m＋n＝0，解得
m＝－90
，
此时y＝－90x＋270（2＜x≤3）．
∴乙离B地的距离y和时间x之间的函数关系式为
45x（0≤x≤2）
y＝，
－90x＋270（2＜x≤3）
令y＝－30x＋90＝45x，解得x＝1.2，
当x＝1.2时，y＝45x＝45×1.2＝54，
∴点P的坐标为（1.2，54）．
点P的实际意义是：
甲、乙分别从A、B两地出发，经过1.2小时相遇，这时离B地的距离为54千米；
（3）当0≤x＜1.2时，－30x＋90－45x＝15，解得x＝1；
当1.2≤x≤2时，45x－（－30x＋90）＝15，
解得x＝1.4；
当2＜x≤3时，－90x＋270－（－30x＋90）＝15，
解得x＝2.75.
综上所述，当x为1或1.4或2.75时，甲乙两人相距15千米．
类型四阶梯费用类
★1.某中学组织学生到距离学校6.5km的历史博物馆去参
观，学生阿福因事耽搁没能乘上学校的专车，于是准备在学
校门口改乘出租车去历史博物馆，出租车的收费标准是：
3km
以内（含3km），只收取起步费10元；3km以上，每增加1
km（不足1km以1km计）收费2元．
（1）写出打车费用y与出租车行驶里程数x之间的函数关系式；
（2）阿福同学身上仅有20元钱，乘出租车到历史博物馆的车
费够不够，请通过计算说明．
解：
（1）根据题意可得当0＜x≤3时，y＝10；
当x＞3时，y＝10＋（x－3）×2＝2x＋4.
100＜x3
即y与x之间的函数关系是y2x4x＞3；
（2）∵6.5km超过3km，
∴阿福同学去历史博物馆的打车费用为y＝2x＋4，
∵6.5km超过6km，不足7km，以7km计，
∴阿福同学去历史博物馆的打车费用为y＝2x＋4＝2×7＋4＝
18元，
∵18＜20，
∴阿福同学乘出租车到历史博物馆的费用够．
★2.为保护环境，鼓励市民节约用电，从2017年起，某市实
施“阶梯电价”收费方案，收费标准如下：
收费
用电量
电费单价
收费说明
标准
（度）
（元/度）
第一
0~
0.68
用电量在第一档时，按每度
档
200
0.68元收费
第二
201~
0.73
用电量在第二档时，先收第
档
400
一档费用，超出部分按每度
0.73元收费
第三
401以上
0.98
用电量在第三档时，先收第
档
一档和第二档费用，超出部
分按每度0.98元收费
（1）某用电大户一个月用电量为500度，应交电费________
元；
（2）已知某用户一月份的用电量不超过400度，若该用户这个
月的电费平均每度0.69元，该用户一月份用电多少度？
（3）若某用户某月的用电量为x度，请你用含x的代数式表示
该用户在这个月应交的电费．
解：
（1）380；
【解法提示】200×0.68＋（400－200）×0.73＋（500－400）×0.98
＝380（元）．
（2）设一月份用电x度，根据题意得：
200×0.68＋0.73×（x－200）＝0.69x，解得x＝250.
答：
一月份用电250度；
（3）当0＜x≤200时，当月的电费支出为0.68x元；
当200＜x≤400时，当月的电费支出为0.68×200＋0.73（x－200）
＝（0.73x－10）元；
当x＞400时，当月的电费支出为0.68×200＋0.73×200＋0.98（x
－400）＝（0.98x－110）元．
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