新课标新华东师大版九年级数学上学期《一元二次方程实践与探索》专题训练及解析精编试题Word下载.docx
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3．某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨．若平均每月增长率是x，则可以列方程（ ）
A．500（1+2x）=720
B．500（1+x）2=720
C．500（1+x2）=720
D．720（1+x）2=500
设平均每月增率是x，
二月份的产量为：
500×
（1+x）；
三月份的产量为：
500（1+x）2=720．
主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×
（1+增长率），由此列出方程．求平均变化率的方法：
若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±
x）2=b（当增长时中间的“±
”号选“+”，当降低时中间的“±
”号选“-”）．
4．直角三角形两直角边和为7，面积为6，则较长的直角边长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
设直角三角形一直角边长为x，则另一直角边长为7-x，根据题意，得
x（7-x）=6，
解得x=3或x=4，
所以较长的直角边长为4．
设直角三角形一直角边长为x，则另一直角边长为7-x，利用直角三角形的面积公式，由面积为6作为相等关系列方程求得x的值，进而确定较长的直角边长．
5．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ ）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
C
设有x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，
x（x-1）=21，
解得x=7或-6（舍去）．
故应邀请7个球队参加比赛．
C．
赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=
x（x-1），由此列方程求解．解决此题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
6．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八九月份平均每月的增长率为x，那么满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2=196
B．50+50（1+x2）=196
C．50+50（1+x）+50（1+2x）=196
D．50+50（1+x）+50（1+x）2=196
D
∵七月份生产零件50万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为x，
∴八月份的产量为50（1+x）万个，九月份的产量为50（1+x）2万个，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2=196．
D．
根据7月份的表示出8月和九月的产量求和列出方程．此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能分别将8、9月份的产量表示出来．
7．刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：
a2+b-1，例如：
把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）-1=6．现将实数对（m，-2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（ ）
B．-1
C．-3或1
D．3或-1
m2+（-2m）-1=2，
m2-2m-3=0，
（m-3）（m+1）=0，
解得m1=3，m2=-1．
按照相应的运算方法与顺序，让得到的含m的代数式的结果为2，列方程求解．考查一元二次方程的应用；
理解新定义的运算方法是解决此题的关键．
8．某商品原价500元，连续两次降价a%后售价为200元，下列所列方程正确的是（ ）
A．500（1+a%）2=200
B．500（1-a%）2=200
C．500（1-2a%）=200
D．500（1-a2%）=200
根据题意，得
500（1-a%）2=200．
此题类似增长率问题，一般用降价后的量=降价前的量×
（1-降价率），根据已知条件可以用x表示两次降价后的价格500（1-a%）2，由题意列出方程．关键是掌握求平均变化率的方法：
x）2=b．
9．某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意列方程为（ ）
A．25（1+x）2=82.75
B．25+50x=82.75
C．25+25（1+x）2=82.75
D．25[1+（1+x）+（1+x）2]=82.75
设利润平均每月的增长率为x，
又知：
第一季度的利润是82.75万元，
所以，可列方程为：
25[1+（1+x）+（1+x）2]=82.75．
（1+增长率），如果设利润平均每月的增长率为x，根据“第一季度的利润是82.75万元”，列出方程．求平均变化率的方法：
10．某镇2012年投入教育经费2000万元，为了发展教育事业，该镇每年教育经费的年增长率均为x，预计到2014年共投入9500万元，则下列方程正确的是（ ）
A．2000x2=9500
B．2000（1+x）2=9500
C．2000（1+x）=9500
D．2000+2000（1+x）+2000（1+x）2=9500
依题意得2013年投入为2000（x+1），2014年投入为2000（1+x）2，
∴2000+2000（x+1）+2000（1+x）2=9500．
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×
（1+增长率），如果教育经费的年平均增长率为x，根据2012年投入2000万元，预计到2014年共投入9500万元，由此列出方程．
11．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）
A．7m
B．8m
C．9m
D．10m
设原正方形的边长为xm，根据题意，得
（x-3）（x-2）=20，
解得：
x1=7，x2=-2（不合题意，舍去）
即：
原正方形的边长7m．
此题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x-2）m，宽为（x-3）m，根据长方形的面积公式可列出方程，进而求出原正方形的边长．求得剩余的空地的长和宽是解决此题的关键．
12．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（ ）
A．0.5cm
B．1cm
C．1.5cm
D．2cm
设AC交A′B′于H，
∵∠A=45°
，∠D=90°
∴△A′HA是等腰直角三角形
设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2-x
∴x•（2-x）=1
∴x=1
即AA′=1cm．
由平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′=x，则阴影部分的底长为x，高A′D=2-x，根据平行四边形的面积公式列出方程求解．解答此题的关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．
13．某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（ ）
A．20%
B．40%
C．-220%
D．30%
设每年投资的增长率为x，
根据题意，得：
5（1+x）2=7.2，
x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去），
故每年投资的增长率为为20%．
先设每年投资的增长率为x，再根据2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，列方程求解．此题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．
14．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为（ ）
A．10cm
B．13cm
C．14cm
D．16cm
正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x-3×
2）厘米，高为3厘米，根据题意，得
（x-3×
2）（x-3×
2）×
3=300，
解得x1=16，x2=-4（不合题意，舍去），
答：
正方形铁皮的边长应是16厘米．
设正方形铁皮的边长应是x厘米，则做成没有盖的长方体盒子的长、宽为（x-3×
2）厘米，高为3厘米，根据长方体的体积计算公式列方程进行解答．此题主要考查长方体的体积计算公式：
长方体的体积=长×
宽×
高，以及平面图形折成立体图形后各部分之间的关系．
15．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，分支和小分支总数是91，每个支干长出的小分支数目是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意，得
x2+x+1=91，
x=9或x=-10（不合题意，应舍去），
∴x=9．
由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，由此列方程求得x的值．此题要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，列方程求解，注意能够熟练运用因式分解法解方程．
二、填空题
16．为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2007年用于绿化的投资20万元，2009年用于绿化的投资是25万元，求这两年绿化投资的平均增长率，设这两年绿化投资的平均增长率为x，根据题意所列的方程为
20×
（1+x）2=25
∵2007年用于绿化的投资20万元，这两年绿化投资的平均增长率为x，
∴2008年的绿化投资为20×
（1+x），
∴2009年的绿化投资为20×
（1+x）×
（1+x）=20×
（1+x）2，
∴可列方程为20×
（1+x）2=25．
故答案为：
2009年绿化投资=2007年的绿化投资×
（1+两年绿化投资的平均增长率）2，把相关数值代入进行求解．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±
x）2=b，得到2009年绿化投资的等量关系是解决此题的关键．
17．某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为4608元/台，则平均每次降价的百分率为
20%
设平均每次降价的百分率为x，根据题意，得
7200（1-x）2=4608，
x1=1.8（舍去），x2=0.2．
20%．
设平均每次降价的百分率为x，则两次降价后的售价为7200（1-x）2，由7200（1-x）2=4608建立方程求出其解．此题考查了增长率（或降低率）问题，利用列一元二次方程解决实际问题．
18．某初中毕业班的每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为纪念，全班共送了2550张照片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程
x（x-1）=2550
全班有x名学生，那么每名学生送照片（x-1）张，全班应该送照片x（x-1）张，
则可列方程为：
x（x-1）=2550．
如果全班有x名学生，那么每名学生送照片（x-1）张，全班应该送照片x（x-1），那么根据题意列出方程．找到关键描述语，根据等量关系列出方程；
弄清每名同学送出的照片是（x-1）张是解决此题的关键．
19．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．
经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出
2件．据此规律计算：
每件商品降价
元时，商场日盈利可达到2100元．
20
∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50-x，
（50-x）（30+2x）=2100，
化简得：
x2-35x+300=0，
x1=15，x2=20，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x=20，
20．
根据等量关系为：
每件商品的盈利×
可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算进行解答．此题主要考查了一元二次方程的应用，得到总盈利2100的等量关系是解决此题的关键．
20．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为
（35-2x）（20-x）=600（或2x2-75x+100=0）
把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（35-2x）米，宽为（20-x）米，
∴可列方程为（35-2x）（20-x）=600（或2x2-75x+100=0）．
（35-2x）（20-x）=600（或2x2-75x+100=0）．
把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程．利用平移的知识得到种植面积的形状是解决此题的关键；
得到种植面积的长与宽是解决此题的易错点．
三、解答题
21．在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2，已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．
设花边的宽度为x米，根据题意，得
（2-2x）（1.4-2x）=1.6
x1=1.5（舍去），x2=0.2．
花边的宽度为0.2米．
此题可根据矩形的面积=长×
宽来计算，那么大矩形的长-花边=新的长，大矩形的宽-花边=新的宽，新的长×
新的宽=1.6，由此可求出未知数的值．注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
22．宜城市某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售，由于国务院“新国五条”出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米3240元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
设平均每次下调的百分率是x，根据题意，得
4000（1-x）2=3240
x=0.1=10%或x=1.9（不合题意，舍去）
所以，平均每次下调的百分率是10%．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；
②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
方案①实际花费=100×
3240×
98%=317520元，
方案②实际花费=100×
3240-100×
80=316000元，
∵317520＞316000，
∴方案②更优惠．
（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用预订每平方米销售价格×
（1-每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格列方程进行解答；
（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案②更优惠．
23．如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程．
挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，则
（80+2x）（50+2x）=5400，
4x2+160x+4000+100x=5400，
4x2+260x-1400=0．
所以x2+65x-350=0．
挂图长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，根据其积为5400，即长×
宽=5400，列方程进行化简，得到一元二次方程的一般形式．
24．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长25m）另外三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）若养鸡场面积为200m2，求鸡场靠墙的一边长．
设宽为x米，长（40-2x）米，根据题意，得
x（40-2x）=200，
-2x2+40x-200=0，
x1=x2=10，
则鸡场靠墙的一边长为：
40-2x=20（米），
鸡场靠墙的一边长20米．
（2）养鸡场面积能达到250m2吗？
如果能，请给出设计方案；
如果不能，请说明理由．
x（40-2x）=250，
∴-2x2+40x-250=0，
∵b2-4ac=402-4×
（-2）×
（-250）＜0，
∴方程无实数根，
∴不能使鸡场的面积能达到250m2．
（1）首先设出鸡场宽为x米，则长（40-2x）米，然后根据矩形的面积=长×
宽，用未知数表示出鸡场的面积，根据面积为200m2，列出方程，解方程进行求解；
（2）要求鸡场的面积能否达到250平方米，只需让鸡场的面积先等于250，然后看得出的一元二次方程有没有解，如果有就证明可以达到250平方米，如果方程无实数根，说明不能达到250平方米．
25．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是______斤（用含x的代数式表示）；
将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+
×
20=100+200x斤，所以答案为：
100+200x．
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
（4-2-x）（100+200x）=300，
x=
或x=1，
∵每天至少售出260斤，
∴x=1．
张阿姨需将每斤的售价降低1元．
（1）销售量=原来销售量-下降销售量，据此列式表示；
（2）根据销售量×
每斤利润=总利润列出方程求解．此题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而表示出利润；
第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．
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