华师大版九年级数学下册教案263实践与探索.docx
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华师大版九年级数学下册教案263实践与探索
26．3 实践与探索
第1课时 二次函数的应用
教学目标
一、基本目标n加油
会运用二次函数的图象与性质解决生活中的实际问n加油题，培养分析和解决问题的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
利用二n加油次函数解决实际问题的步骤．
【教学难点】
读懂题意，n加油找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．
教学过程
环节1 自学提n加油纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P26～P27的内容，完n加油成下面练习．
【3min反馈】
1．一般地，对于二次n加油函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞0，当x＝－
n加油时，函数值y有最小值，其值为
；若a＜0，n加油当x＝－
时，函数值y有最大值，其值为
.
2．建立二次函数模型，解决n加油实际问题的一般步骤：
（1）根据题意建立适当的平面直角坐标系；
（2）把已知n加油条件转化为点的坐标；
（3）合理设出所求函数的解析式；
n加油（4）利用待定系数法求出函数解析式；
（5）根据求得的n加油解析式进一步分析判断并进行相关的计算．
3．常n加油见的二次函数模型：
直观图象式：
直接由物体运动的轨迹，如喷出的n加油水流、涵洞等建立数学模型解决问题．
情景应n加油用式：
根据实际问题创设情景，由所提供的条件建立数学模型解决问题．
几何n加油综合式：
与几何知识结合并运用其性质建立数学模型解决问题．
环节2 合作探究，解决n加油问题
活动1 小组讨论（师生互学）
【例n加油1】某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中n加油央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷n加油头向外喷水．柱子在水面以上部分的高度为1.25m，水流在各个方向n加油沿形状相同的抛物线路径落下，如图1所示．
根据设计图纸已知：
在图2所示的n加油平面直角坐标系中，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（n加油m）之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋
.
（n加油1）喷出的水流距水面的最大高度是多少？
（2）如果不计n加油其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的半径至少为多少时，才能n加油使喷出的水流都落在水池内？
【互动探索】（引发学生思考）在已知抛物线解析式的情n加油况下，利用其性质，求顶点（最大高度）、与x轴、y轴的交点，解答题目的问题．
n加油【解答】
（1）∵y＝－x2＋2x＋
＝－（n加油x－1）2＋2.25，
∴顶点是（1,2n加油.25），
故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米．
（2）解方程－x2＋n加油2x＋
＝0，
得x1＝－
，x2＝
，
∴点B的坐标为
，
∴OB＝
.
故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至n加油于落在水池外．
【互动总结】（学生总结，老师点评）这是一个运用抛n加油物线的有关知识解决实际问题的应用题，利用抛物线的性质即可解决问题．
【例2】一n加油个涵洞的截面边缘是抛物线，如图．现测得当水面宽AB＝1.6n加油m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m．这时，离开水面1.5n加油m处，涵洞宽ED是多少？
是否会超过1m?
【互动探索】（引发学n加油生思考）根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为y＝ax2.根据AB＝1.n加油6，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么n加油B点坐标应该是（0.8，－2.4），利用待定系数法即可求出函数的解析n加油式，继而求出点D的坐标及ED的长．
【解答】设抛物线的函数解析式n加油为y＝ax2（a＜0）．
由题意，得点B在抛物线上，且B（0.8，－2.4），n加油
将B（0.8，－2.4）代入y＝ax2（a＜0），
解得a＝－
，
∴所求函数解析式为y＝－
n加油x2.
设点D的坐标为（x，－0.9）（x>0），
则有－n加油0.9＝－
x2，解得x＝
，
故DE宽度为
＜1，
∴涵洞宽ED不超过1m.n加油
【互动总结】（学生总结，老师点评）本题主要考查了用待定n加油系数法求二次函数的解析式及二次函数的实际应用，根据图中信息得出函数经过的点的n加油坐标是解题的关键．
活动2 巩固练习（学生独n加油学）
1．如图，在排球赛中，一队员站在边线发球n加油，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达n加油最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？
解：
球n加油出边线了．
【教师点拨】抛物线的解析式为y＝－
（x－9）2＋5.5.代入C点的纵坐标0，得x≈20.12＞18n加油，所以球出边线了．
2．某公司草坪的护栏是由n加油50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每n加油段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管（如图1）做成的立n加油柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员n加油利用图2所示的坐标系进行计算．
（1）求该抛物n加油线的函数关系式；
（2）计算所需不锈钢管立n加油柱的总长度．
图1
图2
解：
（1）y＝－
x2＋
.
（2）80米．
3．如图，一位运动员在距篮下4m处跳n加油起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5n加油m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入n加油篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.
（1）建立如图所示n加油的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高n加油1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：
n加油球出手时，他跳离地面的高度是多少？
解：
（1）抛物线的n加油表达式为y＝－0.2x2＋3.5.
（2）0.2m.
活动3 拓展延伸n加油（学生对学）
【例3】某跳水运动员在进行10m跳n加油台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线n加油．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10
m，入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m或n加油5m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水n加油姿势，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线的函n加油数关系式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运n加油动路线是
（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水n加油平距离为3
m，问：
此次跳水会不会失n加油误？
通过计算说明理由．
【互动探索】
（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式．（n加油2）要判断会不会失误，只要看运动员是否在距水面高度n加油5m以前完成规定动作，于是只要求运动员在距池边水平距离为3
m时的纵坐标即可．
【解答】（n加油1）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y＝n加油ax2＋bx＋c.
由题意知，O、B两点的坐标依次为（0,0）n加油、（2，－10），且顶点A的纵坐标为
，
∴
解得
或
∵抛物线n加油对称轴在y轴右侧，∴－
＞0，
∴a＝－
，b＝
，c＝0.
∴n加油抛物线的解析式为y＝－
x2＋
x.
（2）此次试跳会出现失误．理由如n加油下：
由题意知，横坐标为3.6－2＝1.6，
即当x＝1.6时，y＝n加油
×
2＋
×
＝－
，
此时运动员距水面的高为10－
＝
＜5.
因此，此次试跳会出现失误．
【互动总结】n加油（学生总结，老师点评）本题主要考查了二次函数的实际应用，n加油解答二次函数的应用问题时，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
n加油环节3 课堂小结，当堂达标
（学生总结，老师点评）n加油
练习设计
请完成本课时对应训练！
第2课时 二次函数与一元二n加油次方程、不等式的关系
教学目标
一、基本目标
1．经n加油历探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系的过n加油程，体会二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系．
2．理解一元n加油二次方程ax2＋bx＋c＝h的根就是二次函数y＝ax2n加油＋bx＋c的图象与直线y＝h（h是实数）交点的横坐标．
二、重n加油难点目标
【教学重点】
二次函数与一元二次方程、n加油一元二次不等式的联系．
【教学难点】
用图象法解一元二次不等式．
教学过程
n加油环节1 自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材Pn加油28的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．二次函数yn加油＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：
有两n加油个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0n加油的根也有三种情况：
有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有n加油实数根.
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二n加油次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
3．观察图中的抛物线与x轴的交点情况n加油，你能得出相应方程的根吗？
（1）方程x2＋x－2＝0的根是x1＝－2，xn加油2＝1；
（2）方程x2－6x＋9＝0的根是n加油x1＝x2＝3；
（3）方程x2－x＋1＝0的根的情n加油况是无实根.
4．若二次函数的解析式为y＝2x2－n加油4x＋3，则其函数图象与x轴交点的情况是没有交点.
5．n加油给出三个二次函数：
①y＝x2－3x＋2；②y＝x2－x＋1；③y＝n加油x2－2x＋1.
它们的图象分别为
（1）观察图象n加油与x轴的交点个数，分别是2个、0个、1个．
n加油
（2）你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？
图象与x轴的交点个数与n加油对应的一元二次方程的根的情况有关．
（3）能否利用二次函数y＝ax2＋n加油bx＋c的图象寻找方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），不等式an加油x2＋bx＋c>0（a≠0）或ax2＋bx＋c<0n加油（a≠0）的解？
能．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论n加油（师生互学）
【例1】画出函数y＝x2－x－
的图象n加油，根据图象回答下列问题．
（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
（n加油2）当x取何值时，y＝0？
这里x的取值与方程x2－x－
＝0有什么关系？
（3）x取什么值时，函数值n加油y大于0？
x取什么值时，函数值y小于0?
【互动探索】（引发学生思n加油考）数形结合法：
画出函数图象→根据所画图象解决问题．
【解答】函数图象如n加油图所示：
（1）图象与x轴的交点坐标为
、
，与y轴的n加油交点坐标为
.
（2）当x＝－
或x＝
时，y＝0，xn加油的取值与方程x2－x－
＝0的解相同．
（3）当x＜－
或x＞
时，y＞0；当－
＜x＜
时，y＜0.
【互n加油动总结】（学生总结，老师点评）解决此类问题常用数形结合的思想方法n加油：
（1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反n加油过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．（2n加油）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图n加油象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不n加油等式的解集．
活动2 巩固练习（学生独学）
1．如图是抛物线y＝n加油ax2＋bx＋c的图象的一部分，请你根据图象求出方程ax2＋bx＋c＝0的n加油两根是x1＝－3，x2＝1.
2．若二次函数y＝x2－2x＋c的图象与x轴没有交n加油点，求c的取值范围．
解：
∵二次函数y＝x2－2xn加油＋c的图象与x轴没有交点，∴x2－2x＋c＝0的判别式Δ＜0，即b2n加油－4ac＝4－4c＜0，解得c＞1.
3．若二次函数y＝ax2＋bx＋n加油c（a≠0）的图象的最低点的坐标为（1，－1），求关于n加油x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1的根．
解：
∵二次函数y＝ax2＋n加油bx＋c（a≠0）的图象的最低点的坐标为（1，－1），∴二次函数y＝ax2n加油＋bx＋c（a≠0）的图象的顶点是（1，－1），∴当y＝－1，即axn加油2＋bx＋c＝－1时，x1＝x2＝1，∴关于x的一元二次方程ax2＋bxn加油＋c＝－1的根为x1＝x2＝1.
4．已知二次n加油函数y＝2x2－4x－6.
（1）此函数图象的开口方n加油向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；
（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？
n加油（3）通过观察图象，在x＞0及当y≥－6时，试求x的n加油取值范围．
解：
（1）∵y＝2x2－4x－6＝2（x－1）2－8，∴图象n加油开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，－8）．画出的函数图象如下图所n加油示：
（2）∵对称轴x＝1，图象开口向上，∴当x＞n加油1时，y随x的增大而增大．
（3）由图知，点（0，－6）关于x＝1的对称n加油点为（2，－6），∴在x＞0及当y≥－6n加油时，x的取值范围为x≥2.
活动3 拓展延伸（学生对学）
【例2】已知二次函n加油数y＝x2－（a－1）x＋a－2，其中a是常数n加油．
（1）求证：
不论a为何值，该二次函数的图象与n加油x轴一定有公共点；
（2）当a＝4时，该二n加油次函数的图象顶点为A，与x轴交于B、D两点n加油，与y轴交于点C，求四边形ABCD的面积．
【互动探索】
（1）要证明二次函n加油数的图象与x轴一定有公共点，可以转化为一元二次方程根的n加油判断方法．
（2）由a＝4→确定A、B、C、D的坐标→求四边形ABCn加油D的面积．
【解答】
（1）证明：
令y＝x2－（a－1）x＋a－2＝0.n加油
∵Δ＝[－（a－1）]2－4（a－2）＝（n加油a－3）2≥0，
∴方程x2－（a－1）x＋a－2＝0n加油有实数根，
∴不论a为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．
（2）由题可n加油知，当a＝4时，y＝x2－3x＋2.
配方，得y＝x2－3x＋n加油2＝
2－
，
∴A
.
n加油当y＝0时，x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝n加油2.
∴B（1,0）、D（2,0）．
当x＝0时，n加油y＝2，
∴C（0,2），
∴S四边形ABn加油CD＝S△ABD＋S△BDC＝
＋1＝
.
【互动总结】（学生总结，老师n加油点评）要判断二次函数的图象与x轴的交点情况，只需要将二次函数转化为一n加油元二次方程，然后判断方程的根的情况即可．
环节3 课堂小结，当堂达n加油标
（学生总结，老师点评）
1．二次函数与一元二n加油次方程有下列对应关系：
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0n加油）的图象与x轴的位置关系
一元二次方程ax2＋bn加油x＋c＝0（a≠0）的根的情况
b2－4ac的值
有两个公共点n加油
有两个不相等的实数根
b2－4ac>0
只有一个公共点
有两个相等的实数根
n加油b2－4ac＝0
无公共点
无实数根
b2－4ac2.若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为（x0,0），则n加油x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．
练n加油习设计
请完成本课时对应训练！
第3课时 利用二次函数n加油的图象求一元二次方程的根
教学目标
一、基本目标
1．掌握方程与函数间的转化．n加油
2．掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．
二、重难点目标
【教学重n加油点】
能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
【n加油教学难点】
用图象法求解一元二次方程．
教学过程
环节1 自n加油学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P29的内容，完成下n加油面练习．
【3min反馈】
1．我们可以n加油利用二次函数的图象求一元二次方程的根，这样求出的根是准确值吗？
由于作图或观察可n加油能存在误差，由二次函数的图象求得一元二次方程的根，一般是近似值．
2．根据二次n加油函数的图象求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的近似解的方法：
（1）直接n加油作出函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程axn加油2＋bx＋c＝0的根；
（2）先将方程ax2＋bx＋c＝0变形为ax2＋bn加油x＝－c，再分别作抛物线y1＝ax2＋bx和直线y2＝－c，则两图象n加油交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根；
n加油（3）先将方程ax2＋bx＋c＝0变形为ax2＝－bxn加油－c，再分别作出抛物线y1＝ax2和直线y2＝－bx－c，则两n加油图象交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
3．在难以读出交点的n加油坐标时，我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的近n加油似根．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组n加油讨论（师生互学）
【例1】利用函数的图象，求下列方程的解：
（1n加油）x2＋2x－3＝0；
（2）2x2－5x＋2＝0.
【互动探索】n加油（引发学生思考）将一元二次方程转化为两个函数→利用图象法求交n加油点坐标即可．
【解答】
（1）在同一直角坐标n加油系中画出函数y＝x2和y＝－2x＋3的图象，
得到它们的交点（－3n加油,9）、（1,1），如图1，
则方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，xn加油2＝1.
（2）先把方程2x2－5x＋2＝0化为xn加油2－
x＋1＝0，然后在同一直角坐标系中画出函数n加油y＝x2和y＝
x－1的图象n加油，如图2，
得到它们的交点
、（2,4），
则方程2x2－5x＋2＝0的解为x1＝n加油
，x2＝2.
【互动总结】n加油（学生总结，老师点评）一般地，求一元二次方程ax2＋bx＋n加油c＝0（a≠0）的近似解时，可先将方程ax2＋n加油bx＋c＝0化为x2＋
x＋
＝n加油0，然后分别画出函数y＝x2和y＝－
x－
的图象，得出两函数图象的交点，交点的横坐标即为方程的解．n加油
【例2】利用函数的图象，求下列方程组的解：
n加油
（1）
（2）
【互动探索】（n加油引发学生思考）
（1）可以通过直接画出函数y＝－
xn加油＋
和y＝x2的图象，得到它们的交点，n加油从而得到方程组的解；
（2）也可以同样解决．
【解答】
（1）在同一直角坐标系中画出n加油函数y＝x2和y＝－
n加油x＋
的图象，如图1，
得到它n加油们的交点
、n加油（1,1），
则方程组
的解为
（2）在同一直角坐标系中画出函数y＝x2＋2x和y＝3x＋6的图象，如图2，得到它们的交点（－2,0）、（3,15），则方程组
的解为
【互动总结】（学生总结，老师点评）根据题意分别画出两函数的图象，由函数图象的交点即可得出方程组的解，考查的是用数形结合的方法求方程组的解，解答此题的关键是正确画出函数的图象，找出两图象的交点坐标．
活动2 巩固练习（学生独学）
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，y与x的部分对应值如下：
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
y
－1.59
－1.16
－0.71
－0.24
0.25
0.76
则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个解x满足条件（ C ）
A．1.2＜x＜1.3B．1.3＜x＜1.4
C．1.4＜x＜1.5D．1.5＜x＜1.6
2．如图，二次函数y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）与y2＝kx＋b（k≠0）的图象交于A（－2,4）、B（8,2），求能使y1解：
－2＜x＜8.
一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：
“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：
“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
3．用函数的图象求下列方程的解：
（1）x2－3x＋2＝0；
这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
要求学生抽空抄录并且阅读成诵。
其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。
如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。
如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?
（2）－x2－6x－9＝0.
解：
（1）画图略，方程的解是x1＝1，x2＝2.
（2）画图略，方程的解是x1＝x2＝－3.
4．利用函数的图象求下列方程组的解：
（1）
（2）
解：
（1）画图略，方程组的解为
（2）画图略，方程组的解为
活动3 拓展延伸（学生对学）
【例3】利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根．（精确到0.1）
【互动探索】利用图象求一元二次方程的近似根．
【解答】一元二次方程x2－2x－1＝0的根是函数y＝x2－2x－1与x轴交点的横坐标．
作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示：
由图象可知，方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间．
先求－1和0之间的根：
当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25.
因此，x＝－0.4是方程的一个近似根．
同理，x＝2.4是方程的另一个近似根．
综上，x1≈－0.4，x2≈2.4.
【互动总结】（学生总结，老师点评）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：
（1）画出二次函数的图象；
（2）确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间；（3）列表或直接取值代入方程计算，哪一个值能使方程近似成立，则这个值就是方程的近似根．
环节3 课堂小结，当堂达标
（学生总结，老师点评）
1．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：
（1）画出二次函数的图象；
（2）确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间；
（3）列表，在
（2）中的两数之间取值，进行估计．
2．在列表求近似根时，近似根就出现在对应y值正负交换的位置，也就是对x取一系列值，看y对应于哪两个值由负变成正，或由正变成负，此时x的两个对应值之间必有一个近似根．
练习设计
请完成本课时对应训练！
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