高中物理相遇和追及问题分析.docx

高中物理相遇和追及问题分析.docx

《高中物理相遇和追及问题分析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中物理相遇和追及问题分析.docx（21页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

高中物理相遇和追及问题分析

高中物理相遇和追及问题分析

1.相遇和追及问题的实质:

研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。

2.画出物体运动的情景图，理清三大关系

（1）时间关系：

 tA = tB ± t0 

（2）位移关系：

sA = sB ± s0 （3）速度关系：

两者速度相等。

它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界

条件，也是分析判断的切入点。

3.两种典型追及问题

（1）速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）

①当 v1=v2 时，A 末追上 B，则 A、B 永不相遇，此时两者间有最小距离；②当 v1=v2 时，A 恰好追上

B，则 A、B 相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件；③当 v1>v2 时，A 已追上 B，则 A、B 相遇两次，

且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。

（2）同地出发，速度小者（初速度为零的匀加速）追速度大者（匀速）

①当 v1=v2 时，A、B 距离最大；②当两者位移相等时,有 v1=2v2 且 A 追上 B。

A 追上 B 所用的时间等

于它们之间达到最大距离时间的两倍。

4.相遇和追及问题的常用解题方法:

画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找出临界

状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。

1）基本公式法—根据运动学公式，把时间关系渗透到位移

关系和速度关系中列式求解 2）图像法—正确画出运动的 v-t 图像,根据图像的斜率、截距、面积的物理意

义结合三大关系求解 3）相对运动法—巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态，根据运动学公式列式求

解 4）数学方法—根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中 Δ 判

别式求解。

5.追及和相遇问题的求解步骤

两个物体在同一直线上运动，往往涉及追及，相遇或避免碰撞等问题，解答此类问题的关键条件是：

两物体能否同时达到空间某位置。

基本思路是：

①分别对两物体进行研究；②画出运动过程示意图；③列

出位移方程④找出时间关系，速度关系 ⑤解出结果，必要时进行讨论。

（1）追及问题：

追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件。

第一类：

速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀减速直线运动）

① 当两者速度相等时,追者位移追者位移仍小于被追者位移,则永远追不上,此时两者之间有最小距离。

② 若两者位移相等,且两者速度相等时,则恰能追上,也是两者避免碰撞的临界条件。

③ 若两者位移相等时,追着速度仍大于被追者的速度,则被追者还有一次追上追者的机会,当速度相等时

两者之间距离有一个最大值。

在具体求解时,可以利用速度相等这一条件求解,也可以利用二次函数的知识求解，还可以利用图象等

1

求解。

第二类：

速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（匀速直线运动）。

① 当两者速度相等时有最大距离②当两者位移相等时，则追上

具体的求解方法与第一类相似，即利用速度相等进行分析还可利用二次函数图象和图象图象。

（2）相遇问题

①同向运动的两物体追及即相遇②相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体

间的距离时相遇

6.分析追及，相遇问题时要注意

（1）分析问题是，一个条件，两个关系。

一个条件是：

两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的

距离是最大还是最小及是否恰好追上等。

两个关系是：

时间关系和位移关系。

时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；而位移关系是指两物体

同地运动还是一前一后等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习

中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有好处。

（2）若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意，追上前该物体是否已停止运动。

仔细审题，注意

抓住题目中的关键字眼，充分挖出题目中的隐含条件，如“刚好”，“恰巧”，最多“，”至少“等。

往往对

应一个临界状态，满足相应的临界条件。

7.追及问题的六种常见情形

（1）匀加速直线运动的物体追匀速直线运动的物体：

这种情况定能追上，且只能相遇一次；两者之间在

追上前有最大距离，其条件是 V 加 = V 匀

（2）匀减速直线运动追匀速直线运动物体：

当 V 减 = V 匀时两者仍没到达同一位置，则不能追上；当 V 减

= V 匀时两者正在同一位置，则恰能追上，也是两者避免相撞的临界条件；当两者到达同一位置且 V 减 ＞ V

匀时，则有两次相遇的机会。

（3）匀速直线运动追匀加速直线运动物体：

当两者到达同一位置前，就有 V 加 = V 匀，则不能追上；当两

者到大同位置时 V 加 = V 匀，则只能相遇一次；当两者到大同一位置时 V 加 ＜ V 匀则有两次相遇的机会。

（4）匀速直线运动物体追匀减速直线运动物体：

此种情况一定能追上。

（5）匀加速直线运动的物体追匀减速直线运动的物体：

此种情况一定能追上。

（6）匀减速直线运动物体追匀加速直线运动物体：

当两者在到达同一位置前 V 减 = V 加，则不能追上；当

V 减 = V 加时两者恰到达同一位置，则只能相遇一次；当地一次相遇时 V 减 ＞ V 加，则有两次相遇机会。

（当

然，追及问题还有其他形式，如匀加速追匀加速，匀减速追匀减速等，请同学们独立思考）。

8.典型例题

例 1.A 火车以 v1=20m/s 速度匀速行驶,司机发现前方同轨道上相距 100m 处有另一列火车 B 正以

v2=10m/s 速度匀速行驶，A 车立即做加速度大小为 a 的匀减速直线运动。

要使两车不相撞,a 应满足什么条

件？

2

解 1：

（公式法）两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。

由 A、B 速度关系：

 v1 - at = v2 由

A、B 位移关系：

 v1t -

1

2

at 2 = v2t + x0 a =

（v1 - v2 ）2

2x0

=

（20 -10）2

2 ⨯100

m / s2 = 0.5m / s2 ∴ a > 0.5m / s2

解 2：

（图像法）在同一个 v-t 图中画出 A 车和 B 车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，

两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当 t=t0 时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部

分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过 100.

1

2

⨯ （20 -10）t0 = 100

∴t0 = 20s

a = tan α =

20 -10

20

= 0.5

∴ a > 0.5m / s2

物体的 v-t 图像的斜率表示加速度,面积表示位移。

解 3：

（相对运动法）以 B 车为参照物，A 车的初速度为 v0=10m/s，以加速度大小 a 减速，行驶

x=100m 后“停下”，末速度为 vt=0。

a ==m / s2 = -0.5m / s2

2x02 ⨯100

∴ a > 0.5m / s2 备注：

以 B 为参照物,公式中的各个量都应是相对于 B 的物理量.注意物理量的正负号。

2

1

2

at 2 -10t +100 > 0 其图像（抛物线）的顶点纵坐标必为正值,故有

4⨯

1

2

a ⨯100 - （-10）2

1

2

> 0

∴ a > 0.5m / s2 把

物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。

例 2.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以 3m/s2 的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆

自行车以 6m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车。

试求：

汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多

长时间两车相距最远？

此时距离是多少？

解 1：

（公式法）当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。

设经时间 t 两车之间

的距离最大。

则

v汽 = at = v自

∴t =

v自

a

=

6

3

s = 2s

∆xm = x自 - x汽 = v自t -

1

2

at 2 = 6 ⨯ 2m -

1

2

⨯ 3 ⨯ 22 m = 6m

解 2：

（图像法）在同一个 v-t 图中画出自行车和汽车的速度时间图像，根据图像面积的物理意义，

两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当 t=t0 时矩形与三角形的面积之差最大。

v-t 图像的斜率表示物体的加速度

6

t0

= tan α = 3

∴t0 = 2s

3

2

动态分析随着时间的推

移,矩形面积（自行车的位移）与三角形面积（汽车的位移）的差的变化规律.

解 3：

（相对运动法）选自行车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对自行车沿

反方向做匀减速运动 v0=-6m/s，a=3m/s2，两车相距最远时 vt=0

对汽车由公式 vt = v0 + at （由于不涉及位移，所以选用速度公式） t =

vt - v0

a

=

0 - （-6）

3

s = 2s

t2

对汽车由公式 ：

 v2 - v0 = 2as （由于不涉及“时间”，所以选用速度位移公式。

 ）

s =

v2 - v0

2a

=

0 - （-6）2

2 ⨯ 3

m = -6m 表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位

移为向后 6m.

解 4：

（二次函数极值法）设经过时间 t 汽车和自行车之间的距离 Δx，则

∆x = v自t -

1

2

at 2 = 6t -

3 2

2

6

3

2

= 2s时 ，∴ ∆xm =

- 62

3

2

= 6m

思考：

汽车经过多少时间能追上摩托车?

此时汽车的速度是多大?

汽车运动的位移又是多大？

t= 0

∆x = 6t -

3 2

2

∴ T = 4s

v汽 = aT = 12m / s

s汽 =

1

2

aT 2＝24m

例 3.一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。

桌布的一边与桌的 AB 边重合，如图。

已知盘与桌布间的动摩擦因数为 μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为 μ2。

现突然以恒定加速度 a 将桌布抽离

桌面，加速度方向是水平的且垂直于 AB 边。

若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度 a 满足的条件是什么？

（以 g 表示重力加速度）

解：

设圆盘的质量为 m，桌长为 l，在桌布从圆盘上抽出的过程中，盘的加速度为 a1，有

μ1mg = ma1 桌布抽出后，盘在桌面上作匀减速运动，以 a2 表示加速度的大小，有 μ2mg = ma2 设盘刚离

开桌布时的速度为 v1，移动的距离为 x1，离开桌布后在桌面上再运动距离 x2 后便停下，

2

v1 = 2a2 x2 盘没有从桌面上掉下的条件是 x1 + x2 ≤

l

2

设桌布从盘下抽出所经历时间为 t，在这段时间内桌布移动的距离为 x，有

x =

1

2

at 2

x1 =

1

2

a1t 2

而 x =

l

2

+ x1 由以上各式解得 ：

 a ≥ 1

μ1g

例 4.一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以 a＝3m/s2 的加速度开始行驶，恰在这时一辆

自行车以 v0＝6 m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：

（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前

经过多长时间两车相距最远？

最远距离是多大？

（2）当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？

解析：

　法一：

用临界条件求解．

v

（1）当汽车的速度为 v＝6 m/s 时,二者相距最远，所用时间为 t＝a＝2 s,最

4

1

远距离为 Δs＝v0t－2at2＝6 m.

1

（2）两车距离最近时有 v0t＝2at2 解得 t＝4 s 汽车的速度为 v＝at＝12 m/s.

法二:

用图象法求解．

（1）汽车和自行车的 vt 图象如图所示，由图象可得 t＝2s 时，二者相距最远．最远

1

距离等于图中阴影部分的面积，即 Δs＝2×6×2 m＝6 m.

（2）两车距离最近时，即两个 vt 图线下方面积相等时，由图象得此时汽车的速度为 v＝12 m/s.

法三:

用数学方法求解．

－v0

1

（1）由题意知自行车与汽车的位移之差为 Δs＝v0t－2at2 因二次项系数小于零，当 t＝

1

2 × － a

2 ＝2 s 时

1

1

有最大值，最大值 Δsm＝v0t－2at2＝6×2 m－2×3×22 m＝6 m.

1

（2）当 Δs＝v0t－2at2＝0 时相遇得 t＝4 s，汽车的速度为 v＝at＝12 m/s.

分析追及、相遇问题的常用方法 1）物理分析法：

抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真

审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景 2）相对运动法：

巧妙地选取参考系,

然后找两物体的运动关系 3）极值法：

设相遇时间为 t,根据条件列方程，得到关于 t 的一元二次方程，用判别

式进行讨论,若 Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若 Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若 Δ<0,说明追不上或

不能相碰 4）图象法：

将两者的速度－时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解.

一道“追及和相遇问题”试题的思考和引申

A、B 两列火车在同一轨道上同向行驶，A 在前，速度为 vA＝10m/s，B 在后，速度为 vB＝30m/s，因

大雾能见度低，B 车在距 A 车 500m 时，才发现前方有 A 车，这时 B 车立即刹车，但要经过 1800mB 车才

能停下，问：

（1）车若要仍按原速前进，两车是否相撞？

试说明理由。

（2）B 在刹车的同时发出信号，A 车司

机在收到信号 1.5s 后加速前进，A 车加速度为多大时，才能避免事故发生？

（不计信号从 A 传到 B 的时

间）

第一问的解法如下：

s0       sA

l

解：

先求 B 车从刹车到停下来所需时间 tB

2vB30

再求在相同的时间内 A 车通过的位移 sA, sA=vA·tB=10×120m=1200m

sB

最后比较 sA+s0 和 sB 的大小关系即可判断结果.由于 sA+s0=（1200+500）m=1700m 故 sA+s0＜sB 由位置关

系图可知两车会相撞。

提问 1：

通过上面的计算我们知道两车能相撞，试问它们何时相撞？

2

车刹车过程中的加速度，根据已知条件很易求出 a＝-0.25m/s2），将 sA、sB 的表达式代入上式解得 t1=31s，　　

5

t2=129s

提问 2：

为什么有两个解？

t2 是否有意义？

答：

A、B 两车相撞两次，第一次是 B 车追上 A 车，第二次是 A 车追上 B 车。

两车只能相撞一次，

故 t2 没有意义。

提问 3：

B 车追上 A 车时，哪车的速度大？

30

a

为 t’＞ t1，故 B 车的速度大。

提问 4：

若 A、B 两车相遇但不会相撞，A 车又追上 B 车时，B 车的速度是多大？

从 B 车开始减速到

两车第二次相遇共需多少时间？

答：

由于 B 车刹车后经过 120s 后就停下来，故 129s 时它的速度仍为零。

由于 B 车停止后不能往后倒，

故第二次相遇所需时间为：

vA10

提问 5：

若开始两车相距 700m，试问两车是否会相撞？

答：

由于 sA+s0=1200+700m=1900m，而 sB=1800m，即 sA+s0＞sB，故两车不会相撞。

提问 6：

若用第二种方法，即设 B 刹车后经过时间 t 两车相撞，方程是否有解呢？

2

的判别式为△=1602-4×5600=3200＞0，故该方程有解，即相撞，并且有相遇两次的可能。

原来先是 B 超

过 A，后来 A 又超过 B，我们不能认为开始时 A 在 B 的前面，后来 A 仍在 B 的前面，就得出两车不相撞

的结论。

由此可见用简单的位移关系是得不出正确结果的。

提问 7：

试问：

若要使两车不相撞，开始时两车间的距离 s0 至少为多少？

2

整理得 t2-160t+8s0=0 要使两车不相撞，即要使该方程无解，即△＜０即　1602-4×8s0＜0 故 s0＞800m，即

开始时两车间的距离至少为 800m。

提问 8：

若两车刚好能相撞，相撞时两车的速度有何关系？

答：

应该刚好相等，刚开始时 B 车的速度比 A 车的速度大，两车之间的距离减小，当两车的速度达到

相等时，距离最小，之后两车之间的距离将变大，若速度相等时还没有相遇，则两车不会再相遇。

若

s0=800m 时，解得 t=80s，此时 B 车的速度为 v B’ =v B +at=30+（-025）×80m/s=10m/s=v A。

规律总结：

求追及、相遇或相撞问题时，若问两物体能否相撞，一般是设经过时间 t 后两物体相撞，

根据位移关系列出方程，它一般是关于 t 的二次方程，然后根据判别式的正、负或零来判断，若△≥０，

则二者能相撞，若△＜０，则不能相撞；若问二者何时相撞，解法同上，但要注意解是否合理，是否是实

际问题；若问能相遇几次，解出相遇所需的时间，有几个解，就能相遇几次，同样要注意解是否合理；若

求两者之间的最大或最小距离，通常求出两物体速度达到相等时各自的位移，两位移之差即为两物体之间

6

的最大或最小距离；也可设经过时间 t 后两者相距△

，根据位置关系写出S 的表达式，然后根据二次函

数求极值的方法可以求出（一般用配方的方法来求）。

这样，该题第二问的解法很易得出：

设 B 车刹车后经过 ts 两车刚好相撞，则应有：

s B= s A+s0

2

1

2

8

1

2

a A （t-1.5）2+500 刚好相撞，

⎩aA < aB , 会发生二次追击

则

，解得 a A =0.16m/s2

9.总结

一.物理模型：

同一直线，同向（反向）运动。

二.时间关系

1.同时出发，在俩者运动中追及， tA = tB 。

 2.同时

出发，在一个运动中，一个静止追及， tA = tB + ∆t 。

 3.根据物体运动的特点，核对其运动的时间：

确定有

无运动的多过程问题。

三.出发地点关系

1.同地追及，同一地点出发，最后追及相遇 xA = xB 2.异地追及，不在同一地点，最后追及相遇

xA = xB + ∆x

四.位移关系：

A 为汽车 B 为自行车，俩物体的相距 ∆x ，追上时 A 走过的位移 xA ， B 走过的位移 xB ，

xA = ∆x + xB 。

五.追及过程的距离极值问题：

 在追及过程中，当 vA = vB ，A，B 俩物体之间达到距离的极值，可能为最

大或最小，具体问题具体分析。

六.追及过程中的恰好不相碰问题

1.追上的瞬间位移关系：

 xA = ∆x + xB 2.追上的瞬间速度关系：

 vA = vB

七.追上的瞬间比较加速度，分析二次追及问题

1.追上的瞬间位移关系：

 xA = ∆x + xB 2.追上的瞬间速度关系：

 vA ≥ vB ，

⎧aA ≥ aB ,不会发生二次追击

3.追上时的加速度关系：

 ⎨

八.讨论有无二次追及的可能:

 已知 A，B 俩物体相距 x0 ，A 追及 B，讨论追及可能发生的相关问题。

1.当 A 的瞬时速度 vA1 与 B 的瞬时速度 vB1 相等时，即 vA1 = vB1 ，A 的位移为 xA ，B 的位移为 xB ，则

∆x = xA - xB

7

2.讨论 x0 与 ∆x 的关系，

⎧⎧aA ≤ aB , AB不会发生追击问题。

⎪∆x < x0 ⎨

⎪

AB

⎪

0 ⎨

⎩

九.会使用图像法解决追及相遇问题

1.找到 vA = vB 相等的时刻 2.比较面积发现 xA与xB 的关系 3.根据斜率比较加速度 aA与aB 的关系 4.确定解题

方法

十.追及问题的解题步骤

1.分析两物体运动过程及规律，画出两物体运动的示意图 2.核实运动的时间关系，以及出发的地点关系 3.要

注意两点，一是速度相等两者的位置关系,二是位置相同（即相遇）时两者的速度关系,及加速度关 4.由运

动示意图找出两物体位移间关系的方程，或画出运动图像，这是关键 5.联立方程求解，并对结果进行简单

分析．

关于图象问题

1.直线运动的 s-t 图象

（1）意义：

反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律．

（2）图

线上某点切线的斜率的意义①斜率大小：

表示物体速度的大小②斜率的正负：

表示物体速度

的方向．

（3）两种特殊的 s-t 图象①若 s-t 图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状

态（如图甲所示）②若 s-t 图象是一条倾斜的直线，说明物体在做匀速直线运动（如图乙所示）

2.直线运动的 v-t 图象

（1）意义：

反映了直线运动的物体速度随时间

变化的规律

（2）图线上某点切线的斜率的意义①斜率的大小：

表示物体加

速度的大小②斜率的正负：

表示物体加速度的方向（3）两种特殊的 v-t 图

象①匀速直线运动的 v-t 图象是与横轴平行的直线（如图甲所示）②匀变速

直线运动的 v-t 图象是一条倾斜的直线．（如图乙所示）（4）图线与坐标轴围成的“面

积”的意义①图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的位移②若此面积在时间轴的上方，表示这段

时间内的位移方向为正；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负．

温馨提示：

（1）s-t 图象、v-t 图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值是 s、v 与 t 一一对

应

（2）s-t 图象、v-t 图象的形状由 s 与 t、v 与 t 的函数关系决定（3）无论是 s-t 图象还是 v-t 图象，所描

述的运动情况都是直线运动．

3.运动学图象“五看”

一看“线”Error!

二看“斜率”Error!

三看“面积”Error!

四看“纵截距”Error!

五看“特殊点”Error!

8