函数概念的历史发展-最终稿Word文档下载推荐.doc

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在18世纪占主导地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式．

1698年，瑞士著名数学家约翰·

贝努利定义：

由变量x和常量用任何方式构成的量都可以称为x的函数．这里任何方式包括代数式子和超越式子．

1748年，约翰的学生，杰出数学家欧拉在它著名的《无穷小分析引沦》中把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式”，这就把变量与常量以及由它们的加、减、乘、除、乘方、开方和三角、指数、对数等运算构成的式子，均称为函数．并且，欧拉还给出了函数的分类，把函数分为：

代数函数与超越函数，有理函数与无理函数，整函数与分函数，单值函数与多值函数．

当时把函数看作一个解析表达式的还有著名的法国数学家达朗贝尔和拉格朗日．

但这种解析的函数概念有其局阳性，如某些变量之间的对应关系不能用解析式子表达出来，那么根据这个定义就不能称之为函数关系．例如著名的狄利克雷（D1richkt）函数

二、几何的函数概念

因为解析表达式在几何上可表示为曲线，一些数学家把曲线称为函数．

1746年，达朗贝尔在研究弦振动问题时，提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函数．后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，他提出了一个新定义：

函数是“xy平面上随手画出来的曲线所表示的y与x间的关系”．即把函数定义为一条随意画出来的曲线．欧拉称之为任意函数，即包括了由单个解析表达式给出的连续函数，也包括由若干个解析式表示的不连续函数（“不连续”函数的名称是欧拉首次提出的）．但是，欧拉的观点没有被达朗贝尔接受，并展开了激烈争论．

1822年，法国数学家傅立叶提出了任意函数可展开为三角级数，这实际上是说，不管是连续函数或不能用解析表达式给出的函数（凡能用图形给出）都可以用三角级数表示．因此也说明了，仅从表达式是否“单一”，或函数是否连续来区别是不是函数，显然是不合理的．

傅立叶在论文《热的分析理论》中，证明了“由不连续的线给出的函数，能用一个三角函数式来表式”．他举例指出图7．2．1所示的不连续曲线，表达式有无穷多个，即

但可以用单一的三角式表示为 

这有力地揭示了，用函数表示式的“单一”与否来区别函数的真伪是不行的，不久人们进一步发现了同一曲线即可用同一个函数，也可用两个以上的函数表示的种种例子：

三、科学定义的雏形

1775年，欧拉在《微分学》一书中，给出了函数的另一定义：

“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后者变化时前者也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数．”值得指出的是这里的“依赖”，“随之变化”等的含意不十分确切．例如g＝x^2，当x取一3，十3时y均等于9，y没有变化．又如常量函数y＝c，不论x如何变化y总是一个不变的值．因此，该定义限制了函数的外延，只能算函数概念的科学雏型．

19世纪最杰出的法国数学家柯西也给出了如下函数定义：

“若当x的每个值，都有完全确定的y值与之对应，则称y是f的函数．”此定义澄清了函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不清的关系，也避免了数学意义欠严格的“变化”一词，但对函数概念的本质---对应思想强调不够．而且，当时柯西仍然考虑f和y的关系用若干个解析式表示的情况．其实，所谓用解析式表示这一点，对x与y的关系并无多大意义，因此该定义也只能算科学函数概念的维型．

四、函数概念的精确化

1837年，德国数学家黎曼和狄里克雷克服了前述定义的缺陷，给出函数概念的精确化表述：

“若对x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，不管建立起这种对应的方式如何，都称y是x的函数．”

这个定义彻底地抛弃了前述一些定义中解析式等的束缚，特别强调和突出函数概念的本质——对应思想，使之具有更加丰富的内涵．因而，此定义可视为称得上科学的函数定义．按照此定义， 

就是一个函数了．

五、函数定义域限制的取消

前述定义基本上达到了精确化的表达．但它对自变量x却存在着一些限制，只允许它在实数集或在实数区间上取值，而不能像f（x）的值那样，既允许取连续的，也允许取不连续的值．因此，为使函数概念的适用范围更加广泛，使保y＝f（x）＝1/x!

（x为正整数）也可看作函数，就促使函数概念朝着取消函数定义域限制的方向发展．为此，人们又给出了如下函数概念：

“函数y＝f（x）的自变量x可以不必取区间[a，b]中的一切值，而可以仅取其中任一部分．”换句话说是x的取值范围可以是任一数集．这就解除了对自变量x的限制，使函数概念较前广泛得多了．但是，自变量及函数值仍然仅限于数的范围，随着数学的发展．函数概念仍需拓广．

六、近代函数定义

为了克服上述的局限性，必须重新认识“变量”、“变域”、“常量”等概念．美国数学家维布伦认为：

变量是代表某集合中任意一个“元素”的记号．由变量所表示的任一元素，称为该变量的值．变量x所代表的“元素的集合”，称为该变量的变域，而常量是特殊的变量，它是上述集合中只包含一个“元素”情况下的变量．这突破丁“变量是数”的限制，变量可以是数，也可以是别的，如点、线、面、体、向量、矩阵、函数、算子等等，甚至可以泛指任何一种研究对象，这样“变量”、“变域”、“常量”的意义较前一般化了，在此基础上，维布伦给出了近代函数定义：

若在变量y的集合与另一变量x的集合之间，有这样的关系成立，即对x的每一值，有完全确定的y与之对应，则称变量y是变量x的函数．

建立在“集合对应”基础上的这一函数定义，使得函数概念能广泛地应用于数学的各个分支中，比如，数学分析，复变函数，实变函数，泛函分析中．下面来具体介绍一下。

高斯函数　　设x∈R，用[x]或int（x）表示不超过x的最大整数，并用表示x的非负纯小数,则y=[x]称为高斯（Guass）函数，也叫取整函数。

　　任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：

x=[x]+（0≤<

1）

复变函数　　复变函数是定义域为复数集合的函数。

复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。

在很长时间里，人们对这类数不能理解。

但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。

复数的一般形式是：

a+bi，其中i是虚数单位。

　　以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。

解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。

　　复变函数论的发展简况

　　复变函数论产生于十八世纪。

1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。

而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。

因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。

到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。

　　复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。

当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。

　　为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。

　　后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。

二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。

　　复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。

比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。

　　比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。

　　复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。

它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。

　　复变函数论的内容

　　复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。

　　如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。

复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。

由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。

利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。

对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。

　　黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。

近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。

　　复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。

导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。

共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。

　　留数理论是复变函数论中一个重要的理论。

留数也叫做残数，它的定义比较复杂。

应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。

计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。

　　把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。

广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。

解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。

　　广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。

因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。

　　从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。

它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。

它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。

现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。

　　upcase字符型使小写英文字母变为大写字符型 

　　downcase字符型使大写英文字母变为小写字符型

阶梯函数　　形如阶梯的具有无穷多个跳跃间断点的函数.

反比例函数　　表达式为y＝k／x（k为常数且k≠0）的函数，叫做反比例函数。

　　反比例函数的其他形式：

y=k/x=k·

1/x=kx-1

　　反比例函数的特点：

y=k/x→xy=k

　　自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

　　反比例函数图像性质：

　　反比例函数的图像为双曲线。

　　反比例函数关于原点中心对称，关于坐标轴角平分线轴对称，另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣,即k的绝对值。

　　如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。

　　当k>

０时，反比例函数图像经过一，三象限，因为在同一支反比例函数图像上，y随x的增大而减小所以又称为减函数

　　当k<

０时，反比例函数图像经过二，四象限，因为在同一支反比例函数图像上，y随x的增大而增大所以又称为增函数

　　倘若不在同一象限，则刚好相反。

　　由于反比例函数的自变量和因变量都不能为0，所以图像只能无限向坐标轴靠近，无法和坐标轴相交。

七、集合函数

进人20世纪以后，在德国数学家康托创立的集合论基础上，人们对函数的认识又有深化，出现了“集函数”和“用集合定义的函数”，前者可这样表述：

对于以集合为元素构成的集合P的每一个元素A．如果在另一个以集合为元素构成的集合Q中有完全确定的元素B与之对应，那么集合Q叫做集合P的集合函数．

显然，当P、Q中的元素A、B是由单元素集构成时，该定义与维布伦的函数定义相吻合．我们说勒贝格（Lebesgue）测度mE是集函数，是把可测集类视为这定义中P，非负实数（包括十∞）的单元素集构成的集为这定义中的Q．当然，长度、面积、体积等也可视为集函数．

20世纪60年代后，人们开始视函数为集合，这种定义可表述为：

设A，B是两个集合，f是乘积

的一个子集，如果当（x，y）且（x，z）时，总有y＝z，则称f为一个函数．

当B为实数集时，此定义确定了一实值函数f，当A，B均为实数集时，定义确定的函数f与数学分析中函数f的定义一致．

八、总结

目前，使用较多的定义有如下三种：

定义1设在某个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，就说y是x的函数，x叫做自变量。

这个定义揭示了函数概念的本质，明确了函数的三要素，易被初学者接受和理解，我国初中教材采用这种定义。

定义2设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应法则f，对于A中的任一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素f（x）与之对应，这样的对应f叫做从集合A到集合B的一个函数，记为f：

A 

B，也可记做y=f（x）.

这个定义指出了函数的三要素：

定义域、对应法则、值域。

由于它在集合与对应的基础上给出的，故又称“对应说”或“映射说”，高中教材采用这种定义。

总的来说，函数概念大致经历了这样几个阶段：

把研究的曲线当作函数；

把由一个变量和一些常量以任何方式形成的解析表达式作为函数；

用对应关系定义的函数；

用集合定义的函数。

但是，随着数学的横向和纵向发展，函数概念到此还没有终结，还在发展。

分析函数概念的形成历史，我们可以看出几点：

首先，函数概念的形成是由研究静止现象到研究运动、变化现象的结果。

其次，函数概念的形成是人类活动不断深化的结果，是人类思维能力和认识能力提高的结果。

资料来源：

于宗义《实变函数论》；

李忠海、王家铧《代数课程研究》