二阶微分方程解法之欧阳法创编Word文档下载推荐.docx
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特征方程:
方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程.特征方程的两个根r1、r2可用公式
求出.
特征方程的根与通解的关系:
（1）特征方程有两个不相等的实根r1、r2时,函数
、
是方程的两个线性无关的解.
这是因为,
函数
是方程的解,又
不是常数.
因此方程的通解为
.
（2）特征方程有两个相等的实根r1=r2时,函数
是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.
这是因为,
所以
也是方程的解,且
因此方程的通解为
（3）特征方程有一对共轭复根r1,2=aib时,函数y=e（a+ib）x、y=e（aib）x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解.函数y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.
函数y1e（a+ib）x和y2e（aib）x都是方程的解而由欧拉公式得
y1e（a+ib）xex（cosxisinx）
y2e（aib）xex（cosxisinx）
y1y22excosx
y1y22iexsinx
故eaxcosbx、y2=eaxsinbx也是方程解.
可以验证,y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的线性无关解.
y=eax（C1cosbx+C2sinbx）.
求二阶常系数齐次线性微分方程y+py+qy=0的通解的步骤为:
第一步写出微分方程的特征方程
r2+pr+q=0
第二步求出特征方程的两个根r1、r2.
第三步根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解.
例1求微分方程y-2y-3y=0的通解.
解所给微分方程的特征方程为
r2-2r-3=0,即（r1）（r3）0
其根r1=-1,r2=3是两个不相等的实根,因此所求通解为
y=C1e-x+C2e3x.
例2求方程y+2y+y=0满足初始条件y|x=0=4、y|x=0=-2的特解.
解所给方程的特征方程为
r2+2r+1=0,即（r1）20
其根r1=r2=1是两个相等的实根,因此所给微分方程的通解为
y=（C1+C2x）e-x.
将条件y|x=0=4代入通解,得C1=4,从而
y=（4+C2x）e-x.
将上式对x求导,得
y=（C2-4-C2x）e-x.
再把条件y|x=0=-2代入上式,得C2=2.于是所求特解为
x=（4+2x）e-x.
例3求微分方程y-2y+5y=0的通解.
解所给方程的特征方程为
r2-2r+5=0
特征方程的根为r1=12ir2=12i是一对共轭复根
因此所求通解为
y=ex（C1cos2x+C2sin2x）.
n阶常系数齐次线性微分方程:
y（n）+p1y（n-1）+p2y（n-2）++pn-1y+pny=0,
称为n阶常系数齐次线性微分方程,其中p1,p2,,pn-1,pn都是常数.
二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式,可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.
引入微分算子D及微分算子的n次多项式
L（D）=Dn+p1Dn-1+p2Dn-2++pn-1D+pn
则n阶常系数齐次线性微分方程可记作
（Dn+p1Dn-1+p2Dn-2++pn-1D+pn）y=0或L（D）y0
注D叫做微分算子D0yyDyyD2yyD3yyDnyy（n）
分析令yerx则
L（D）yL（D）erx（rn+p1rn-1+p2rn-2++pn-1r+pn）erx=L（r）erx
因此如果r是多项式L（r）的根则yerx是微分方程L（D）y0的解
n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程
L（r）rn+p1rn-1+p2rn-2++pn-1r+pn0
称为微分方程L（D）y0的特征方程
特征方程的根与通解中项的对应:
单实根r对应于一项:
Cerx;
一对单复根r1,2=aib对应于两项:
eax（C1cosbx+C2sinbx）;
k重实根r对应于k项:
erx（C1+C2x++Ckxk-1）;
一对k重复根r1,2=aib对应于2k项:
eax[（C1+C2x++Ckxk-1）cosbx+（D1+D2x++Dkxk-1）sinbx].
例4求方程y（4）-2y+5y=0的通解.
解这里的特征方程为
r4-2r3+5r2=0,即r2（r2-2r+5）=0,
它的根是r1=r2=0和r3,4=12i.
因此所给微分方程的通解为
y=C1+C2x+ex（C3cos2x+C4sin2x）.
例5求方程y（4）+b4y=0的通解,其中b0.
r4+b4=0.
它的根为
二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介
二阶常系数非齐次线性微分方程:
y+py+qy=f（x）
称为二阶常系数非齐次线性微分方程,其中p、q是常数.
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程
的通解y=Y（x）与非齐次方程本身的一个特解y=y*（x）之和:
y=Y（x）+y*（x）.
当f（x）为两种特殊形式时,方程的特解的求法:
一、f（x）=Pm（x）elx型
当f（x）=Pm（x）elx时,可以猜想,方程的特解也应具有这种形式.因此,设特解形式为y*=Q（x）elx,将其代入方程,得等式
Q（x）+（2l+p）Q（x）+（l2+pl+q）Q（x）=Pm（x）.
（1）如果l不是特征方程r2+pr+q=0的根,则l2+pl+q0.要使上式成立,Q（x）应设为m次多项式:
Qm（x）=b0xm+b1xm-1++bm-1x+bm,
通过比较等式两边同次项系数,可确定b0,b1,,bm,并得所求特解
y*=Qm（x）elx.
（2）如果l是特征方程r2+pr+q=0的单根,则l2+pl+q=0,但2l+p0,要使等式
Q（x）+（2l+p）Q（x）+（l2+pl+q）Q（x）=Pm（x）.
成立,Q（x）应设为m+1次多项式:
Q（x）=xQm（x）,
y*=xQm（x）elx.
（3）如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根,则l2+pl+q=0,2l+p=0,要使等式
成立,Q（x）应设为m+2次多项式:
Q（x）=x2Qm（x）,
y*=x2Qm（x）elx.
综上所述,我们有如下结论:
如果f（x）=Pm（x）elx,则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy=f（x）有形如
y*=xkQm（x）elx
的特解,其中Qm（x）是与Pm（x）同次的多项式,而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2.
例1求微分方程y-2y-3y=3x+1的一个特解.
解这是二阶常系数非齐次线性微分方程,且函数f（x）是Pm（x）elx型（其中Pm（x）=3x+1,l=0）.
与所给方程对应的齐次方程为
y-2y-3y=0,
它的特征方程为
r2-2r-3=0.
由于这里l=0不是特征方程的根,所以应设特解为
y*=b0x+b1.
把它代入所给方程,得
-3b0x-2b0-3b1=3x+1,
比较两端x同次幂的系数,得
-3b0=3,-2b0-3b1=1.
由此求得b0=-1,
.于是求得所给方程的一个特解为
例2求微分方程y-5y+6y=xe2x的通解.
解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且f（x）是Pm（x）elx型（其中Pm（x）=x,l=2）.
y-5y+6y=0,
r2-5r+6=0.
特征方程有两个实根r1=2,r2=3.于是所给方程对应的齐次方程的通解为
Y=C1e2x+C2e3x.
由于l=2是特征方程的单根,所以应设方程的特解为
y*=x（b0x+b1）e2x.
-2b0x+2b0-b1=x.
-2b0=1,2b0-b1=0.
由此求得
b1=-1.于是求得所给方程的一个特解为
从而所给方程的通解为
提示
y*=x（b0x+b1）e2x（b0x2+b1x）e2x
[（b0x2+b1x）e2x][（2b0x+b1）（b0x2+b1x）×
2]e2x
[（b0x2+b1x）e2x][2b02（2b0xb1）×
2（b0x2+b1x）×
22]e2x
y*5y*6y*[（b0x2+b1x）e2x]5[（b0x2+b1x）e2x]6[（b0x2+b1x）e2x]
[2b02（2b0xb1）×
22]e2x5[（2b0x+b1）（b0x2+b1x）×
2]e2x6（b0x2+b1x）e2x
[2b04（2b0xb1）5（2b0x+b1）]e2x[2b0x+2b0b1]e2x
方程y+py+qy=elx[Pl（x）coswx+Pn（x）sinwx]的特解形式
应用欧拉公式可得
elx[Pl（x）coswx+Pn（x）sinwx]
其中
.而m=max{l,n}.
设方程y+py+qy=P（x）e（l+iw）x的特解为y1*=xkQm（x）e（l+iw）x,
则
必是方程
的特解,
其中k按liw不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.
于是方程y+py+qy=elx[Pl（x）coswx+Pn（x）sinwx]的特解为
=xkelx[R
（1）m（x）coswx+R
（2）m（x）sinwx].
如果f（x）=elx[Pl（x）coswx+Pn（x）sinwx],则二阶常系数非齐次线性微分方程
的特解可设为
y*=xkelx[R
（1）m（x）coswx+R
（2）m（x）sinwx],
其中R
（1）m（x）、R
（2）m（x）是m次多项式,m=max{l,n},而k按l+iw（或l-iw）不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.
例3求微分方程y+y=xcos2x的一个特解.
解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,
且f（x）属于elx[Pl（x）coswx+Pn（x）sinwx]型（其中l=0,w=2,Pl（x）=x,Pn（x）=0）.
与所给方程对应的齐次方程为
y+y=0,
r2+1=0.
由于这里l+iw=2i不是特征方程的根,所以应设特解为
y*=（ax+b）cos2x+（cx+d）sin2x.
（-3ax-3b+4c）cos2x-（3cx+3d+4a）sin2x=xcos2x.
比较两端同类项的系数,得
b=0,c=0,
于是求得一个特解为
y*=（ax+b）cos2x+（cx+d）sin2x.
y*=acos2x2（ax+b）sin2x+csin2x+2（cx+d）cos2x
（2cx+a2d）cos2x+（2ax2bc）sin2x
y*=2ccos2x2（2cx+a2d）sin2x2asin2x+2（2ax2bc）cos2x
（4ax4b4c）cos2x（4cx4a4d）sin2x
y*y*（3ax3b4c）cos2x（3cx4a3d）sin2x
由
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