建模期末论文已审.docx
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建模期末论文已审
关于长春市房地产的多元回归预测模型
谭法陈方玉谢长虹
摘要
随着国民经济的深入长足发展，房地产业作为国民经济的基础性和先导性产业得到了大力的发展，对经济发展和社会结构产生了巨大的推动和影响，特别是进入21世纪之后，中国房地产业发展突飞猛进，一跃成为新的经济增长点.
但与此同时，中国包括长春市的房地产业发展也面临不少问题.房地产价格问题一直是引起广泛争论的热点问题.这些问题的解决不仅仅是实现房地产业健康持续发展的需要，同时也是实现产业结构调整和优化以及社会经济可持续发展的需要.考虑到房地产市场很强的地域性，本模型是以长春市各项数据统计为依托建立长春市商品房价格预测模型，通过对与长春市房地产市场相关的各种影响因素的定性、定量分析，为政府、投资者、开发商等提供一定的参考，为房地产市场的健康稳定发展提供借鉴，从而能做到未雨绸缪.
本文将从房地产市场的基础知识出发，结合长春市房地产业具体情况，做出恰当的问题分析，并做出合理的模型假设，分析挑选房地产相关影响因素，并收集相关因素的数据运用统计手段对这些相关因素进行相关性分析，得出与房地产市场关系密切的几个主要影响因素.利用SPSS统计软件对各个因素对房地产的影响做出以下三种模型的预测，并加以比较，最终确定最为合理的模型对问题进行求解.
模型一、多元线性回归模型
经过数据的归一化处理后，并利用SPSS统计软件进行相关性分析，最后得到多元非线性模型z=0.530t1+0.187t2+0.254t3+0.012
模型二、单因素多项式函数拟合并赋权求值模型
经过Mathematica软件进行单因素多项式拟合得以下三个函数关系式
y=-9790.58+5.3847x1-0.000918426x12+6.94187×10-8x13-1.88963×10-12x14
y=1482.14+0.00063682x2
y=-121303.+658.936x3-0.874474x32
经过加权假设
，得到以下赋值拟合模型
y=1/3（-2503.86+1.39225x1-0.000141094x12+5.41382×10-9x13）+
1/3（1482.14+0.00063682x2）+1/3（-4521121.374721667+39012.9x3-112.292x32+0.10786x33）
模型三、房价的时间拟合模型
经过Mathematica软件进行数据拟合，得到长春市房价y与时间t的函数关系式为
最终确定多元素线性回归分析法得到的模型更为合理.
文章最后还对模型的优缺点进行了综合评价，并对一些不可定量分析的因素做了简单分析，力求使模型更加优化，为购房者理性地选择房屋提供参考.
关键词：
长春房地产、商品房、价格预测、时间拟合、多项式拟合、线性回归分析
问题提出
改革开放以来，随着我国房地产市场的不断升温，我国房地产业逐步发展起来，并成为影响我国经济发展的一个重要因素.近年来我国房地产市场获得了迅猛发展，房地产迅速成为消费与投资热点.部分大中城市出现了房价过快上涨的局面.过快上涨的房价导致部分城镇家庭购房困难，这种现象引起了社会各界的焦虑与关注.弄清影响房价的主要经济因素，探究我国房地产投资是否过热，房价是否合理、是否存在泡沫以及如何有效控制房价，有着重要的意义.
自我国1998年实行住房货币化改革以来，我国房地产行业经历了巨大的发展，百姓的生活及住房条件也得到了极大地改善.但是在房地产业快速发展过程中，也出现了以房地产销售价格持续过高为代表的诸多问题.由于住房是人们的一项基本需求，因此房屋价格势必对人们生活乃至社会稳定产生重大影响.关于房地产的研究主要集中于以下问题：
1．分析房地产价格影响因素.
2．以长春房地产价格为例，分析其价格是否合理.
3．提出改进措施和建议.
问题分析
房地产不仅现在是我们最关心的问题之一，今后也是.房价的涨跌当然是我们最为关切的了,但这个问题本身是十分复杂的,下面利用SPSS统计软件就我们讨论的几个与房地产相关的因素做一下相关性分析:
（一）人均GDP占有量与人均可支配收入的相关性分析
（二）长春市房地产价格与居民消费水平的相关性分析
（三）长春市房地产价格与房地产投资额的相关性分析
（四）长春市房地产价格与人口密度的相关性分析
由此可见,GDP人均占有量与人均可支配收入有着明显的线性相关性,不妨我们就忽略GDP人均占有量对长春房地产的影响,而且通过统计分析,可见房地产价格与可支配收入、房地产投资额、人口密度有着显著的线性关系,这为我们使用SPSS进行多元线性回归提供了更强的可操作性.这诱导我们提出了多元线性回归模型.
此外,这个问题我们还可以从其他的方面入手.在我们收集的1998-2008年的房地产各种数据中,有的因素与线性性有些距离,那我们可以用Mathematica软件对每个因素进行非线性拟合，当然线性性特别强的一些因素仍保持了线性模型，这就引出了单因素多项式函数拟合并赋权求值模型.
另外,我们还可以换一个思维.我们考虑的这几个与房价有关的因素都可以看作是关于时间的一个函数,那也就是说,我们可以得到一个房价关于时间的函数关系式,我们可以用Mathematica软件进行数据拟合,直接得到房价的时间拟合模型.
这样一来,我们的问题就变得很简单明晰,现在开始从这三个模型的假设求解开始.
模型假设
条件假设：
（1）设长春市房地产价格只受人均可支配收入、房地产投资额、人口密度的影响，不受其它因素的影响；
（2）长春市房价受所考虑的三个因素的影响是均匀变化的；
（3）设所考虑的这三个因素之间没有必然的关系,即它们是相互独立的.
符号假设：
房地产价格归一值z
人均可支配收入归一值t1
房地产投资额归一值t2
人口密度归一值t3
房地产价格y
人均可支配收入x1
房地产投资额x2
人口密度x3
时间t
的权数为
，i=1,2,3
在单因素多项式函数拟合并赋权求值模型中，我们假定了
模型建立与求解
根据我们上网收集的各种数据,整理后得到下表:
年份
地区
长春市房价
（元/平方米）
人均可支配收入（元）
房地产投资额（万元）
人口密度
（人/平方千米）
2010
长春
4463.00
25400.00
2009
长春
3865.40
14006.27
2162900.00
368.00
2008
长春
3489.00
12829.45
3528921.00
365.23
2007
长春
3250.00
11285.52
2594979.00
362.62
2006
长春
2558.00
9775.07
1742021.00
359.37
2005
长春
2393.00
8690.62
1066262.00
355.60
2004
长春
2260.00
7840.61
903503.00
351.95
2003
长春
2155.00
7005.17
777020.00
349.15
2002
长春
2421.00
6260.16
608399.00
346.00
2001
长春
1552.00
5340.46
485481.00
342.00
2000
长春
1408.00
4810.00
303296.00
340.00
1999
长春
1436.00
4480.01
251955.00
335.00
1998
长春
1293.00
4206.64
161594.00
364.00
（数据来源于国家统计局、中国知网）
利用Matlab对所得数据归一化处理，得下表
最大值
备注：
最大值和最小值均以1998—2008年数据为准
3489.00
12829.45
3528921.00
365.23
最小值
1293.00
4206.64
161594.00
335.00
年份
地区
长春市房价
可支配收入
房地产投资额
人口密度
归一化值
2010
长春
1.443534
2.457825
2009
长春
1.171403
1.136478
0.594331
1.091631
2008
长春
1.000000
1.000000
1.000000
1.000000
2007
长春
0.891166
0.820948
0.722646
0.913662
2006
长春
0.576047
0.645779
0.469342
0.806153
2005
长春
0.500911
0.520014
0.268661
0.681442
2004
长春
0.440346
0.421437
0.220326
0.560701
2003
长春
0.392532
0.324550
0.182764
0.468078
2002
长春
0.513661
0.238150
0.132688
0.363877
2001
长春
0.117942
0.131491
0.096185
0.231558
2000
长春
0.052368
0.069973
0.042081
0.165399
1999
长春
0.065118
0.031703
0.026835
0.000000
1998
长春
0.000000
0.000000
0.000000
0.959312
（一）多元线性回归模型的求解
利用SPSS统计软件进行多元线性回归，得以下结果
回归函数关系式z=0.530t1+0.187t2+0.254t3+0.012（模型一）
其中归一化迭代过程为
z=（y-1293）/（3489-1293）,t1=（x1-4206.64）/（12829.45-4206.64）,
t2=（x2-161594）/（3528921-161594）,t3=（x3-335）/（365.23-335）.
代入09年数据，得2009年房地产价格归一值为1.1627475110000001，再进行反归一化，得到2009年长春房价为1.1627475110000001×（3489-1293）+1293=3846.39元/平方米，2009年实际真实值为3865.40元/平方米，其差值相差约19.0065元/平方米，由此可见模型的合理性.
（二）单因素多项式函数拟合并赋权求值模型的求解
利用Mathematica进行曲线拟合可得
y=-9790.58+5.3847x1-0.000918426x12+6.94187×10-8x13-1.88963×10-12x14
y=1482.14+0.00063682x2
y=-121303.+658.936x3-0.874474x32
加入权数估计值
得
y=
（-2503.86+1.39225x1-0.000141094x12+5.41382×10-9x13）
+
（1482.14+0.00063682x2）
+
（-4521121.374721667+39012.9x3-112.292x32+0.10786x33）.（模型二）
代入2009年的数据，得2009年房地产价格平均值为3653.54元/平方米，
实际真实值为3865.40元/平方米，二者相差211.864元/平方米，但这与2009年长春房价疯长论十分相符.
（三）房价的时间拟合模型的求解
将收集到的数据1998-2008年房价用Mathematica进行函数拟合，就得到下列模型三.0993********×107-6437.4220822977295t+1.470697763352569×10-17t7
（模型三）
在Mathematica中输入
.0993********×107-6437.4220822977295t+1.470697763352569×10-17t7
得到，f[2009]=3727.002706755651,f[2010]=4068.331437957706
这与真实值还是很接近的.
这样就可以得到2011年长春市房价f[2011]=4429.925476220436,预测为4429.92元/平方米.
模型检验与评价
本文建立了三个数学模型,分别是多元线性回归模型、单因素多项式函数拟合并赋权求值模型、房价的时间拟合模型，现总结一下这三个模型:
1、模型一是一个多元线性模型,模型很简单,经过线性相关性分析,发现这几个因素确存在着很强的线性相关性,模型比较合理,检验值也十分接近,预测值与2009年长春房价真实值相比,差值相差约19.0065元/平方米；
2、模型二是一个非线性模型,想法是把模型一进一步具体化,但由于多元非线性回归的难度比较大,故我们采取了人为赋权数的办法,这当然会降低模型的准确度,预测值与2009年长春房价真实值相差约211.864元/平方米；
3、模型三是一个非线性拟合简化模型,想法很巧妙,将房价与时间直接进行非线性拟合,这用Mathematica软件是很容易实现的，相对来说人为的操作是最少的，模型很简单，当然准确度也会有一些影响，拟合函数求得2009年长春房价3727.00元/平方米，与2009年长春房价真实值相差约138.397元/平方米；
不难看出多元线性回归模型是最合理的模型.
虽然这三个模型也能说明一些问题,但也有很多不足,首先这三个模型都只是在我们选择的因素范围内考虑问题的,所以还有其他一些因素可能被我们忽略了,如土地竣工面积、土地交易价格、通货膨胀、股票市场、银行利率等等；其次这几个模型都只能作为局部短期的预测报告,时间间隔越大,其误差也就会相应的扩大,如模型三中用Mathematica求得2020、2030年的长春市商品房价格分别为f[2020]=8604.57,f[2030]=15218.34（单位：
元/平方米）,这显然是不尽合理的.
总的来说,这个问题还值得进一步讨论,如弱化假设、加入新因素、扩大数据量、求解权数等等.
参考文献:
[1]中国知网,00:
40
[2]吉林统计信息网12:
45
[3]中华人民共和国国家统计局,22:
35
[4]吉林省统计信息网，20:
03
附件一:
Mathematica程序
（1）房地产价格y关于人均可支配收入x1的函数拟合
data={{12829.45,3489.00},
{11285.52,3250.00},
{9775.07,2558.00},
{8690.62,2393.00},
{7840.61,2260.00},
{7005.17,2155.00},
{6260.16,2421.00},
{5340.46,1552.00},
{4810.00,1408.00},
{4480.01,1436.00},
{4206.64,1293.00}}
Fit[data,{1,x1,x1^2,x1^3},x1]
{{12829.5,3489.},{11285.5,3250.},{9775.07,2558.},
{8690.62,2393.},{7840.61,2260.},{7005.17,2155.},
{6260.16,2421.},{5340.46,1552.},{4810.,1408.},
{4480.01,1436.},{4206.64,1293.}}
-2503.86+1.39225x1-0.000141094x12+5.41382×10-9x13
Show[ListPlot[data,PlotStyle->Red],Plot[%,{x1,4000,13000}],
PlotRange->All]
房地产价格y关于人均可支配收入x1的函数拟合图象
函数关系式y=-2503.86+1.39225x1-0.000141094x12+5.41382×10-9x13，
（2）房地产价格y关于房地产投资额x2的函数拟合
data={{3528921,3489.00},
{2594979,3250.00},
{1742021,2558.00},
{1066262,2393.00},
{903503.0,2260.00},
{777020.0,2155.00},
{608399.0,2421.00},
{485481.0,1552.00},
{303296.0,1408.00},
{251955.0,1436.00},
{161594.0,1293.00}}
Fit[data,{1,x2},x2]
Show[ListPlot[data,PlotStyle->Red],Plot[%,{x2,160000,3600000}],PlotRange->All]
{{3528921,3489.},{2594979,3250.},{1742021,2558.},{1066262,2393.},
{903503.,2260.},{777020.,2155.},{608399.,2421.},{485481.,1552.},
{303296.,1408.},{251955.,1436.},{161594.,1293.}}
1482.14+0.00063682x2
房地产价格y关于房地产投资额x2的函数拟合图象
函数关系式y=1482.14+0.00063682x2
（3）房地产价格y关于人口密度x3的函数拟合
data={{365.23,3489.00},{362.62,3250.00},{359.37,2558.00},
{355.60,2393.00},{351.95,2260.00},{349.15,2155.00},
{346.00,2421.00},{342.00,1552.00},{340.00,1408.00},
{335.00,1436.00}}
Fit[data,{1,x3,x3^2,x3^3},x3]
Show[ListPlot[data,PlotStyleRed],Plot[%,{x3,330,370}],PlotRangeAll]
{{365.23,3489.},{362.62,3250.},{359.37,2558.},{355.6,2393.},{351.95,2260.},{349.15,2155.},{346.,2421.},{342.,1552.},{340.,1408.},{335.,1436.}}
-4.52112×106+39012.9x3-112.292x32+0.10786x33
房地产价格y关于人口密度x3的函数拟合图象
函数关系式y=-4521121.374721667+39012.9x3-112.292x32+0.10786x33
（4）用Mathematica定义新函数并计算计算
f[x1_,x2_,x3_]:
=1/3（-2503.86+1.39225x1-0.000141094x1^2+5.41382*10^-9x1^3）+1/3（1482.14`+0.00063682`x2）+1/3（-4.521121374721667*10^6+39012.9`x3-112.292`x3^2+0.10786`x3^3）
f[14006.27,2162900.00,368.00]
3653.54
3865.40-3653.5355499068855`
211.864
（5）长春市房价与时间的拟合及代入计算
data={{2008,3489.00},{
2007,3250.00},{
2006,2558.00},{
2005,2393.00},{
2004,2260.00},{
2003,2155.00},{
2002,2421.00},{
2001,1552.00},{
2000,1408.00},{
1999,1436.00},{
1998,1293.00}}
{{2008,3489.},{2007,3250.},{2006,2558.},{2005,2393.},{2004,
2260.},{2003,2155.},{2002,2421.},{2001,1552.},{2000,
1408.},{1999,1436.},{1998,1293.}}
Fit[data,{1,t,t^7},t]
Show[ListPlot[data,PlotStyleRed],Plot[%,{t,1998,2012}],PlotRangeAll]
长春市房地产价格y与时间t的函数拟合图象
函数关系式y=1.09939×107-6437.42t+1.4707×10-17t7
f[2009]
3727.
f[2010]
4068.33
f[2011]
4429.93
f[2020]
8604.57
f[2030]
15218.3
3865.40-3727.002706755651（求拟合值与真实值的误差）
138.397
（6）计算SPSS拟合的函数值及误差
z[t1_,t2_,t3_]:
=0.530t1+0.187t2+0.254t3+0.012
z[1.136478,0.594331,1.091631]
1.1627475110000001×（3489-1293）+1293（做数据的反归一化）
3846.3935341
3846.3935341-3865.40
-19.0065
附件二：
我们小组由谭法、陈方玉、谢长虹三人组成，论文的主要思想及方法由三人最后讨论决定，论文由三人分工合作完成.
具体分工如下：
谢长虹主要负责数据的收集和整理以及撰写论文的问题提出等方面的工作，陈方玉主要负责数据的收集及撰写论文的摘要关键词和新闻稿、模型的参考建议等方面的工作，谭法主要负责数据的收集整理以及SPSS统计软件的使用和Mathematica软件的编程并建立求解三个模型等工作.其中，谭法同学对计算机软件的学习及运用为本组做出了很大贡献.
我们小组精诚合作,合理分工,三人的贡献比谭:
陈:
谢≈1:
1:
1.
附件三：
关于长春市商品房房价的报告
论文以长春市商品房市场发展的历史和现状为基础，以历史统计数据为依托
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