普通高等学校招生全国统一考试新课标全国卷Ⅰ数学理科.docx

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普通高等学校招生全国统一考试新课标全国卷Ⅰ数学理科

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅰ）数学（理科）

试卷副标题

考试范围：

xxx；考试时间：

120分钟；命题人：

xxx

A.

B.

C.

D.

7.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如下图．

圆柱表面上的点𝑀在正视图上的对应点为𝐴，圆柱表面上的点𝑁在左视图上的对应点为𝐵，则在此圆柱侧面上，从𝑀到𝑁的路径中，最短路径的长度为

题号

一

二

三

总分

得分

学校:

姓名：

班级：

考号：

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人

得分

一、选择题

第I卷（选择题）

1.设𝑧=

1−𝑖

1+𝑖

+2𝑖，则|𝑧|=（）

1

A.0B.

2

C.1D.√2

A.2√17B.2√5

2.已知集合𝐴={𝑥|𝑥2−𝑥−2>0}，则∁𝑅𝐴=（）

A.{𝑥|−1＜𝑥＜2}B.{𝑥|−1⩽𝑥⩽2}C.{𝑥|𝑥<−1}∪{𝑥|𝑥>2}D.{𝑥|𝑥⩽−1}∪{𝑥|𝑥⩾2}

3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

C.3D.2

8.设抛物线𝐶：

𝑦2=4𝑥的焦点为𝐹，过点（−2,0）且斜率为2

3

）

A.5B.6C.7D.8

的直线与𝐶交于𝑀，𝑁两点，则

9.已知函数，𝑔（𝑥）=𝑓（𝑥）+𝑥+𝑎.若𝑔（𝑥）存在2个零点，则𝑎的取值范围是（）

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………

则下面结论中不正确的是（）

A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4.记𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和.若3𝑆3=𝑆2+𝑆4，𝑎1=2，则𝑎5=（）

A.−12B.−10C.10D.12

5.设函数𝑓（𝑥）=𝑥3+（𝑎−1）𝑥2+𝑎𝑥.若𝑓（𝑥）为奇函数，则曲线𝑦=𝑓（𝑥）在点（0,0）处的切线方程为（）

A.𝑦=−2𝑥B.𝑦=−𝑥C.𝑦=2𝑥D.𝑦=𝑥

6.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的中线，𝐸为𝐴𝐷的中点，则

）

A.[−1,0）B.[0,+∞）C.[−1,+∞）D.[1,+∞）

10.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形𝐴𝐵𝐶的斜边𝐵𝐶，直角边𝐴𝐵，𝐴𝐶.△𝐴𝐵𝐶的三边所围成的区域记为𝐼，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为𝑝1，𝑝2，𝑝3，则（）

A.𝑝1=𝑝2B.𝑝1=𝑝3C.𝑝2=𝑝3D.𝑝1=𝑝2+𝑝3

11.已知双曲线𝐶：

𝑥2−𝑦2=1，𝑂为坐标原点，𝐹为𝐶的右焦点，过𝐹的直线与𝐶的两条渐近线的交点

3

分别为𝑀，𝑁.若△𝑂𝑀𝑁为直角三角形，则|𝑀𝑁|=（）

3

2

A.B.3C.2√3D.4

12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面𝛼所成的角都相等，则𝛼截此正方体所得截面面积的最大值为（）

A.3√3

4

B.2√3

3

C.3√2

4

D.√3

2

请点击修改第II卷的文字说明

评卷人

得分

二、填空题

第II卷（非选择题）

（1）证明：

平面𝑃𝐸𝐹⊥平面𝐴𝐵𝐹𝐷；

（2）求𝐷𝑃与平面𝐴𝐵𝐹𝐷所成角的正弦值．

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

1.若𝑥，𝑦满足约束条件，则𝑧=3𝑥+2𝑦的最大值为．

2.记𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和.若𝑆𝑛=2𝑎𝑛+1，则𝑆6=．

3.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.（

用数字填写答案）

4.已知函数𝑓（𝑥）=2𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥，则𝑓（𝑥）的最小值是．

3.设椭圆𝐶：

𝑥2+𝑦2=1的右焦点为𝐹，过𝐹的直线𝑙与𝐶交于𝐴，𝐵两点，点𝑀的坐标为（2,0）．

2

（1）当𝑙与𝑥轴垂直时，求直线𝐴𝑀的方程；

（2）设𝑂为坐标原点，证明：

∠𝑂𝑀𝐴=∠𝑂𝑀𝐵．

评卷人

得分

三、解答题

1.在平面四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐷𝐶=90∘，∠𝐴=45∘，𝐴𝐵=2，𝐵𝐷=5．

（1）求𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐷𝐵；

（2）若𝐷𝐶=2√2，求𝐵𝐶．

2.如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，𝐸，𝐹分别为𝐴𝐷，𝐵𝐶的中点，以𝐷𝐹为折痕把△𝐷𝐹𝐶折起，使点𝐶到达点𝑃的位置，且𝑃𝐹⊥𝐵𝐹．

4.

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为𝑝（0＜𝑝＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为𝑓（𝑝），求𝑓（𝑝）的最大值点𝑝0．

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以

（1）中确定的𝑝0作为𝑝的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（𝑖）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为𝑋，求𝐸𝑋；

（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………

第3页共6页◎第4页共6页

5.已知函数𝑓（𝑥）=

1−𝑥+𝑎𝑙𝑛𝑥．

𝑥

（1）讨论𝑓（𝑥）的单调性；

（2）若𝑓（𝑥）存在两个极值点𝑥

，𝑥

𝑓（𝑥1）−𝑓（𝑥2）<𝑎−2．

12，证明：

𝑥−𝑥

12

6.在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶1的方程为𝑦=𝑘|𝑥|+2.以坐标原点为极点，𝑥轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶2的极坐标方程为𝜌2+2𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃−3=0．

（1）求𝐶2的直角坐标方程；

（2）若𝐶1与𝐶2有且仅有三个公共点，求𝐶1的方程．

7.已知𝑓（𝑥）=|𝑥+1|−|𝑎𝑥−1|．

（1）当𝑎=1时，求不等式𝑓（𝑥）＞1的解集；

（2）若𝑥∈（0,1）时不等式𝑓（𝑥）＞𝑥成立，求𝑎的取值范围．

参考答案

一、选择题

1．【答案】C

【解析】解：

𝑧=1−𝑖+2𝑖=（1−𝑖）（1−𝑖）+2𝑖=−𝑖+2𝑖=𝑖，

则|𝑧|=1．故选：

𝐶．

1+𝑖

（1−𝑖）（1+𝑖）

利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的摸．

本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的摸的求法，考查计算能力．

2．【答案】B

【解析】解：

集合𝐴={𝑥|𝑥2−𝑥−2>0}，可得𝐴={𝑥|𝑥＜−1或𝑥＞2}，则：

∁𝑅𝐴={𝑥|−1⩽𝑥⩽2}．

故选：

𝐵．

通过求解不等式，得到集合𝐴，然后求解补集即可．

本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查．

3．【答案】A

【解析】解：

设建设前经济收入为𝑎，建设后经济收入为2𝑎．

𝐴项，种植收入37×2𝑎−60%𝑎=14%𝑎>0，故建设后，种植收入增加，故A项错误．

𝐵项，建设后，其他收入为5%×2𝑎=10%𝑎，建设前，其他收入为4\%𝑎，

故10%𝑎÷4%𝑎=2.5>2，故B项正确．

𝐶项，建设后，养殖收入为30%×2𝑎=60%𝑎，建设前，养殖收入为30\%𝑎，

故60%𝑎÷30%𝑎=2，故C项正确．

𝐷项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为

（30%+28%）×2𝑎=58%×2𝑎，

经济收入为2𝑎，

故（58%×2𝑎）÷2𝑎=58%>50%，

故D项正确．

因为是选择不正确的一项，故选：

𝐴．

设建设前经济收入为𝑎，建设后经济收入为2𝑎.通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果．

本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现问题解决问题的能力．

4．【答案】B

【解析】解：

∵𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，3𝑆3=𝑆2+𝑆4，𝑎1=2，

∴3×（3𝑎

+3×2𝑑）=𝑎

+𝑎

+𝑑+4𝑎

+4×3𝑑，

121112

把𝑎1=2，代入得𝑑=−3

∴𝑎5=2+4×（−3）=−10．

故选：

𝐵．

利用等差数列的通项公式和前𝑛项和公式列出方程，能求出𝑎5的值．

本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

5．【答案】D

【解析】解：

函数𝑓（𝑥）=𝑥3+（𝑎−1）𝑥2+𝑎𝑥，若𝑓（𝑥）为奇函数，可得𝑎=1，所以函数𝑓（𝑥）=𝑥3+𝑥，可得𝑓′（𝑥）=3𝑥2+1，曲线𝑦=𝑓（𝑥）在点（0,0）处的切线的斜率为：

1，

则曲线𝑦=𝑓（𝑥）在点（0,0）处的切线方程为：

𝑦=𝑥．故选：

𝐷．

利用函数的奇偶性求出𝑎，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程．本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．

6．【答案】A

【解析】解：

在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为𝐵𝐶边上的中线，𝐸为𝐴𝐷的中点，

，故选：

𝐴．

运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．

本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．

7．【答案】B

【解析】解：

由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：

2，直观图以及侧面展开图如图：

圆柱表面上的点𝑁在左视图上的对应点为𝐵，则在此圆柱侧面上，从𝑀到𝑁的路径中，最短路径的长度：

√22+42=2√5．

故选：

𝐵．

判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．

本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计算能力．

8．【答案】D

【解析】解：

抛物线𝐶：

𝑦2=4𝑥的焦点为𝐹（1,0），过点（−2,0）且斜率为2

3

的直线为：

3𝑦=2𝑥+4，

联立直线与抛物线𝐶：

𝑦2=4𝑥，消去𝑥可得：

𝑦2−6𝑦+8=0，

解得𝑦1=2，𝑦2=4，不妨𝑀（1,2），𝑁（4,4），

，

．

则

．

故选：

𝐷．

求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出𝑀、𝑁的坐标，然后求解向量的数量积即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．

9．【答案】C

【解析】解：

由𝑔（𝑥）=0得𝑓（𝑥）=−𝑥−𝑎，

作出函数𝑓（𝑥）和𝑦=−𝑥−𝑎的图象如图：

当直线𝑦=−𝑥−𝑎的截距−𝑎⩽1，即𝑎⩾−1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数𝑔（𝑥）存在2个零点，

故实数𝑎的取值范围是[−1,+∞），故选：

𝐶．

由𝑔（𝑥）=0得𝑓（𝑥）=−𝑥−𝑎，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．

本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．

10．【答案】A

【解析】解：

如图：

设𝐵𝐶=𝑎，𝐴𝐵=𝑐，𝐴𝐶=𝑏，

∴𝑎2=𝑏2+𝑐2，

112

∴𝑆ⅱ=2×4𝑏𝑐=2𝑏𝑐，𝑆ⅱ=2×𝜋𝑎

−2𝑏𝑐，

1

𝑆ⅱ=2×𝜋𝑐

+×𝜋𝑏2

2

1

−𝑆ⅱ=2×𝜋𝑐

+×𝜋𝑏2

2

−×𝜋𝑎2

2

+2𝑏𝑐=2𝑏𝑐，

∴𝑆ⅱ=𝑆ⅱ，

∴𝑃1=𝑃2，故选：

𝐴．

如图：

设𝐵𝐶=𝑎，𝐴𝐵=𝑐，𝐴𝐶=𝑏，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到答案．

本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题．

11．【答案】B

【解析】解：

双曲线𝐶

2

：

−𝑦=1的渐近线方程为：

𝑦=±𝑥，渐近线的夹角为：

，

33

不妨设过𝐹（2,0）的直线为：

𝑦=√3（𝑥−2），

则：

解得𝑀（3,−3，

√

）

22

解得：

𝑁（3,√3），

则|𝑀𝑁|=√（3−3）2+（√3+√3）2=3．

22

故选：

𝐵．

求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出𝑀𝑁的坐标，然后求解|𝑀𝑁|．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

12．【答案】A

【解析】解：

正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面𝛼所成的角都相等，如图：

所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，𝛼截此正方体所得截面面积的最大，

此时正六边形的边长√2

2

，截面面积的最大值为：

．

故选：

𝐴．

利用正方体棱的关系，判断平面𝛼所成的角都相等的位置，然后求解𝛼截此正方体所得截面面积的最大值．

本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，有一定的难度．

二、填空题

1．【答案】6

【解析】解：

作出不等式组对应的平面区域如图：

由𝑧=3𝑥+2𝑦得𝑦=−3

2

𝑥+

1𝑧，

2

平移直线𝑦=−3

2

𝑥+

1𝑧，

2

由图象知当直线𝑦=−

3𝑥+

2

1𝑧经过点𝐴（2,0）时，直线的截距最大，此时𝑧最大，

2

最大值为𝑧=3×2=6，故答案为：

6

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．

2．【答案】−63

【解析】解：

𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，𝑆𝑛=2𝑎𝑛+1，①当𝑛=1时，𝑎1=2𝑎1+1，解得𝑎1=−1，

当𝑛⩾2时，𝑆𝑛−1=2𝑎𝑛−1+1，②，由①−②可得𝑎𝑛=2𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1，

∴𝑎𝑛=2𝑎𝑛−1，

∴{𝑎𝑛}是以−1为首项，以2为公比的等比数列，

∴𝑆6

=−1×（1−26）=−63，

1−2

故答案为：

−63

先根据数列的递推公式可得{𝑎𝑛}是以−1为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可．

本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于基础题．

3．【答案】16

【解析】解：

方法一：

直接法，1女2男，有𝐶1𝐶2=12，2女1男，有𝐶2𝐶1=4

2424

根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，

方法二，间接法：

𝐶3−𝐶3=20−4=16种，

64

故答案为：

16

方法一：

直接法，分类即可求出，

方法二：

间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数．本题考查了分类计数原理，属于基础题

4．【答案】−3√3

2

【解析】解：

由题意可得𝑇=2𝜋是𝑓（𝑥）=2𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥的一个周期，故只需考虑𝑓（𝑥）=2𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥在[0,2𝜋）上的值域，

先来求该函数在[0,2𝜋）上的极值点，求导数可得𝑓′（𝑥）=2𝑐𝑜𝑠𝑥+2𝑐𝑜𝑠2𝑥

=2𝑐𝑜𝑠𝑥+2（2𝑐𝑜𝑠2𝑥−1）=2（2𝑐𝑜𝑠𝑥−1）（𝑐𝑜𝑠𝑥+1），

令𝑓′（𝑥）=0可解得𝑐𝑜𝑠𝑥=1

2

或𝑐𝑜𝑠𝑥=−1，

可得此时𝑥=𝜋

3

，𝜋或5𝜋；

3

∴𝑦=2𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥的最小值只能在点𝑥=𝜋

3

，𝜋或5𝜋

3

和边界点𝑥=0中取到，

计算可得𝑓（𝜋）=3√3，𝑓（𝜋）=0，𝑓（5𝜋）=−3√3

，𝑓（0）=0，

3232

∴函数的最小值为−3√3，

2

故答案为：

−3√3．

2

由题意可得𝑇=2𝜋是𝑓（𝑥）的一个周期，问题转化为𝑓（𝑥）在[0,2𝜋）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．

本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．三、解答题1．【答案】解：

（1）∵∠𝐴𝐷𝐶=90∘，∠𝐴=45∘，𝐴𝐵=2，𝐵𝐷=5．

∴由正弦定理得：

𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐷𝐵

∴𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐷𝐵=2𝑠𝑖𝑛45∘=√2

=𝐵𝐷

𝑠𝑖𝑛∠𝐴

，

，即2

𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐷𝐵

=5，

𝑠𝑖𝑛

55

∵𝐴𝐵<𝐵𝐷，∴∠𝐴𝐷𝐵<∠𝐴，

∴𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐷𝐵=√1−（

√2）25

=√23．

5

（2）∵∠𝐴𝐷𝐶=90∘，∴𝑐𝑜𝑠∠𝐵𝐷𝐶=𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐷𝐵=√2，

5

∵𝐷𝐶=2√2，

∴𝐵𝐶=√𝐵𝐷2+𝐷𝐶2−2×𝐵𝐷×𝐷𝐶×𝑐𝑜𝑠∠𝐵𝐷𝐶

=√25+8−2×5×2√2×√2=5．

5

【解析】

（1）由正弦定理得2

𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐷𝐵

=5

𝑠𝑖𝑛

，求出𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐷𝐵=√2

5

，由此能求出𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐷𝐵；

（2）由∠𝐴𝐷𝐶=90∘，得𝑐𝑜𝑠∠𝐵𝐷𝐶=𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐷𝐵=√2

5

，再由𝐷𝐶=2√2，利用余弦定理

能求出𝐵𝐶．

本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

2．【答案】

（1）证明：

由题意，点𝐸、𝐹分别是𝐴𝐷、𝐵𝐶的中点，

则𝐴𝐸=

1𝐴𝐷，𝐵𝐹=

2

1𝐵𝐶，

2

由于四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，所以𝐸𝐹⊥𝐵𝐶．

由于𝑃𝐹⊥𝐵𝐹，𝐸𝐹∩𝑃𝐹=𝐹，则𝐵𝐹⊥平面𝑃𝐸𝐹．

又因为𝐵𝐹⊂平面𝐴𝐵𝐹𝐷，所以：

平面𝑃𝐸𝐹⊥平面𝐴𝐵𝐹𝐷．

（2）在平面𝐷𝐸𝐹中，过𝑃作𝑃𝐻⊥𝐸𝐹于点𝐻，联结𝐷𝐻，由于𝐸𝐹为面𝐴𝐵𝐶𝐷和面𝑃𝐸𝐹的交线，𝑃𝐻⊥𝐸𝐹，

则𝑃𝐻⊥面𝐴𝐵𝐹𝐷，故𝑃𝐻⊥𝐷𝐻．

在三棱锥𝑃−𝐷𝐸𝐹中，可以利用等体积法求𝑃𝐻，因为𝐷𝐸//𝐵𝐹且𝑃𝐹⊥𝐵𝐹，

所以𝑃𝐹⊥𝐷𝐸，

又因为△𝑃𝐷𝐹≌△𝐶𝐷𝐹，所以∠𝐹𝑃𝐷=∠𝐹𝐶𝐷=90∘，所以𝑃𝐹⊥𝑃𝐷，

由于𝐷𝐸∩