新课标全国卷Ⅱ理科数学.doc
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高中理科数学综合训练
2016年新课标全国卷Ⅱ理科数学（含答案）
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
2．已知集合，，则
A．B．C．D．
3．已知向量，，且，则
A．B．C．6D．8
4．圆的圆心到直线的距离为1，则
A．B．C．D．2
5．如图，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
小明
小红
老年公寓
A．24
B．18
C．12
D．9
4
4
4
6．右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，
则该几何体的表面积为
A．
B．
C．
D．
7．若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为
A．B．
C．D．
结束
输入，
输出
否
开始
是
，
输入
8．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现
该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的，
，依次输入的为2，2，5，则输出的
A．7
B．12
C．17
D．34
9．若，则
A．B．C．D．
10．从区间随机抽取个数，构成个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为
A．B．C．D．
11．已知，是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，，则的离心率为
A．B．C．D．2
12．已知函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则
A．0B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则．
14．，是两个平面，，是两条直线，有下列四个命题：
①如果，，∥，那么．
②如果，∥，那么．
③如果∥，，那么∥．
④如果∥，∥，那么与所成的角和与所成的角相等．
其中正确的命题有．（填写所有正确命题的编号）
15．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：
“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：
“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．
16．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）为等差数列的前项和，且，．记，其中表示不超过的最大整数，如，．
（Ⅰ）求，，；
（Ⅱ）求数列的前1000项和．
18．（本小题满分12分）某险种的基本保费为（单位：
元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
保费
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
概率
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60％的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19．（本小题满分12分）如图，菱形的对角线与交于点，，，点，分别在，上，，交于点，将沿折到的位置，．
（Ⅰ）证明：
平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．
20．（本小题满分12分）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，．
（Ⅰ）当，时，求的面积；
（Ⅱ）当时，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）．
（Ⅰ）讨论函数的单调性，并证明当时，；
（Ⅱ）证明：
当时，函数有最小值．设的最小值为，求函数的值域．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题记分．
22．（本小题满分10分）选修4–1：
几何证明选讲
如图，在正方形中，，分别在边，上（不与端点重合），且，过点作，垂足为．
（Ⅰ）证明：
，，，四点共圆；
（Ⅱ）若，为的中点，求四边形的面积．
23．（本小题满分10分）选修4–4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的方程为．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数），与交于，两点，，求的斜率．
24．（本小题满分10分）选修4–5：
不等式选讲
已知函数，为不等式的解集．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：
当，时，．
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
A
C
D
A
B
C
B
C
D
C
A
C
二、填空题
13．．14．②③④．15．1和3．16．．
三、解答题
17．（Ⅰ），，，，．
（Ⅱ）因为，，，．所以时，．当时，．当时，．
所以数列的前1000项和．
18．（Ⅰ）设一续保人本年度的保费高于基本保费的概率为，则．
（Ⅱ）设所求概率为，则．
（Ⅲ）续保人本年度的平均保费，所以续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为．
19．（Ⅰ）略．（Ⅱ）结果．
20．（Ⅰ）当时，，直线．代入椭圆方程整理得．因为直线与椭圆的交点为，，所以，得，所以点，又，所以的面积．
（Ⅱ）令，则直线方程．联立椭圆直线方程，消去整理得．于是，所以，所以，．因为，所以，即．所以，因为，所以，整理得，解得，所以的取值范围是．
21．（Ⅰ）对求导，得．当时，，函数在区间内单调递增，所以．
因为，所以，所以．
（Ⅱ）对求导，得，．记，．
由（Ⅰ）知函数区间内单调递增，所以，又，，所以存在唯一正实数，使得．
于是，当时，，，函数在区间内单调递减；当时，，，函数在区间内单调递增．
所以在内有最小值，由题设．
又因为．所以．根据（Ⅰ）知，在内单调递增，，所以．
令，则，函数在区间内单调递增，所以，
即函数的值域为．
22．（Ⅰ）在中，因为，所以，且
，因为，，所以，所以∽．
所以．所以．所以，，，四点共圆．
（Ⅱ）因为，，所以．因为，，，四点共圆，所以．
所以≌．所以的面积．
23．（Ⅰ）由圆的标准方程，得，所以圆的极坐标方程为．
（Ⅱ）将代入，整理得．
设，两点对应参数值分别为，，则，．
所以，得，解得，所以或．
24．（Ⅰ）函数，则不等式可化为或或解得．
所以不等式的解集为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，所以，，于是，即，所以．
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