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【变式训练】
3.试证：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
总课题
第一章常用逻辑用语
分课题
第三节全称量词与全称命题
学习课时数
一课时
【学习目标】
1.理解全称命题和特称命题．
2.能判定全称命题和特称命题的真假．
3.理解全称命题、特称命题的否定之间的关系．
4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
【特别关注】
1.对全称命题和特称命题的理解．（重点）
2.对不含量词的全称命题和特称命题真假的判断．（易混点）
3.对全称命题和特称命题的否定的理解．（重点）
4.写出全称命题和特称命题的否定．（易混点）
【启动思维】
1．“x>1”是“
<1”的______条件（填充分、必要或充要）．
2．命题有四种形式，否命题相对于原命题来说否定的什么？
【走进教材】
1、量词
一、全称量词
概念：
短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．
注意以下几点：
（1）将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x）…表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，可简记为∀x∈M，p（x）；
（2）全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题．
例如p：
对所有整数x，x2－1＝0，q：
对所有整数x,5x－1是整数，其中命题p、q都是全称命题．
二、存在量词
概念：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．
注意以下几点：
（1）特称命题“存在M中的一个x，使p（x）成立”可用符号简记为∃x∈M，p（x）．
（2）存在命题就是陈述在某集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题．
2、全称命题与特称命题
全称命题
特称命题
量词
在一些命题的条件中，“所有”“每一个”“任何一个”“任意一个”“一切”等都是在指定范围内，表示
的含义，这样的词叫作全称量词
在一些命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示
的含义，这样的词叫作存在量词
命题
含有全称量词的命题
含有存在量词的命题
形式
对M中任意一个x，有p（x）成立，可简记为任意的x∈M，p（x）
存在x0∈M，p（x0），即在M中存在一个元素x0，使p（x0）成立．
否定
存在x0∈M，p（x0）不成立．
的否定是
任意的x∈M，非p（x）．
的否定是
3、全称命题与特称命题的不同表述
同一个全称命题、存在命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．现列表总结于下，在实际应用中可以灵活地选择：
命题
全称命题“∀x∈A，p（x）”
存在命题“∃x∈A，p（x）”
表述方法
所有的x∈A，p（x）成立
存在x∈A，使p（x）成立
对一切x∈A，p（x）成立
至少有一个x∈A，使p（x）成立
对每一个x∈A，p（x）成立
对有些x∈A，使p（x）成立
任选一个x∈A，使p（x）成立
对某个x∈A，使p（x）成立
凡x∈A，都有p（x）成立
有一个x∈A，使p（x）成立
4、含有一个量词的命题的否定．
含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：
∀x∈M，p（x），它的否定¬p：
∃x0∈M，¬p（x0）．
全称命题的否定是特称命题．
含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题p：
∃x0∈M，p（x0），它的否定¬p：
∀x∈M，¬p（x）．
【自主练习】
1．下列命题中是全称命题并且是真命题的是（ ）
A．每个二次函数的图象都开口向上
B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b
C．存在一条直线与两个相交平面都垂直
D．存在一个实数x0使不等式x02－3x0＋6<0成立
2．命题“有的函数没有解析式”的否定是（ ）
A．有的函数有解析式
B．任何函数都没有解析式
C．任何函数都有解析式
D．多数函数有解析式
3．下列语句：
①有一个实数a不能取对数；②所有不等式的解集A，都有A⊆R；③有的向量方向不定；④自然数的平方是正数．其中全称命题有________（填序号），特称命题有__________（填序号）．
4．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：
（1）当a＞1时，则对任意x，曲线y＝ax与曲线y＝logax有交点．
（2）被5整除的整数的末位数字都是0.
（3）有的四边形没有外接圆．
【典例导航】
题型一全称命题与特称命题的辨析
例1、判断下列语句是全称命题，还是特称命题．
（1）凸多边形的外角和等于360°；
（2）有的向量方向不定；
（3）对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
（4）矩形的对角线不相等；
（5）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
【变式训练】
1.判断下列语句是否是全称命题或存在性命题：
①有一个实数a，a不能取对数；
②所有不等式的解集A，都有A⊆R；
③三角函数都是周期函数吗？
④有的向量方向不确定；
⑤自然数的平方是正数．
题型二全称命题特称命题真假的判定
例2、判断下列命题的真假：
（1）p：
所有的单位向量都相等；
（2）p：
任一等比数列{an}的公比q≠0；
（3）p：
存在x0∈R，x02＋2x0＋3≤0；
（4）p：
存在等差数列{an}，其前n项和Sn＝n2＋2n－1.
【变式训练】
2.判断下列命题的真假．
（1）所有的素数都是奇数；
（2）有一个实数，使x2＋2x＋3＝0；
（3）有些整数只有两个正因数；
（4）所有奇数都能被3整除．
题型三含有一个量词的命题的否定
例3、已知命题p：
∃n∈N,2n＞1000，则¬p为（ ）
A．∀n∈N,2n≤1000 B．∀n∈N,2n＞1000
C．∃n∈N,2n≤1000D．∃n∈N,2n＜1000
【变式训练】
3.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．
（1）三角形的内角和为180°；
（2）每个二次函数的图象都开口向下；
（3）存在一个四边形不是平行四边形；
（4）存在一个实数x0，使得3x0<0.
总课题
第一章常用逻辑用语
分课题
第一节逻辑联结词“且”“或”“非”
学习课时数
一课时
【学习目标】
1.通过实例了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义．
2.会判断含“且”、“或”、“非”的命题的真假.
【特别关注】
1.对含“且”“或”“非”的命题真假的判断．（重点）
2.“且”“或”“非”在逻辑判断中的综合应用．（易混点）
【启动思维】
1．命题是指用表达的，可以判断的句．
2．矩形的对角线相等且互相平分；矩形有外接圆或有内切圆，想一想两者说法有何不同？
【走进教材】
1．“p”且“q”
用“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“”．
当两个命题p和q都是真命题时，新命题“p且q”是命题；在两个命题p和q之中，至少有一个命题是假命题，新命题“p且q”是假命题．
2．“p”或“q”
用“或”联结两个命题p和q，构成一个新命题“”．
在两个命题p和q之中，至少有一个命题是真命题时，新命题“p或q”是真命题；当两个命题p和q都是假命题时，新命题“p或q”是假命题．
3．非p
对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作“”，读作“”．
一个命题p与这个命题的否定，必然一个是命题，一个是命题，一个命题否定的否定仍是．
【自主练习】
1．命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是（ ）
A．简单命题
B．“p或q”形式的复合命题
C．“p且q”形式的复合命题
D．“非p”形式的命题
2．复合命题S具有“p或q”形式，已知“p且r”是真命题，那么命题S是（ ）
A．真命题
B．假命题
C．与命题q的真假有关
D．与命题r的真假有关
3．用“或”、“且”、“非”填空，使命题成为真命题：
（1）x∈A∪B，则x∈A________x∈B；
（2）x∈A∩B，则x∈A________x∈B；
（3）若ab＝0，则a＝0________b＝0；
（4）a，b∈R，若a＞0________b＞0，则ab＞0.
4．判断下列命题的真假：
（1）2是偶数或者3不是质数；
（2）对应边相等的两个三角形全等或对应角相等的两个三角形全等；
（3）周长相等或者面积相等的两个三角形全等．
【典例导航】
题型一含逻辑连接词的命题的构成
例1、指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题．
（1）96是48与16的倍数；
（2）方程x2－3＝0没有有理数解；
（3）不等式x2－x－2＞0的解集是{x|x＜－1或x＞2}．
【变式训练】
1.将下列命题写成“p或q”“p且q”和“¬p”的形式：
（1）p：
菱形的对角线互相垂直，q：
菱形的对角线互相平分；
（2）p：
能被5整除的整数的个位数一定为5，q：
能被5整除的整数的个位数一定为0.
题型二含逻辑连接词的命题真假的判断
例2、指出下列命题的真假．
（1）命题：
“不等式|x＋2|≤0没有实数解”；
（2）命题：
“－1是偶数或奇数”；
（3）命题：
“
属于集合Q，也属于集合R”；
（4）命题：
“A
（A∪B）”．
【变式训练】
2.分别指出下列各组命题构成的“p且q”“p或q”“¬p”形式的命题的真假．
（1）p：
6＜6，q：
6＝6.
（2）p：
梯形的对角线相等，q：
梯形的对角线互相平分．
（3）p：
函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点．
q：
方程x2＋x＋2＝0没有实根．
题型三逻辑联结词“且”“或”“非”的综合应用
例3、若p是真命题，q是假命题，则（ ）
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．¬p是真命题D．¬q是真命题
例4、写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题，并判断其真假：
（1）p：
梯形有一组对边平行，q：
梯形有一组对边相等．
（2）p：
－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：
－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
（3）p：
集合中元素是确定的，q：
集合中元素是无序的．
【变式训练】
3.对于下列各组命题，利用“且”“或”“非”分别构造新命题，并判断新命题的真假．
（1）命题p：
任何集合都有两个子集；命题q：
任何一个集合都至少有一个真子集；
（2）命题p：
等比数列的公比可以是负数；命题q：
等比数列可以是等差数列；
（3）命题p：
7<7，命题q：
7＝7.
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