常用逻辑用语.docx
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常用逻辑用语
常用逻辑用语
评卷人
得分
一、选择题（本题共15道小题，每小题0分，共0分）
1.
若a∈R，则“a=3”是“a2=9”的（）条件．
A．充分而不必要B．必要而不充分
C．充要D．既不充分又不必要
2.
a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的（）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3.
下列选项中，说法正确的是（）
A．命题“∃x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x＞0”
B．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件
C．命题“若am2≤bm2，则a≤b”是假命题
D．命题“在△ABC中，若sinA＜
，则A＜
”的逆否命题为真命题
4.
设
为向量，则“
”是“
的夹角是锐角”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
5.
设
，则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）
A．充分必要条件B．充分而非必要条件
C．必要而非充分条件D．既非充分也非必要条件
6.
“a=﹣2”是“直线l1：
ax﹣y+3=0与l2：
2x﹣（a+1）y+4=0互相平行”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7.试题内容丢失。
8.
下列结论正确的个数是（ ）
①若x＞0，则x＞sinx恒成立；
②命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x＞0，x0﹣lnx0≤0”；
③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9.
若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
10.
命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）
A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0
C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0
11.
已知实数a，b，则“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12.
有下列四个命题：
①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题为（）
A．①②B．①③C．②③D．③④
13.
命题甲：
f（x）是R上的单调递增函数；命题乙：
∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2）．则甲是乙的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件
14.
下列有关命题的说法正确的是（）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：
“若x2=1，则x≠1”
B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：
“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”
D．命题“已知x，y为一个三角形的两内角，若x=y，则sinx=siny”的逆命题为真命题
15.
在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员降落在指定范围”可表示为（）
A．（￢p）∨（￢p）B．￢（（￢p）∧（￢p））C．（￢p）∧（￢p）D．￢（p∨p）
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题（本题共7道小题，每小题0分，共0分）
16.有以下四个命题：
①
中，“
”是“
”的充要条件；
②不等式
在
上恒成立；；
③若命题
，则
④设有四个函数
其中在
上是增函数的函数有3个.
其中真命题的序号.
17.
命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是．
18.
已知数列{an}是等比数列，命题p：
“若公比q＞1，则数列{an}是递增数列”，则在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为 ．
19.
命题“∃x∈（﹣∞，0），使得3x＜4x”的否定是．
20.
命题“若
、
都是偶数，则
是偶数”的逆命题是．
21.若命题“
，
”为假命题，则实数
的取值范围是
22.
已知命题p：
m＜1，命题q：
函数f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p与q一真一假，则实数m的取值范围是．
评卷人
得分
三、解答题（本题共4道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,共0分）
23.
已知命题P：
关于x的方程x2﹣（a+3）x+a+3=0有两个不等正实根；命题Q：
不等式ax2﹣（a+3）x﹣1＜0对任意实数x均成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．
24.试题内容丢失。
25.
设p：
实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：
实数x满足
（Ⅰ）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
26.
已知命题p：
|x﹣1|≥2，q：
x∈Z，且“p且q”与“非q”同时为假命题，求x的值．
试卷答案
1.A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】计算题．
【分析】先判断出“a=3”成立能推出“a2=9”成立，因为“a2=9时a=±3，通过举例子a=﹣3成立推不出“a=3”成立，利用充要条件的有关定义得到结论．
【解答】解：
已知a∈R，则a=3⇒a2=9；
∵a2=9，可得a=±3，当a=﹣3时，满足a2=9，推不出a=3，
∴“a=3”是“a2=9”的充分而不必要条件，
故选A；
【点评】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，但解题的关键是知道一个正数的平方根有两个；
2.B
【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】先求△＞0时a的范围，结合韦达定理，以及特殊值a=1来判定即可．
【解答】解：
方程ax2+2x+1=0有根，则△=22﹣4a≥0，得a≤1时方程有根，
当a＜0时，x1x2=
＜0，方程有负根，又a=1时，方程根为x=﹣1，
显然a＜0⇒方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根；
方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根，不一定a＜0．
a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的充分不必要条件．
故选B．
【点评】本题考查一元二次方程的根的分布于系数的关系，充要条件的判定，是中档题．
3.C
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，逐一分析四个答案是否成立，最后综合讨论结果，可得结论．
【解答】解：
对于A，命题“∃x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＞0”，故错误；
对于B，命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件，故错误；
对于C，命题“若am2≤bm2，则a≤b”在m=0时，不一定成立，故是假命题，故正确；
对于D，“在△ABC中，若sinA＜
，则A＜
或A＞
”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；
故选：
C
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，难度不大，属于基础题．
4.B
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【专题】规律型．
【分析】根据向量数量积的应用以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：
若“
的夹角是锐角”，设夹角为θ，
则
．
当θ=0时，满足
，
但
的夹角是锐角不成立．
∴“
”是“
的夹角是锐角”的必要不充分条件．
故选：
B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用数量积的公式是解决本题的关键．
5.A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；奇函数．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】由f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+
）=﹣x3+log2
=﹣x3﹣log2（x+
）=﹣f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件．
【解答】解：
f（x）=x3+log2（x+
），f（x）的定义域为R
∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+
）=﹣x3+log2
=﹣x3﹣log2（x+
）=﹣f（x）．
∴f（x）是奇函数
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数
∴f（x）在R上是增函数
a+b≥0可得a≥﹣b
∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）
∴f（a）+f（b）≥0成立
若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知
a≥﹣b
∴a+b≥0成立
∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．
【点评】本题考查充要条件的判断，解题时要注意单调性的合理运用．
6.A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据充分必要条件的定义结合两直线平行的性质及判定得出答案．
【解答】解：
当a=﹣2时，l1：
2x+y﹣3=0，l2：
2x+y+4=0，两直线平行，是充分条件；
若直线l1：
ax﹣y+3=0与l2：
2x﹣（a+1）y+4=0互相平行，则a（a+1）=2，解得：
a=﹣2，或a=1，不是必要条件，
故选：
A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了两直线平行的性质及判定，是一道基础题．
7.答案内容丢失。
8.B
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】简易逻辑．
【分析】令y=x﹣sinx，求出导数，判断单调性，即可判断①；
由全称性命题的否定为存在性命题，即可判断②；
由命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，即可判断③；
【解答】解：
对于①，令y=x﹣sinx，则y′=1﹣cosx≥0，则有函数y=x﹣sinx在R上递增，
则当x＞0时，x﹣sinx＞0﹣0=0，则x＞sinx恒成立．所以①正确；
对于②，命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．所以②正确；
对于③，命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，反之成立，
则应为必要不充分条件，所以③不正确；
综上可得，其中正确的叙述共有2个．
故选：
B．
【点评】本题考查函数的单调性的运用，考查复合命题的真假和真值表的运用，考查充分必要条件的判断和命题的否定，属于基础题和易错题．
9.A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】求解（a﹣1）（a﹣2）=0，a=1或a=2，根据充分必要条件的定义可判断．
【解答】解：
∵（a﹣1）（a﹣2）=0，
∴a=1或a=2，
根据充分必要条件的定义可判断：
若a∈R，则a=2是（a﹣1）（a﹣2）=0的充分不必要条件，
故选：
A
【点评】本题考查了充分必要条件的定义，难度不大，属于基础题．
10.D
【考点】命题的否定．
【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．
【解答】解：
∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题
∴否定命题为：
对任意x∈Z使x2+2x+m＞0
故选D．
【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化．注意：
全称命题的否定是特称命题．
11.B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】分别解出2a＞2b，log2a＞log2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件．
【解答】解：
2a＞2b⇒a＞b，
当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b，
反之由log2a＞log2b即：
a＞b＞0可得2a＞2b成立．
故选：
B．
【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．
12.B
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】简易逻辑．
【分析】写出“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题判断真假；
写出“全等三角形的面积相等”的否命题判断真假；
通过若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根，根据二次方程根的存在性，即可得到其真假，然后利用互为逆否命题的两个命题即可判定该命题的正误．
利用原命题与逆否命题同真同假判断即可．
【解答】解：
对于①，“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是：
若x，y互为相反数，则x+y=0．它是真命题．
对于②，“全等三角形的面积相等”的否命题是：
若两个三角形不是全等三角形，则这两个三角形的面积不相等．它是假命题．
对于③，若q≤1，则△=4﹣4q≥0，故命题若q≤1，则方程x2+2x+q=0有实根是真命题；它的逆否命题的真假与该命题的真假相同，故（3）是真命题．
对于④，原命题为假，故逆否命题也为假．
故选：
B．
【点评】本题考查四种命题的真假判断以及命题的否定，解题时要注意四种命题的相互转化，和真假等价关系，属基础题．
13.A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】规律型．
【分析】根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：
根据函数单调性的定义可知，若f（x）是R上的单调递增函数，则∀x1＜x2，f（x1）＜f（x2）成立，∴命题乙成立．
若：
∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2）．则不满足函数单调性定义的任意性，∴命题甲不成立．
∴甲是乙成立的充分不必要条件．
故选：
A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性的定义和性质是解决本题的关键，比较基础．
14.D
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】简易逻辑．
【分析】对于A根据否命题的意义即可得出；
对于B按照垂直的条件判断；
对于C按照含有一个量词的命题的否定形式判断；
对于D按照正弦定理和大角对大边原理判断．
【解答】解：
对于A，根据否命题的意义可得：
命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：
“若x2≠1，则x≠1”，因此原命题不正确，违背否命题的形式；
对于B，“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件不准确，因为“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件是m2=1，即m=±1．
对于命题C：
“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定的写法应该是：
“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故原结论不正确
对于D，根据正弦定理，∵x=y⇔sinx=siny”，所以逆命题为真命题是正确的．
故答案选：
D．
【点评】本题考查了四种命题之间的关系、命题的否定，属于基础题．
15.B
【考点】复合命题的真假．
【专题】简易逻辑．
【分析】命题“至少有一位学员降落在指定范围”可表示为p∨q，再利用复合命题的运算性质即可判断出．
【解答】解：
命题“至少有一位学员降落在指定范围”可表示为p∨q，
而A．（￢p）∨（￢p）=￢（P∧q），因此不正确；
B．￢（￢p）∧（￢p）=￢（￢（p∨q））=p∨q，正确；
C．（￢p）∧（￢p）=￢（p∨q），不正确；
D．￢（p∨p），不正确．
故选：
B．
【点评】本题考查了复合命题的运算性质及其判定方法，属于基础题．
16.①②④
略
17.若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数
【考点】四种命题．
【专题】阅读型．
【分析】欲写出它的否命题，须同时对条件和结论同时进行否定即可．
【解答】解：
条件和结论同时进行否定，则否命题为：
若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．
故答案为：
若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．
【点评】命题的否定就是对这个命题的结论进行否认（命题的否定与原命题真假性相反）；命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．
18.4
考点：
四种命题．
专题：
简易逻辑．
分析：
根据题意，写出命题p与它的逆命题，否命题和逆否命题，再判定它们是否为真命题．
解答：
解：
原命题p：
“在等比数列{an}中，若公比q＞1，则数列{an}是递增数列”，例如，当数列为，﹣2，﹣4，﹣8，…，q=2，但是数列为递减数列，故原命题为假命题；
逆命题是：
“在等比数列{an}中，若数列{an}递增数列”，则“公比q＞1”，例如，当数列为，﹣1，﹣
，﹣
，…，q=
，但是数列为递增数列，是假命题；
否命题是：
“在等比数列{an}中，若公比q≤1，则数列{an}不是递增数列，是假命题；
逆否命题是：
“在等比数列{an}中，若数列{an}不是递增数列”，则“公比q≤1”，是假命题；
综上，命题p及其逆命题，否命题和逆否命题中，假命题有4个．
故答案为：
4
点评：
本题考查了四种命题的关系以及命题真假的判定问题，解题时应弄清楚四种命题的关系是什么，根据递增数列的定义判断命题的真假，是基础题
19.∀x∈（﹣∞，0），都有3x≥4x
考点：
命题的否定．
专题：
简易逻辑．
分析：
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
解答：
解：
因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈（﹣∞，0），使得3x＜4x”的否定是：
∀x∈（﹣∞，0），都有3x≥4x
故答案为：
∀x∈（﹣∞，0），都有3x≥4x．
点评：
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
20.
【知识点】四种命题．A2
若
是偶数，则
、
都是偶数解析：
“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆命题是：
“若a+b是偶数，则a、b都是偶数”，故答案为：
若a+b是偶数，则a、b都是偶数
【思路点拨】命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”．
21.
22.[1，2）
考点：
复合命题的真假．
专题：
函数的性质及应用；简易逻辑．
分析：
先求出命题p，q下的m的取值范围：
命题p：
m＜1，命题q：
m＜2，然后根据p或q为真，p且q为假知：
p，q中一真一假，讨论p，q的真假情况，求出在每一种情况下的m范围求并集即可．
解答：
解：
若命题q：
函数f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，是真命题，
则5﹣2m＞1，解得：
m＜2．
又∵命题p：
m＜1，p与q一真一假，
当p真q假时，m＜1且m≥2，不存在满足条件的m值．
当p假q真进，m≥1且m＜2，则m∈[1，2），
综上所述：
实数m的取值范围是[1，2），
故答案为：
[1，2）
点评：
考查绝指数函数的单调性，p或q，p且q的真假和p，q真假的关系，难度不大，属于基础题．
23.
【考点】复合命题的真假．
【专题】计算题；方程思想；综合法；简易逻辑．
【分析】分别求出关于p，q成立的a的范围，从而求出P∨Q是真命题时的a的范围即可．
【解答】解：
（Ⅰ）∵命题P：
关于x的方程x2﹣（a+3）x+a+3=0有两个不等正实根，
∴
，解得：
a＞1，
又∵命题Q：
不等式ax2﹣（a+3）x﹣1＜0对任意实数x均成立，
当a=0时：
不等式变为：
﹣3x﹣1≤0，解得：
x≥﹣
，显然不符合题意，
当a≠0时：
，解得：
﹣9＜a＜﹣1，
若P∨Q是真命题，则实数a的范围是：
﹣9＜a＜﹣1或a＞1．
【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道中档题．
24.答案内容丢失。
25.
【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】阅读型．
【分析】
（1）把a=1代入不等式后求解不等式，同时求解不等式组，得到命题p和命题q中x的取值范围，由p且q为真，对求得的两个范围取交集即可；
（2）p是q的必要不充分条件，则集合B是集合A的子集，分类讨论后运用区间端点值之间的关系可求a的取值范围．
【解答】解：
（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0，得：
（x﹣3a）（x﹣a）＜0，
当a=1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．
由
，得：
2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．
若p且q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是2＜x＜3．
（Ⅱ）p是q的必要不充分条件，即q推出p，且p推不出q，
设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则B是A的真子集，
又B=（2，3]，当a＞0时，A=（a，3a）；a＜0时，A=（3a，a）．
所以当a＞0时，有
，解得1＜a≤2，
当a＜0时，显然A∩B=∅，不合题意．
所以实数a的取值范围是1＜a≤2．
【点评】本题是命题真假的判断与应用，考查了必要条件问题，考查了数学转化和分类讨论思想，是中档题．
26.
考点：
命题的真假判断与应用．
专题：
计算题．
分析：
由题设条件先求出命题P：
x≥3或x≤﹣1．由“p且q”与“¬q”同时为假命题知﹣1＜x＜3，x∈Z．由此能得到满足条件的x的集合．
解答：
解：
由命题p：
|x﹣1|≥2，得到命题P：
x﹣1≥2或x﹣1≤﹣2，即命题P：
x≥3或x≤﹣1；
∵¬q为假命题，∴命题q：
x∈Z为真命题．
再由“p且q”为假命题，知命题P：
x≥3或x≤﹣1是假命题．
故﹣1＜x＜3，x∈Z．
∴满足条件的x的值为：
0，1，2．
x的值为：
0，1，2．
点评：
本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．
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