八上培优5半角模型.docx

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八上培优5半角模型

八上培优5半角模型方法：

截长补短

图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。

还有

套

的情况。

求证的结论一般是线段的和与差。

解决的方法是：

截长补短构造全等三角形。

旋转移位造全等，翻折分割构全等。

截长法，补短法。

勤学早和新观察均有专题。

勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。

这些题大同小异，只是图形略有变化而已。

证明过程一般要证明两次全等。

下面是新观察第34页1~4题

1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分别在AD、CD上，且∠EBF=60゜．求证：

EF=AE+CF．

2.如图2，在上题中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证：

AE=EF+CF．

3.如图，∠A=∠B=90°,CA=CB=4,∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3,BF=2,求五边形ABCDE的面积.

4．如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF．

（1）求证：

EF=BE+DF；

（2）在

（1）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，试探究EF、BE、DF之间的数量关系．

3.如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

勤学早第40页试题

1.

（1）如图，已知AB= AC,∠BAC=90°， ∠ MAN=45°,过点C作NC ⊥AC交AN于点N，过点B作BM 垂直AB交AM于点M，当∠MAN在∠BAC内部时，求证：

BM+CN =MN;

证明:

延长MB到点G，使BG=CN,连接AG，证△ABG≌△ACN（SAS）,∴AN=AG,∠BAG=,∠NAC.L∵∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM=45°=L∠MAN,

证△AMN≌△AMG（SAS）,'∴MN=MG=BM+BG=BM十NC.

证明二：

（此证明方法见新观察培优第27页例3）

（2）如图,在

（1）的条件下，当AM和AN在AB两侧时，

（1）的结论是否成立?

请说明理由.

解:

不成立，结论是:

MN=CN一BM,

证明略.

基本模型二120°套60°

2.如图，△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,E为AB上一点，∠DCE=60°,∠DAE=120°，

求证:

DE=BE

证明:

（补短法）延长EB至点F,使BF=AD,连接CF,则△CBF≌△CAD，

△CED≌△CEF,.DE-AD=EF-BF=BE.

3.如图,△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°，点E为AB上一点，∠DCE=∠DAE=60°，

求证:

AD+DE=BE.

证明:

（截长法）在BE上截取BF=AD,连接CF，易证△CBF≌△CAD，

△CED≌ACEF,DE=EF,AD+DE=BF+EF=BE.

比较：

新观察培优版27页

例4如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角，∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于M、N,连结MN,试求△AMN的周长.

分析:

由于∠MDN=60°,∠BDC=120°，所以∠BDM十∠CDN=60°，注意到DB=DC，考虑运用“旋转法”将∠BDM和∠CDN移到一起，寻找全等三角形。

另一方面,△AMN的周长AM+AN+MN=AB+AC+MN-BM-CN.猜想MN=BM+CN,证三角形全等解决.

新观察培优68页例5如图，点A、B（2,0）在x轴上原点两侧,C在y轴正半轴上,OC平分∠ACB.

（1）求A点坐标;

（2）如图1,AQ在∠CAB内部，P是AQ上一点，满足∠ACB=∠AQB,AP=BQ.试判断△CPQ的形状，并予以证明;

（3）如图2.BD⊥BC交y轴负半轴于D.∠BDO=60°,F为线段AC上一动点，E在CB延长线上，满足∠CFD+∠E=180°.当F在AC上移动时，结论:

①CE+CF值不变;②CE-CF值不变，其中只有一个正确结论，请选出正确结论并求其值.

分析:

（1）由∠A0C≌△BOC得AO=BO=2,A（-2,0）.

（2）由△ACP≌△BCQ得CP=CQ.

（3）由BD⊥BC,∠BDO=60°，可证得等边△ABC.由角平分线和DB_⊥BC的条件,运用对称性知DA⊥AC,连结DA,加上条件∠CFD+∠E=180°，可证得△ADF

△BDE,于是CE+CF=2AC=2AB=8.

基本模型三2

°套

°

4.

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=

∠BAD,求证:

EF=BE+DF;

（2）如图2,在

（1）的条件下,若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时，

则EF,BE,DF之间的数量关系是EF=BE-DF

解:

（1）EF=BE+DF,延长FD到点G，使DG=BE,连接AG,

证△ABE≌△ADG（SAS）,..∴AE=AG,

∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=

∠BAD,

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,∴∠'EAF=∠GAF,

证△AEF≌△GAF（SAS）,.∴EF=FG,∵FG=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+DF;

（2）EF=BEDF.

外地试题：

4．探究：

如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连结EF，求证：

EF=BE+DF．

应用：

如图②，在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，AB=AD，∠B+∠D=90°，∠EAF=

∠BAD，若EF=3，BE=2，则DF=．

5．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．

原题：

如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，求证：

EF=BE+DF．

（1）思路梳理

∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．

∵∠ADG=∠B=90°，∴∠FDG=∠ADG+∠ADC=180°，则点F、D、G共线．

根据SAS，易证△AFG≌AFE，从而得EF=BE+DF；

（2）类比引申

如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，但当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠D=180°时，仍有EF=BE+DF，请给出证明；

（3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．

7．

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且AE=AF，∠EAF=

∠BAD．现有三种添加辅助线的方式：

①延长EB至G，使BG=BE，连接AG；②延长FD至G，使DG=BE，连接AG；③过点A作AG⊥EF，垂足为G；选择其中一种方法添加辅助线，求证：

EF=BE+FD；

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，若∠B+∠D=180°，∠EAF=

∠BAD，证明

（1）中结论是否还成立？

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=

∠BAD，

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

8．

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

∠BAD．求证：

EF=BE+FD．

（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

∠BAD，

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=

∠BAD，

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．

半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子？

1．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）

（1）求B点坐标；

（2）如图2，若C为x正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连接OD，求∠AOD的度数；

（3）如图3，过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式AM=FM+OF是否成立？

若成立，请说明；若不成立，说明理由．