几何部分的所有知识点.docx
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几何部分的所有知识点
几何部分
第二章：
三角形
知识点：
一、关于三角形的一些概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫三角形的边；相邻两边的公共端点叫三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。
1、三角形的角平分线。
三角形的角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的距离）
2、三角形的中线
三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离）
3．三角形的高
三角形的高线也是一条线段（顶点到对边的距离）
注意：
三角形的中线和角平分线都在三角形内。
如图2－l，AD、BE、CF都是么ABC的角平分线，它们都在△ABC内
如图2－2，AD、BE、CF都是△ABC的中线，它们都在△ABC内
而图2－3，说明高线不一定在△ABC内，
图2—3—
（1）图2—3—
（2）图2－3一（3）
图2－3—
（1），中三条高线都在△ABC内，
图2－3－
（2），中高线CD在△ABC内，而高线AC与BC是三角形的边；
图2－3一（3），中高线BE在△ABC内，而高线AD、CF在△ABC外。
4、三角形三条边的关系
三角形三边都不相等，叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相等的则叫等边三角形。
等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫项角。
三角形按边相等关系来分类：
三角形
用集合表示，见图2－4
三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
推论三角形两边的差小于第三边。
不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。
例如三条线段长分别为5，6，1人因为5＋6＜12，所以这三条线段，不能作为三角形的三边。
三、三角形的内角和
定理三角形三个内角的和等于180°
由定理可知，三角形的二个角已知，那么第三角可以由定理求得。
如已知△ABC的两个角为∠A＝90°，∠B＝40°，则∠C＝180°–90°–40°＝50°
由定理可以知道，三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。
推论1：
直角三角形的两个锐角互余。
三角形按角分类：
用集合表示，见图
三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。
推论2：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论3：
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
例如图2—6中
∠1＞∠3；∠1=∠3＋∠4；∠5＞∠3＋∠8；∠5＝∠3＋∠7＋∠8；
∠2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；∠4＞∠9；∠4＝∠9＋∠10等等。
四、全等三角形
能够完全重合的两个图形叫全等形。
两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
全等用符号“≌”表示
△ABC≌△A`B`C`表示A和A`，B和B`，C和C`是对应点。
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
如图2—7，△ABC≌△A`B`C`，则有A、B、C的对应点A`、B`、C`；AB、BC、CA的对应边是A`B`、B`C`、C`A`。
∠A，∠B，∠C的对应角是∠A`、∠B`、∠C`。
∴AB＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠B＝∠B`，∠C＝∠C`
五、全等三角形的判定
1、边角边公理：
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）
注意：
一定要是两边夹角，而不能是边边角。
2、角边角公理：
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角“或“ASA”）
3、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边’域“AAS”）
4、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）
由边边边公理可知，三角形的重要性质：
三角形的稳定性。
除了上面的判定定理外，“边边角”或“角角角”都不能保证两个三角形全等。
5、直角三角形全等的判定：
斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”）
六、角的平分线
定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理2、一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
由定理1、2可知：
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
可以证明三角形内存在一个点，它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点（交于一点）
命题：
在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互为逆命题，如果把其中的一个做原命题，那么另一个叫它的逆命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理。
例如：
“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆定理。
一个定理不一定有逆定理，例如定理：
“对顶角相等”就没逆定理，因为“相等的角是对顶角”这是一个假命颗。
七、基本作图
限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作网＿
最基本、最常用的尺规作图．通常称为基本作图，例如做一条线段等于己知线段。
1、作一个角等于已知角：
作法是使三角形全等（SSS），从而得到对应角相等；
2、平分已知角：
作法仍是使三角形全等（SSS）．从而得到对应角相等。
3、经过一点作已知直线的垂线：
（1）若点在已知直线上，可看作是平分已知角平角；
（2）若点在已知直线外，
可用类似平分已知角的方法去做：
已知点C为圆心，适当长为半径作弧交已知真线于A、B两点，再以A、B为圆心，用相同的长为半径分别作弧交于D点，连结CD即为所求垂线。
4、作线段的垂直平分线：
线段的垂直平分线也叫中垂线。
做法的实质仍是全等三角形（SSS）。
也可以用这个方法作线段的中点。
八、作图题举例
重要解决求作三角形的问题
1、已知两边一夹角，求作三角形2、已知底边上的高，求作等腰三角形
九、等腰三角形的性质定理
等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
推论1：
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，就是说：
等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
例如：
等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等，因为等腰三角形底边中线就是顶角的角平分线、而角平分线上的点到角的两边距离相等n
十、等腰三角形的判定
定理：
如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。
（简写成“等角对等动”）。
推论1：
三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
推论3：
在直角三角形中，如果一个锐角等于3O°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
十一、线段的垂直平分线
定理：
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
逆定理：
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
就是说：
线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。
十二、轴对称和轴对称图形
把一个图形沿着某一条直线折叠二如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线轴对称，两个图形中的对应点叫关于这条直线的对称点，这条直线叫对称轴。
两个图形关于直线对称也叫轴对称。
定理1：
关于某条直线对称的两个图形是全等形。
定理2：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
定理3：
两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长相交。
那么交点在对称轴上。
逆定理：
如果两个图形的对应点连线被一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。
例如：
等腰三角形顶角的分角线就具有上面所述的特点，所以等腰三角形顶角的分角线是等腰三角形的一条对称轴，而等腰三角形是轴对称图形。
十三、勾股定理
勾股定理：
直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方：
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：
那么这个三角形是直角三角形
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几何部分
第三章：
四边形
知识点：
一、多边形
1、多边形：
由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。
2、多边形的边：
组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
3、多边形的顶点：
多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。
4、多边形的对角线：
连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
5、多边形的周长：
多边形各边的长度和叫做多边形的周长。
6、凸多边形：
把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。
说明：
一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形。
今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。
7、多边形的角：
多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。
8、多边形的外角：
多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。
注意：
多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。
9、n边形的对角线共有条。
说明：
利用上述公式，可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数，也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。
10、多边形内角和定理：
n边形内角和等于（n－2）180°。
11、多边形内角和定理的推论：
n边形的外角和等于360°。
说明：
多边形的外角和是一个常数（与边数无关），利用它解决有关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单。
无论用哪个公式解决有关计算，都要与解方程联系起
来，掌握计算方法。
二、平行四边形
1、平行四边形：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形性质定理1：
平行四边形的对角相等。
3、平行四边形性质定理2：
平行四边形的对边相等。
4、平行四边形性质定理2推论：
夹在平行线间的平行线段相等。
5、平行四边形性质定理3：
平行四边形的对角线互相平分。
6、平行四边形判定定理1：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
7、平行四边形判定定理2：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
8、平行四边形判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
9、平行四边形判定定理4：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
说明：
（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。
同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。
（2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。
三、矩形
矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。
因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。
1、矩形：
有一个角是直角的平行四边形叫做短形（通常也叫做长方形）
2、矩形性质定理1：
矩形的四个角都是直角。
3．矩形性质定理2：
矩形的对角线相等。
4、矩形判定定理1：
有三个角是直角的四边形是矩形。
说明：
因为四边形的内角和等于360度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必定是直角。
5、矩形判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形。
说明：
要判定四边形是矩形的方法是：
法一：
先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明）
法二：
先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1）
法三：
只需证出三个角都是直角。
（这是判定定理2）
四、菱形
菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。
1、菱形：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质1：
菱形的四条边相等。
3、菱形的性质2：
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
4、菱形判定定理1：
四边都相等的四边形是菱形。
5、菱形判定定理2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
说明：
要判定四边形是菱形的方法是：
法一：
先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。
（这就是定义证明）。
法二：
先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。
（这是判定定理2）
法三：
只需证出四边都相等。
（这是判定定理1）
（五）正方形
正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。
1、正方形：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形性质定理1：
正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
3、正方形性质定理2：
正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
4、正方形判定定理互：
两条对角线互相垂直的矩形是正方形。
5、正方形判定定理2：
两条对角线相等的菱形是正方形。
注意：
要判定四边形是正方形的方法有
方法一：
第一步证出有一组邻边相等；第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形。
（这是用定义证明）
方法二：
第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。
（这是判定定理1）
方法三：
第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。
（这是判定定理2）
六、梯形
1、梯形：
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2、梯形的底：
梯形中平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的边叫做下底）
3、梯形的腰：
梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。
4、梯形的高：
梯形有两底的距离叫做梯形的高。
5、直角梯形：
一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
6、等腰梯形：
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
7、等腰梯形性质定理1：
等腰梯形在同一底上的两个角相等。
8、等腰梯形性质定理2：
等腰梯形的两条对角线相等。
9、等腰梯形的判定定理l。
：
在同一个底上钩两个角相等的梯形是等腰梯形。
10、等腰梯形的判定定理2：
对角线相等的梯形是等腰梯形。
研究等腰梯形常用的方法有：
化为一个等腰三角形和一个平行四边形；或两个全等的直角三角形和一矩形；或作对角线的平行线交下底的延长线于一点；或延长两腰交于一点。
七、中位线
1、三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
说明：
三角形的中位线与三角形的中线不同。
2、梯形的中位线：
连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。
3、三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
4、梯形中位线定理：
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
八、多边形的面积
说明：
多边形的面积常用的求法有：
（1）将任意一个平面图形划分为若干部分再通过求部分的面积的和，求出原来图形的面积这种方法叫做分割法。
如图3－l，作六边形的最长的一条对角线，从其它各顶点向这条对角线引垂线，把六边形分成四个直角三角形和两个直角梯形，计算它们的面积再相加。
（2）将一个平面图形的某一部分割下来移放在另一个适当的位置上，从而改变原来图形的形状。
利用计算变形后的图形的面积来求原图形的面积的这种方法。
叫做割补法。
——
（3）将一个平面图形通过拼补某一图形，使它变为另一个图形，利用新的图形减去所补充图形的面积，来求出原来图形面积的这种方法叫做拼凑法。
注意：
两个图形全等，它们的面积相等。
等底等高的三角面积相等。
一个图形的面积等于它的各部分面积的和。
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几何部分
第四章：
相似形
知识点：
一、比例线段
1、比：
选用同一长度单位量得两条线段。
a、b的长度分别是m、n，
那么就说这两条线段的比是a：
b＝m：
n（或）
2、比的前项，比的后项：
两条线段的比a：
b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：
求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：
两个比相等的式子叫做比例，如
4、比例外项：
在比例（或a：
b＝c：
d）中a、d叫做比例外项。
5、比例内项：
在比例（或a：
b＝c：
d）中b、c叫做比例内项。
6、第四比例项：
在比例（或a：
b＝c：
d）中，d叫a、b、c的第四比例项。
7、比例中项：
如果比例中两个比例内项相等，即比例为
（或a:
b=b:
c时，我们把b叫做a和d的比例中项。
）
8、比例线段：
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，
那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
9、比例的基本性质：
如果a：
b＝c：
d那么ad＝bc逆命题也成立，即如果ad＝bc，那么a：
b＝c：
d
10、比例的基本性质推论：
如果a：
b=b：
d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：
b=b：
c。
说明：
两个论是比积相等的式子叫做等积式。
比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。
11、合比性质：
如果，那么
12．等比性质：
如果，（），那么
说明：
应用等比性质解题时常采用设已知条件为k，这种方法思路单一，方法简单不易出错。
13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。
说明：
把一条线段黄金分割的点，叫做这条线段的黄金分割点，在线段AB上截取这条线段的倍得到点C，则点C就是AB的黄金分割点。
二、平行线分线段成比例
1、平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
格式：
如果直线L1∥L2∥L3，AB＝BC，
那么：
A1B1＝B1C1，如图4－l
说明：
由此定理可知推论1和推论2
推论1：
经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。
格式：
如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，那么DF=FC
推论2：
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
格式，如果△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，那么AE＝EC，如图4—3
2、平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
说明：
平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况。
3．平行线分线段成比例定理的推论：
平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。
说明1：
平行线分线段成比例定理可用形象的语言来表达。
如图4—4
说明2：
图4－4的三种图形中这些成比例线段的位置关系依然存在。
4、三角形一边的平行线的判定定理。
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
5、三角形一边的平行线的判定定理：
平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
6、线段的内分点：
在一条线段上的一个点，将线段分成两条线段，这个点叫做这条线段的内分点。
7、线段的外分点：
在一条线段的延长线上的点，有时也叫做这条线段的外分点。
说明：
外分点分线段所得的两条线段，也就是这个点分别和线段的两个端点确定的线段。
三、相似三角形
1、相似三角形：
两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
说明：
证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。
2、相似比：
相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。
3、相似三角形的基本定理：
平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
说明：
这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。
4、三角形相似的判定定理：
（1）判定定理1：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。
可简单说成：
两角对应相等，两三角形相似。
（2）判定定理2：
如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（3）判定定理3：
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：
三边对应成比例，两三角形相似。
（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
说明：
以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。
第一：
顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。
第二：
腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
第三：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
第四：
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
第五：
如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。
5、相似三角形的性质：
（1）相似三角形性质1：
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
（2）相似三角形性质2：
相似三角形周长的比等于相似比。
说明：
以上两个性质简单记为：
相似三角形对应线段的比等于相似比。
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
说明：
两个三角形相似，根据定义可知它们具有对应角相等、对应边成比例这个性质。
6、介绍有特点的两个三角形
（1）共边三角形指有一条公共边的两个三角形叫做共边三角形。
（2）共角三角形有一个角相等或互补的两个三角形叫做共角三角形，如图4－6
（3）公边共角有一个公共角，而且还有一条公共边的两个三角形叫做公边共角三角形。
说明：
具有公边共角的两个三角形相似，则公边的平方等于叠在一条直线上的两边的乘积：
如图4—7若△ACD∽△ABC，则AC2＝AD·AB
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第五章：
解直角三角形
知识点：
一、锐角三角函数：
在直角三角形ABC中，∠C是直角，如图5－1
1、正弦：
把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作
2、余弦：
把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作
3、正切：
把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作
4、余切：
把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作
说明：
由定义可以看出tanA·cotA＝l（或写成）
5、锐角三角函数：
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
说明：
锐角三角函数都不能取负值。
0＜sinA＜l；0＜cosA＜1；
6、锐角的正弦和余弦之间的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
即sinA＝cos（90°一A）＝cosB；cosA＝sin（90°一A）＝sinB
7、锐角的正切和余切之间的关系任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
即tanA＝cot（90°一A）＝cotB；cotA
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