完整八年级上册勾股定理练习题及答案.docx
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完整八年级上册勾股定理练习题及答案
八年级勾股定理练习题及答案
1.在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2bc2AC2的值是（）
A.2B.4C.6D.8
2.如图18-2-4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD//BC,斜腰DC的长为10cm,/D=120，则该零件另一腰AB的长是cm（结果不取近似值）.
3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为.
8.一个零件的形状如图所示，已知AC=3Cm，AB=4Cm，BD=12Cm。
求CD的长.
4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，
9.如图，在四边形
ABCD中，/A=60°，ZB=ZD=90°，BC=2CD=3求AB的长.
旗杆在断裂之前高多少m?
第9题图
5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面
3米处折断，树的顶端落在离树杆底
部4米处，那么这棵树折断之前的高度是
第5题图
10.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
6.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米？
4000米处，过了20秒，飞机距
11如图，某会展中心在会展期间准备将高
5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯平方米
18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱
5m
7.如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的f处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的
蜘蛛，所走的最短路线的长度
12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源•为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米•早晨8:
00甲先出发，他以6千米/时的速
度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10:
00，甲、乙二人相距多远？
还能保持联系吗？
第7题图
第一课时答案：
22222
1.A，提示：
根据勾股定理得BCAC1,所以abBCAC=1+1=2；
BC2AC2AB2324225
在直角三角形CBD中，根据勾股定理，得CD=BC+BD=25+122=169，所以CD=13.
2.4，提示：
由勾股定理可得斜边的长为5m，而3+4-5=2m，所以他们少走了4步.
60
3.，提示：
设斜边的高为X，根据勾股定理求斜边为
13
12252,16913，再
9.解：
延长BCAD交于点E.（如图所示）
B=90°，ZA=60°，^ZE=30°又tCD=3二CE=6/•BE=8,
利用面积法得,
1
13x,x
2
1
-512
2
AB=16m，AC=12m，
60
13
4.解：
依题意，
在直角三角形ABC中，由勾股定理，
222222
BC2AB2AC2162122202,
所以BC=20m,20+12=32（m）,故旗杆在断裂之前有32m高.
8.3
3
10.如图，作出A点关于MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，则A'B就是最短路线.在Rt△A'DB中，由勾股定理求得
设AB=X，则AE=2X，由勾股定理。
得（2x）2X2
11.解：
根据勾股定理求得水平长为13252
82,x
12m，
地毯的总长为12+5=17（m），地毯的面积为17X2=34（
A'B=17km
2\
m），
5.8
6.解：
如图,由题意得,AC=4000米，/C=90°,AB=5000米，由勾股定理得
铺完这个楼道至少需要花为：
34X18=612（元）
12.解：
如图，甲从上午8：
00到上午10：
00一共走了2小时,走了12千米，
bc=.50002400023000（米）,
所以飞机飞行的速度为舟
540（千米/小时）
7.解:
在Rt
3600
将曲线沿AB展开，如图所示，过点C作CELAB于E.
CEF,
CEF90，ef=18-1-1=16（cm），
CE=
2.60
30（cm），
••15>13，••甲、乙两人还能保持联系.
即OA=12.
乙从上午9：
00到上午10:
00一共走了1小时，走了5千米，即OB=5.
在Rt△OAB中，AB2=122十52=169，二AB=13，
因此，上午10:
00时，甲、乙两人相距13千米.
由勾股定理，得
CF=CE2EF2.30216234（cm）
8.
解：
在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得
勾股定理的逆定理
（2）
一、选择题
1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）
A.9，12，15B.513C.0.2，0.3，0.4D.40，41，9
44
2.
满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）
A.三个内角比为1:
2:
1B.三边之比为1:
2:
.5
C.三边之比为，3:
2:
5D.三个内角比为1:
2:
3
3.已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（）
A..2B.2,10C.4.2或210D.以上都不对
4.五根小木棒，其长度分别为7，15,20,24,25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确
的是（）
7.已知三角形ABC的三边长为a,b,c满足ab10,ab18,c8，则此三角形为三角形.
8.在三角形ABC中,AB=12cm，AC=5cm，BC=13cm，贝UBC边上的高为AD=cm.
三、解答题
9.如图，已知四边形ABCD中，/B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13，求四边形ABCD的面积.
第9题图
CE=BC,F为CD的中点，连接AF、AE,
问厶AEF是什么三角形？
请说明理由.
ABCD
二、填空题
5.△ABC的三边分别是7、24、25,则三角形的最大内角的度数是.
6.三边为9、12、15的三角形，其面积为
二、5.90°提示：
根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为
11.如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC,滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.
12.如图，为修通铁路凿通隧道AC,量出/A=40°ZB=50°，AB=5公里，BC=4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AB凿通？
90°.6.54，提示：
先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为91254.7.
2
直角，提示：
2222222
（ab）100,得ab2ab100,ab100218648c；
8.-60，提示：
先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再利用面积法求得
13
11
—125—13AD;
22
三、9.解：
连接AC，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42=25，/•AC=5.
在厶ACD中，tAC2+CD2=25+122=169而AB2=132=169，
/•AC2+CD2=AB2，二/ACD=90°.
1111
故S四边形abcd=Saabc+Saacd=AB•BC+AC•CD=—X3X4+X5X12=6+30=36.
2222
10.解：
由勾股定理得AE2=25，EF2=5，
AF2=20，tAE2=EF2+AF2，
•••△aef是直角三角形
11.
设AD=x米，贝UAB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，（x+10）2+52=（15-x）2,解得x=2，二10+x=12（米）
12.解：
第七组，a27115,b27（71）112,c1121113.
一、1.C;2.C;3.C,提示：
当已经给岀的两边分别为直角边时，第三边为斜边
18.2勾股定理的逆定理答案:
210;当6为斜边时，第三边为直角边=「622242；4.C；
=2262
、基础巩固
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）
A.三内角之比为1:
2:
3B.三边长的平方之比为1:
2:
3
C.三边长之比为3:
4:
5D.三内角之比为3:
4:
5
2.
如图18-2-4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD//BC,斜腰DC的长为10cm,
/D=120，则该零件另一腰AB的长是cm（结果不取近似值）.
图18图18-2-5图18-2-6
3•如图18-2-5,以RtAABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S、S2、S3,且S=4,
S2=8,_则AB的长为.
4.如图18-2-6,已知正方形ABCD的边长为4,E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=1AD,
4
试判断△EFC的形状.
5.一个零件的形状如图18-2-7,按规定这个零件中/A与/BDC都应为直角，工人师傅量得
零件各边尺寸：
AD=4,AB=3,BD=5,DC=12,BC=13，这个零件符合要求吗?
8.已知：
如图18-2-8,在厶ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD-BD.
求证：
△ABC是直角三角形.
图18-2-8
9•如图18-2-9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3,1）,B（2,4）,△OAB是直角三角形吗？
借助于网格，证明你的结论
.图18-2-9
10.已知：
在厶ABC中，ZA、/B、/C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.
-2-10
参考答案
一、基础巩固
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）
A.三内角之比为1:
2:
3B.三边长的平方之比为1:
2:
3
C.三边长之比为3:
4:
5D.三内角之比为3:
4:
5
思路分析：
判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：
①有一个角是直角或两锐角互余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半由A得有一个角是直角；B、C满足勾股定理的逆定理，所以应选D.
答案：
D
2.如图18-2-4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD//BC,斜腰DC的长为10cm,/D=120，则该零件另一腰AB的长是cm（结果不取近似值）.
图18—2-4
解：
过D点作DE//AB交BC于E,
则厶DEC是直角三角形•四边形ABED是矩形，
/•AB=DE.
vZD=120，二/CDE=30.
又丁在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，CE=5cm.
根据勾股定理的逆定理得，DE=J1O2525J3cm.
二ab=、1025253cm.
3.如图18-2-5,以RtAABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S、S2、S3,且S仁4,
S2=8,_则AB的长为.
2,即S1+S2=S3，所以S3=12,因为S3=AB2,
所以AB=.§31223.
答案：
2.3
1
4.如图18-2-6,已知正方形ABCD的边长为4,E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=AD,
4
试判断△EFC的形状.
思路分析：
分别计算EF、CE、CF的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.
解：
vE为AB中点，BE=2.
二CE2=be2+BC2=22+42=20.
同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.
vce2+ef2=cf2,
•••△EFC是以ZCEF为直角的直角三角形.
5.一个零件的形状如图18-2-7,按规定这个零件中ZA与ZBDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：
AD=4,AB=3,BD=5,DC=12,BC=13，这个零件符合要求吗？
图18-2-7
思路分析：
要检验这个零件是否符合要求，只要判断厶ADB和厶DBC是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.
解：
在△ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以△ABD为直角三角形，ZA=90在厶BDC中，
BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2
所以△BDC是直角三角形，ZCDB=90.
因此这个零件符合要求.
6.已知△ABC的三边分别为k2—1,2k,k2+i（k>1）,求证：
△ABC是直角三角形.
思路分析：
根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可
证明：
tk2+i>k2—1,k2+i—2k=（k—1）2>0,即k2+1>2k，二k2+1是最长边.
t（k2—1）2+（2k）2=k4—2k2+i+4k2=k4+2k2+1=（k2+1）2,
•••△ABC是直角三角形.
二、综合应用
7.已知a、b、c是RtAABC的三边长，△AiBiCi的三边长分别是2a、2b、2c,那么△AiBiCi是直角三角形吗？
为什么？
思路分析：
如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例2已证）.
解：
略
8.已知：
如图i8—2—8，在厶ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD-BD.
求证：
△ABC是直角三角形.
图18—2—8
思路分析：
根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可
证明：
tac2=ad2+cd2，BC2=CD2+BD2，
AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2
=AD2+2AD-BD+BD2
=（ad+bd）2=ab2.
•••△ABC是直角三角形.
9•如图18—2—9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3,1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？
借助于网格，证明你的结论.
图18—2—9
思路分析：
借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度，再利用勾股定理的
逆定理判断△OAB是否是直角三角形即可.
解：
tOA2=OAi2+AiA2=32+12=10,
OB2=OBi2+BiB2=22+42=20,
AB2=AC2+BC2=12+32=10,
-OA2+AB2=OB2.
OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.
10.阅读下列解题过程：
已知a、b、cABC的三边，且满足a2c2—b2C2=a4—b4，试判断△ABC的形状.
解：
ta2c2—b2c2=a4—b4，（A）/•c2（a2—b2）=（a2+b2）（a2—b2），（B）/•c2=a2+b2，（C）/•△ABC是直角三角形.
问：
①上述解题”过程是从哪一步开始岀现错误的？
请写岀该步的代号;
②错误的原因是”;③本题的正确结论是.
思路分析：
做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽
视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.
答案：
①（B）②没有考虑a=b这种可能，当a=b时厶ABC是等腰三角形：
③厶ABC是等腰三角形或直角三角形.
11.已知：
在厶ABC中，/A、/B、/C的对边分别是a、b、c，满足a^+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.
思路分析：
（1）移项，配成三个完全平方；
（2）三个非负数的和为0，则都为0;（3）已知a、
b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形
解：
由已知可得a2—10a+25+b2—24b+144+c2—26c+169=0,
配方并化简得,（a—5）2+（b—12）2+（c—13）2=0.
t（a—5）2》0,（—12）2>0,（—13）2>0.
/•a—5=0,b—12=0,c—13=0.
解得a=5,b=12,c=13.
又ta2+b2=169=c2,
•••△ABC是直角三角形.
12.已知：
如图18—2—10，四边形ABCD，AD//BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.
求：
四边形ABCD的面积.
图18-2-10
思路分析：
（1）作DE//AB，连结BD，则可以证明△ABD◎△EDB（ASA）;
（2）DE=AB=4,BE=AD=3,EC=EB=3;（3）在厶DEC中,3、4、5为勾股数，△DEC为直角三角形，DE丄BC;（4）利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.
解：
作DE//AB，连结BD，则可以证明△ABDEDB（ASA）,
/•DE=AB=4，BE=AD=3.
•/BC=6,EC=EB=3.
•/DE2+CE2=32+42=25=CD2,
•••△DEC为直角三角形.
又tEC=EB=3,
/•△DBC为等腰三角形，DB=DC=5.
在厶BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2,
•••△BDA是直角三角形.
它们的面积分别为
吐BDA=1—=6；S△DBC=13=12.
22
•:
S四边形abcd=Sabda+Sadbc=6+12=18.
勾股定理的应用（4）
1.三个半圆的面积分别为S=4.5n,S=8n,S=12.5n,把三个半圆拼成如图所示的图形,则厶ABC一定是直角三角形吗？
说明理由。
（2）
（3）
请写岀你发现的规律。
结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。
6•如图，在
Rt△ABC中，/ACB=90,CD丄AB,BC=6AC=8求AB、
CD的长
2.求知中学有一块四边形的空地ABCD如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量/
A=90°,AB=3mBC=12mCD=13mDA=4m若每平方米草皮需要200天，问学校需要投入多少
资金买草皮？
7.在数轴上画岀表示、17的点（不写作法，但要保留画图痕迹）
3..（12分）如图所示，折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cmBC=10cm求EC的长。
8.已知如图，四边形ABCD中，/B=90°AB=4,BC=3CD=12AD=13
求这个四边形的面积
4.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
压东
5.（8分）观察下列各式，你有什么发现？
32=4+5,52=12+13,72=24+2592=40+41……这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢?
（1）填空:
132=
9.如图，每个小方格的边长都为1•求图中格点四边形ABCD的面积。
勾股定理复习题（5）
一、填空、选择题题：
3.有一个边长为5米的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少为（）
米。
4、一旗杆离地面6米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，则旗杆折断之前的高度是
（）米。
6、在厶ABC中，/C=90°,AB=10。
⑴若/A=30°,贝UBC,AC。
⑵若/A=45°
贝寸BC=，AC=。
8、在厶ABC中，/C=90°，AC=0.9cm,BC=1.2cm.则斜边上的高CD=m
18、下列各命题的逆命题不成立的是（
A.两直线平行，同旁内角互补B.
若两个数的绝对值相等，则这两个数相等
C.对顶角相等
D.
22
如果a=b或a+b=0,那么ab
二、解答题：
19、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1
尺。
如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。
水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
11三角形的三边abc，满足（ab）2c22ab，则此三角形是三角形。
12、小明向东走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三个方向走100米回到原地。
小明
向东走80米后又向方向走的。
13、ABC中，AB=13cm,BC=10cm，BC边上的中线AD=12crr则AC的长为cm
14、两人从同一地点同时出发，一人以3米/秒的速度向北直行，一人以4米/秒的速度向东直
行，5秒钟后他们相距米.
15、写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
⑴两直线平行，内错角相等。
（）
⑵如果两个实数相等，那么它们的平方相等。
（）
⑶若a2b2，贝寸a=b（）
⑷全等三角形的对应角相等。
（）
⑸角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
（）
16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是（）
（A）a=15b=8c=17（B）a:
b:
c=1:
3：
2
20、一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少？
（其
中丈、尺是长度单位,1丈=10尺）
21、某港口位于东西方向的海岸线上。
“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固
定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。
它们离开港口一个半小时后相距30海里。
如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？
23、一根70cm的木棒,要放在长、宽、高分别是50cm,40cm,30cm的长方体木箱中，能放进去吗?
（提
示:
长方体的高垂直于底面的任何一条直线.）
（C）a=2b=6c=8
55
（D）a=13b=14c=15
17、若一个三角形的三边长为
6,8,x,则使此三角形是直角三角形的x的值是（）.
22、请在数轴上标岀表
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