勾股定理 典型分类练习题.docx

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勾股定理典型分类练习题

勾股定理典型分类练习题

题型一：

直接考查勾股定理

例１.在

中，

．

⑴已知

，

．求

的长

2已知

，

，求

的长

变式1：

已知，△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明△ABC

是等腰三角形。

变式2：

已知△ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13,△ABC是否是直角三角形？

你能说明理由吗？

题型二：

利用勾股定理测量长度

例1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

例2如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

题型三：

勾股定理和逆定理并用

例3如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且

那么

△DEF是直角三角形吗？

为什么

题型四：

旋转中的勾股定理的运用：

例4、如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与

△ACP′重合，若AP=3，求PP′的长。

变式：

如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=

PC=4,求△ABC的边长.

分析：

利用旋转变换，将△BPA绕点B逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.

题型五：

翻折问题

例5：

如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿

AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.

变式：

如图，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D好落在BC边上的点F，求CE的长.

题型6：

勾股定理在实际中的应用：

例6、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到

公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉

机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，

已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

变式：

如图，铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄，若DA=10km,CB=15km，

DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等.求E应建在距A多远处？

关于最短性问题

例5、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，

它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不

引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行

突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路

程才能捕到害虫?

（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）

选择题

1.在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.5，12，13B.4，5，7C.2，3，

D.1，

，

2.在Rt△ABC中，∠C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（）

A.5、4、3B.13、12、5C.10、8、6D.26、24、10

3.下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a、5a（a>0）；⑤m2-n2、2mn、m2+n2（m、n为正整数，且m>n）其中可以构成直角三角形的有（）

A、5组；B、4组；C、3组；D、2组

4.下列结论错误的是（）

A、三个角度之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形；

B、三条边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形；

C、三条边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形；

D、三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形。

5.下面几组数:

①7,8,9；②12,9,15；③m2+n2,m2–n2,2mn（m，n均为正整数,m

n）

.其中能组成直角三角形的三边长的是（）

A.①②B.②③C.①③D.③④

6.三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）

A．a:

b:

c=8∶16∶17B．a2-b2=c2C．a2=（b+c）（b-c）D．a:

b:

c=13∶5∶12

7.三角形的三边长为

则这个三角形是（）

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形

8.三角形的三条中位线长分别为6、8、10,则该三角形为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

9.以下列线段

的长为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）A

B.

C

D.

10.已知三角形的三边长为a、b、c，如果

，则△ABC是（　　）

A.以a为斜边的直角三角形　　B.以b为斜边的直角三角形

C.以c为斜边的直角三角形　　D.不是直角三角形

11.有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的摆放是（）

12.若三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶1∶1,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列等式中，成立的是（）

A.

B.

C.

D.

13．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）

A、25B、14C、7D、7或25

14.三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为（）

A.6B.4.5C.2.4D.8

15.如果三角形三边长分别为6、8、10，那么最大边上的高是（）

A.2.4B.4.5C.4.8D.6

16.若直角三角形的两条直角边长分别为3cm、4cm，则斜边上的高为（）

A、

cmB、

cmC、5cmD、

cm

17.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（）．

A．6cmB．8.5cmC．

cmD．

cm

18.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=10，BC∶AC=3∶4，则BC=（）

A.6B.8C.10D、以上都不对

19.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（　　）

A．5B．25C．

D．5或

20.等腰三角形的底边为16cm，底边上的高为6cm，则腰长为（）

A.8cmB9cmC10cmD13cm

21.Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（　　）

A、121B、120C、132D、不能确定

22.直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　）

A．121B．120C．90D．不能确定

23.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　）．

A．12　　　B．7＋

　　C．12或7＋

　D．以上都不对

24.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为

A．42　B．32　C．42或32D．37或33

25.如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（　　）

A、60∶13B、5∶12C、12∶13D、60∶169

26.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）

A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm2

27.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（　　）

A、56B、48C、40D、32

28.一个三角形的三边长分别是5、13、12,则它的面积等于（）

A.30B.60C.65D.156

29.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，

折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）

A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm2

30.在同一平面上把三边BC=3，AC=4、AB=5的三角形沿最长边AB翻折后得到△ABC′，则CC′的长等于（）

A、

；B、

；C、

；D、

31.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）

A.2B.2.6C.3D.4

32.如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地

面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离

等于3m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）．

A．小于1m　　　B．大于1m　　　C．等于1m　　D．小于或等于1m

33.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（　　）．

A．h≤17cm　B．h≥8cm　C．15cm≤h≤16cm　D．7cm≤h≤16cm

填空题

1，在Rt△ABC中，∠C=90o，如果a=8,c=17,则b=

2.在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）若a=5，b=12，则c=＿＿

（2）b=8，c=17，则S△ABC=＿＿＿。

3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，且2a＝3b，c＝2

，则a＝_____，b＝_____．

4.直角三角形ABC中，∠C=90o，若C=5，则a2+b2+c2=

5.在△ABC中，AB=8cm,BC=15cm,要使CB=90o，则AC长为cm

6.若一个三角形的三边之比为45∶28∶53，则这个三角形是＿＿（按角分类）。

7.若三角形三边长为9、40、41，则此三角形是

8.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为＿＿＿＿。

9.设直角三角形的三条边长为连续自然数，则这个直角三角形的面积是_____．

10.三个内角之比为1：

2：

3的三角形的最短边为1，则此三角形的面积为

11.在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是＿＿＿＿。

12.△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，AD⊥BC于D，则AD=＿＿＿。

13.直角三角形的两直角边长分别是16、12，则斜边上的高为

14.在Rt△ABC中，E是斜边AB上的一点，把Rt△ABC沿CE折叠，点A与点B正好重合，如果AC=4，则AB=

15.如果梯子底端离建筑物9m，那么15m长的梯子可达到建筑物的高度是＿＿。

解答题：

1.如图，已知AB=4、BC=12、CD=13、AD=3、AB

AD求证BC

BD

2.如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9。

（1）求DC的长。

（2）求AB的长。

3.如图，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°，AB＝13，BC＝12，求该图形的面积。

4．已知：

如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，如AB=8cm，BC=10cm,求EC的长

5.如图，△ABC的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，求DC的长．

6.如图一梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为

1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？

7.一个长10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米吗？

8.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？