五年级奥数容斥问题讲座及练习答案.doc
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五年级奥数集训专题讲座(七)——包含与排除
包含与排除问题其实也叫容斥问题。
即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复的计数,应从他们的和中排除重复部分。
如:
集合A加集合B组成一个新的集合C,再计算C的元素时为:
C=A+B-AB
A AB B (韦恩图)
例1:
一个班有48人,班主任在班会上问:
“谁做完语文作业?
请举手!
”有37人举手。
又问:
‘谁做完数学作业?
请举手!
”有42人举手。
最后问:
“谁语文、数学作业没有做完?
”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【思路导航】如图所示,完成语文作业的有37人,完成数学作业的有42人,一共有37+42=79(人),多于全班人数,这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次,在统计做完数学作业的人数时又算了一次,这样就多算了一次。
所以,这个班语文、数学作业都完成的有:
79-48=31(人)
37+42-48=31(人)
答:
语文、数学作业都完成的有31人。
想一想:
下面算式有何道理?
(l)37-(48-42)=31(人)
(2)42-(48-37)=31(人)
【疯狂操练】:
(1)五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人?
解:
语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人,那么总人数是:
65+87=152(人)
其中有一部分是语文数都优秀的,所以语文数学都优秀的有:
152-122=30(人)
答:
语文数学都优秀的有30人。
(2)四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订一种读物,订《数学大世界》的有多少人?
解:
根据两种读物的有13人,订《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订一种读物,可知只订了《数学大世界》的有:
54-45=9(人),而两种读物都订了的有13人,所以订了《数学大世界》的有:
13+9=22(人)
答:
订《数学大世界》的有22人。
(3)学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人?
解:
24+17-8=33(人)
答:
这个文艺组一共有33人。
例2:
某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的人有23人,两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对?
【思路导航】如图所示,已知答对第一题的有25人,两题都答对的有15人,可以求出只答对第一题的有25-15=10(人)。
又已知答对第二题的有23人,用只答对第一题的人数,加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数10+23=33(人)。
所以,两题都答得不对的有36-33=3(人)。
36-[(25-15)+23]=3(人)
想一想:
下面算式有何道理。
(l)36-[(23-15)+25]=3(人)
(2)36-[(25-15)+(23-15)+15]=3(人)
【疯狂操练】:
(l)五
(1)班有40个学生,其中有25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19人两个小组都参加了。
那么,有多少人两个小组都没有参加?
解:
19人两个小组都参加
则只参加数学小组为25-19=6人,只参加航模小组为23-19=4人
所以参加小组活动的为4+6+19=29人,两个小组都没参加的为40-29=11人
(2)一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中国少年报》的有29人,两种报纸都订阅的有25人。
两种报纸都没有订阅的有多少人?
解:
订《小学生数学报》的32人,订《中国少年报》的29人,两种报纸都订的有25人,实际上订阅的总人数是:
29+32-25=36人,
那么两种报纸都没订的有55-36=19人。
答:
两种报纸都没订的有19人。
(3)某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛,结果3人两项比赛都获奖了,有27人两项比赛都没有获奖,已知作文比赛获奖的有14人,问数学比赛获奖的有多少人?
解:
只获作文比赛奖的14-3=11人,只获数学比赛奖的12-3=9人。
获奖人数一共有11+9+3=23人,没获奖的就有50-23=27人。
例3:
某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?
【思路导航】:
要求两科竞赛同时参加的人数,应先求出至少参加一科竞赛的人数56-25=31(人),再求两科竞赛同时参加的人数:
28+27-31=24(人)。
28+27-(56-25)=24(人)答:
同时参加语文、数学两科竞赛的有24人。
想一想:
下面算式有何道理
(l)28-(56-25-27)=24(人)
(2)27-(56-25-28)=24(人)
【疯狂操练】:
(1)一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人,两样都会的有多少人?
解:
因为除了两样都不会的4人,有36-4=32人,这32人分为会英语的,会法语的,两样都会的,而会英语和会法语中包括两样都会的所以就是:
24+18=42(人)比32人多的人数就是两样都会的人数,即42-32=10(人)。
综合列式:
24+18-﹙36-4﹚=10(人)
答:
两样都会的有10人.
(2)一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的52人,这两种棋都不会下的有12人。
问这两种棋都会下的有多少人?
解:
解法同上题:
即:
69+52-﹙103-12﹚=30(人)
答:
这两种棋都会下的有30人.
(3)三年级一班参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。
这两队都没有参加的有10人。
请算一算,这个班共有多少人?
解:
参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,那么共40+20=60人,其中14个两个队都参加了,所以只有:
60-14=46人,再加上两个队都没参加的,一共有46+10=56人。
即:
40+20-14+10=56(人)
答:
这个班共有56人
例4:
光明小学举办学生书法展览。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法共有多少幅?
【思路导航】由题意知,24幅作品是一、二、三、四、五、六年级参展作品的总数;22幅作品是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。
24+22=46〔幅),这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数,从其中去掉五、六年级的共参展的10幅即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数.再除以2,即可求出其它年级参展的作品。
(24+22-10)÷2=18(幅)
答:
其他年级参展的作品共有18幅。
练一练
(l)科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有110件不是一年级的,有100件不是二年级的,一、二年级参展的作品共有32件。
其他年级参展的作品共有多少件?
解:
由“有110件不是一年级的,有100件不是二年级的”可知二年级比一年级多10件,根据“一、二年级参展的作品共有32件”可得一年级展出科技作品数是(32-10)÷2=11件,则二年级展出作品数是32-11=21件,全校展出作品总数为:
11+110=121件或:
21+100=121件。
那么除了一二年级的展出作品数外,其它年级展出作品数为:
121-32=89件。
答:
其他年级参展的作品共有89件.
(2)六
(1)儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有25幅画不是三年级的,有19幅画不是四年级的,三、四年级参展的画共有8幅,其他年级参展的画共有多少幅?
解:
25幅画不是三年级的,19幅画不是四年级的,那么四年级展出的图画作品比三年级多25-18=6幅.
由于三四年级共有8幅,所以三年级的作品有(8-6)÷2=1幅。
那么四年级的有8-1=7幅。
则展出作品总数为:
1+25=26,或7+19=26幅,
那么其它年级展出作品数为26-8=18幅。
答:
其他年级参展的画共有18幅。
(3)实验小学举办学生书法展。
学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品,其中有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,五、六年级参展的书法作品共有20幅。
一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。
一、二年级参展的书法作品共有多少幅?
解:
28幅不是五年级的,也就是六年级+其他年级=28幅;24幅不是六年级的。
也就是五年级+其他年级=24幅;上述两个式子相加得:
(五年级+六年级)+2×其他年级=28+24,
因此其他年级的有:
(28+24-20)÷2=16幅,
又因为一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅,因此一、二年级参展的书法作品共有:
(16-4)÷2=6幅。