圆周角和圆心角的关系 练习题.docx
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圆周角和圆心角的关系练习题
第3章第4节圆周角和圆心角的关系
同步检测
一.选择题
1.如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P在CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（ ）
A．45°B．60°C．75°D．90°
答案：
A
解析：
解答：
连接OB，OC，
∵正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，
∴∠BOC=90°，
∴∠BPC=
∠BOC=45°．
故选A．
分析：
首先连接OB，OC，由正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，可得∠BOC=90°，然后由圆周角定理，即可求得∠BPC的度数．
2.如图，AB.CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB=62°，则∠ACD的大小为（ ）
A．28°B．31°C．38°D．62°
答案：
A
解析：
解答：
∵AB⊥CD，
∴∠DPB=90°，
∵∠CDB=62°，
∴∠B=180°-90°-62°=28°，
∴∠ACD=∠B=28°．
故选A．
分析：
利用垂直的定义得到∠DPB=90°，再根据三角形内角和定理求出∠B=180°-90°-62°=28°，然后根据圆周角定理即可得到∠ACD的度数．
3.如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=（ ）
A．35°B．55°C．70°D．110°
答案：
B
解析：
解答：
：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=35°，
∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，
∴∠ADC=∠ABC=55°．
故选B．
分析：
先根据圆周角定理求出∠ACB=90°，再由三角形内角和定理得出∠ABC的度数，根据圆周角定理即可得出结论．
4.下列命题中，正确的命题个数是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角度数等于圆心角度数的一半；
③90°的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：
A
解析：
解答：
解：
①中，该角还必须两边都和圆相交才行．错误；
②中，必须是同弧或等弧所对，错误；
③正确；
④中，必须在同圆或等圆中，错误．
故选A．
分析：
根据圆周角的概念和定理，逐条分析判断．
5.如图，已知A，B，C在⊙O上，
为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（ ）
A．2∠CB．4∠BC．4∠AD．∠B+∠C
答案：
A
解析：
解答：
如图，由圆周角定理可得：
∠AOB=2∠C．
故选：
A．
分析：
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据圆周角定理，可得∠AOB=2∠C．
6.如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠ACD=35°，则∠BAD=（ ）
A．55°B．40°C．35°D．30°
答案：
A
解析：
解答：
∵∠ACD与∠B是AD对的圆周角，
∴∠B=∠ACD=35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=55°．
故选A．
分析：
由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B的度数，又由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB=90°，继而可求得∠BAD的度数．
7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
答案：
D
解析：
解答：
∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°．
故选：
D．
分析：
由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，根据圆周角定理，即可求得答案．
8.如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（ ）
A．
B．
C．2D．
答案：
D
解析：
解答：
∵∠E=∠ABD，
∴tan∠AED=tan∠ABD=
．
故选D．
分析：
根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解．
9.如图，△ABC的顶点A.B.C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．70°
答案：
C
解析：
解答：
∵∠ABC=
∠AOC，
而∠ABC+∠AOC=90°，
∴
∠AOC+∠AOC=90°，
∴∠AOC=60°．
故选：
C．
分析：
先根据圆周角定理得到∠ABC=
∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以
∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．
10.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC.AD，若∠CAB=35°，则∠ADC的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
答案：
C
解析：
解答：
连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=35°，
∴∠B=55°，
∴∠ADC=55°．
故选C．
分析：
连接BC，推出Rt△ABC，求出∠B的度数，即可推出∠ADC的度数.
11.若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A：
∠B：
∠C=1：
3：
8，则∠D的度数是（ ）
A．10°B．30°C．80°D．120°
答案：
D
解析：
解答：
设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x，
因为四边形ABCD为圆内接四边形，
所以∠A+∠C=180°，
即：
x+8x=180，
∴x=20°，
则∠A=20°，∠B=60°，∠C=160°，
所以∠D=120°，
故选D．
分析：
本题可设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x；利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A.∠C的度数，进而求出∠B和∠D的度数，由此得解．
12.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（ ）
A．115°B．l05°C．100°D．95°
答案：
B
解析：
解答：
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
而∠BAD=105°，
∴∠DCE=105°．
故选B．
分析：
根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°．
13.如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A.点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内
上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（ ）
A．6B．5C．3D．3
答案：
C
解析：
解答：
∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，
∴∠BAO=60°，
∵AB是⊙C的直径，
∴∠AOB=90°，
∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°，
∵点A的坐标为（0，3），
∴OA=3，
∴AB=2OA=6，
∴⊙C的半径长=
=3．
故选：
C．
分析：
先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB的度数，由圆周角定理可知∠AOB=90°，故可得出∠ABO的度数，根据直角三角形的性质即可得出AB的长，进而得出结论．
14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=（ ）
A．35°B．70°C．110°D．140°
答案：
D
解析：
解答：
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=∠DCE=70°，
∴∠BOD=2∠A=140°．
故选D．
分析：
由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A=∠DCE=70°，由圆周角定理知，∠BOD=2∠A=140°．
15.如图，已知经过原点的⊙P与x.y轴分别交于A.B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（ ）
A．80°B．90°C．100°D．无法确定
答案：
B
解析：
解答：
∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，
∴∠AOB=∠ACB，
∵∠AOB=90°，
∴∠ACB=90°．
故选B．
分析：
由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．
二.填空题
16.如图，△ABC的顶点A.B.C均在⊙O上，∠OAC=20°，则∠B的度数是
答案：
70°
解析：
解答：
解：
∵OA=OC，∠OAC=20°，
∴∠ACO=∠OAC=20°，
∴∠AOC=180°-∠ACO-∠OAC=180°-20°-20°=140°，
∴∠B=
∠AOC=
×140°=70°．
故答案为：
70°．
分析：
先根据等腰三角形的性质求出∠ACO的度数，再由三角形内角和定理求出∠AOC的度数，由圆周角定理∠B的度数即可．
17.如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=70°，∠CAB=50°，点D在⊙O上，则∠ADB的
大小为.
答案：
60°
解析：
解答：
∵∠ABC=70°，∠CAB=50°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=60°，
∴∠ADB=∠ACB=60°．
故答案为60°．
分析：
先根据三角形内角和定理计算出∠ACB的度数，然后根据圆周角定理求解．
18.如图，A.B.C.D都在⊙O上，∠B=130°，则∠AOC的度数是
答案：
100°
解析：
解答：
∵A.B.C.D都在⊙O上，即四边形ABCD为⊙O内接四边形，
∴∠D+∠B=180°，又∠B=130°，
∴∠D=180°-∠B=180°-130°=50°，
又∠D为⊙O的圆周角，∠AOC为⊙O的圆心角，且两角所对的弧都为
，
则∠AOC=2∠D=100°．
故答案为：
100°
分析：
由A.B.C.D四个点都在圆O上，得到四边形ABCD为圆O的内接四边形，根据圆内接四边形的对角互补得到∠B与∠D互补，由∠B的度数求出∠D的度数，∠D为圆O的圆周角，所求的角∠AOC是圆O的圆心角，且两角所对的弧为同一条弧，根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由∠D的度数可求出∠AOC的度数．
19.如图，A.B.C.D四点在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=40°，则∠BDC的度数是
答案：
20°
解析：
解答：
∵OC⊥AB，
∴
∴∠CDB=
∠AOC，
而∠AOC=40°，
∴∠CDB=20°．
故答案为20°．
分析：
由OC⊥AB，根据垂径定理得到弧AC=弧BC，再根据圆周角定理得∠CDB=
∠AOC，而∠AOC=40°，即可得到∠BDC的度数．
20.如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=70°，若AC与以AB为直径的⊙O相交于点D，则∠BOD的度数是度.
答案：
100
解析：
解答：
∵在△ABC中，∠B=60°，∠C=70°，
∴∠A=50°，
∵∠BOD=2∠A，
∴∠BOD=100°．
故答案为：
100．
分析：
先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据圆周角定理即可求得∠BOD的度数．
三.解答题
21.请用科学的方法证明圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
答案：
①如图
（1），当点O在∠BAC的一边上时，
∵OA=OC，
∴∠A=∠C，
∵∠BOC=∠A+∠C，
∴∠BAC=
∠BOC；
②如图
（2）当圆心O在∠BAC的内部时，延长BO交⊙O于点D，连接CD，则
∠D=∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），
∵OC=OD，
∴∠D=∠OCD，
∵∠BOC=∠D+∠OCD（三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和），
∴∠BOC=2∠A，
即∠BAC=
∠BOC．
③如图（3），当圆心O在∠BAC的外部时，延长BO交⊙O于点E，连接CE，则
∠E=∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），
∵OC=OE，
∴∠E=∠OCE，
∵∠BOC=∠E+∠OCE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠BOC=2∠A，
即∠BAC=
∠BOC．
解析：
分析：
分别从当点O在∠BAC的一边上时，当圆心O在∠BAC的内部时与当圆心O在∠BAC的外部时，去分析证明，即可证得结论．
22.如图所示，∠BAC是⊙O的圆周角，且∠BAC=45°，BC=2
，试求⊙O的半径大小．
答案：
∵∠BAC=45°，
∴∠B0C=90°，
∵BC=2
，
∴OB=OC=2．
即⊙O的半径为2．
解析：
分析：
根据圆周角定理，可求∠B0C=90°，即可知△BOC为等腰直角三角形，故可求0B=OC=1．
23.已知⊙O中，弦AB的长等于⊙O的半径，求弦所对的圆心角和圆周角的度数．
答案：
画出图形：
连接OA.OB，
∵AB=OA=OB，
∴∠AOB=60°．
分两种情况：
①在优弧上任取一点C，连接CA，CB，
则∠C=
∠AOB=30°，
②在劣弧上任取一点D，连接AD.BD，
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠ADB=180°，
∴∠ADB=180°-∠C=150°．
综上所述，弦AB所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．
解析：
分析：
根据已知条件得出△OAB是等边三角形，则∠AOB=60°，再根据弦AB所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，然后分类讨论，即可得出答案．
24.如图，在⊙O中，弦AB=3cm，圆周角∠ACB=60°，求⊙O的直径．
答案：
2
解析：
解答：
过A点作直径AD，连接BD，如图，
∠ABD=90°，
又∵∠ADB=∠ACB=60°，
∴∠BAD=30°，
而AB=3cm，
∴BD=
，
∴AD=2BD=2
（cm），
即⊙O的直径为2
cm．
故答案为：
2
．
分析：
过A点作直径AD，则∠ABD=90°，∠ADB=∠ACB=60°，在Rt△ABD中，AB=3cm，利用三边的数量关系可求出AD．
25.如图，在半径为6cm的圆中，弦AB长6
cm，试求弦AB所对的圆周角的度数．
答案：
如图，
设弦AB在优弧上所对的圆周角为∠P，劣弧上所对的圆周角为∠P′，
连接OA，OB，过O点作OC⊥AB，垂足为C，
由垂径定理，得AC=
AB=3
，
在Rt△AOC中，OA=6，sin∠AOC=
，
解得∠AOC=60°，
所以，∠AOB=2∠AOC=120°，
根据圆周角定理，得∠P=
∠AOB=60°，
又APBP′为圆内接四边形，
所以，∠P′=180°-∠P=120°，
故弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°
解析：
分析：
设弦AB在优弧上所对的圆周角为∠P，劣弧上所对的圆周角为∠P′，连接OA，OB，过O点作OC⊥AB，垂足为C，由垂径定理可知AC=
AB=3
，解直角三角形得∠AOC的度数，由垂径定理可知，∠AOB=2∠AOC，由圆周角定理得∠P=
∠AOB，利用∠P与∠P′的互余关系求∠P′．
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