6-1-2.还原问题.题库教师版.doc
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还原问题
例题精讲
板块一、单个变量的还原问题
【例1】某数先加上3,再乘以3,然后除以2,最后减去2,结果是10,问:
原数是多少?
【解析】分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推。
这个数没减去2时应该是多少?
没除以2时应该是多少?
没乘以3时应该是多少?
没加上3时应该是多少?
这样依次逆推,就可以推出某数。
如果没减去2,此数是:
如果没除以2,此数是:
如果没乘以3,此数是:
如果没加上3,此数是:
综合算式答:
原数是5.
【巩固】(2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)有一个数,如果用它加上,然后乘以,再减去,最后除以,所得的商还是,那么这个数是。
【解析】将最终结果进行逆推,得:
【巩固】一个数减16加上24,再除以7得36,求这个数.你知道这个数是几吗?
【解析】.
【巩固】少先队员采集树种子,采得的个数是一个有趣的数.把这个数除以5,再减去25,还剩25,你算一算,共采集了多少个树种子?
【解析】(个),即共采集了250个树种子.
【巩固】(第七届《小数报》数学竞赛决赛填空题第6题)
在电脑里先输入一个数,它会按给定的指令进行如下运算:
如果输入的数是偶数,就把它除以2;如果输入的数是奇数,就把它加上3.同样的运算这样进行了3次,得出结果为27.原来输入的数可能是.
【解析】本题用倒推法解.最后结果是27,上一步的结果是54,再上一步的结果是108或51,原来输入的数是216,105,102.思路如下:
【例2】牛老师带着37名同学到野外春游.休息时,小强问:
“牛老师您今年多少岁啦?
”牛老师有趣地回答:
“我的年龄乘以2,减去16后,再除以2,加上8,结果恰好是我们今天参加活动的总人数.”小朋友们,你知道牛老师今年多少岁吗?
【解析】采用倒推法,我们可以从最后的结果“参加活动的总人数”即38倒着往前推.这个数没加上8时应是多少?
没除以2时应是多少?
没减去16时应是多少?
没乘以2时应是多少?
这样依次逆推,就可以求出牛老师今年的岁数.没加上8时应是:
;没除以2时应是:
;没减去16时应是:
;没乘以2时应是:
,即(岁).
【巩固】小智问小康:
“你今年几岁?
”小康回答说:
“用我的年龄数减去8,乘以7,加上6,除以5,正好等于4.请你算一算,我今年几岁?
”
【解析】分析时可以从最后的结果是4逐步倒着推。
这个数没除以5时应该是多少?
没没加上6时应该是多少?
没乘以7时应该是多少?
没减去8时应该是多少?
这样依次逆推,就可以推出某数。
如果没除以5,此数是:
如果没加上6,此数是:
如果没乘以7,此数是:
如果没减去8,此数是:
综合算式:
(岁)
答:
小康今年10岁。
【例3】学学做了这样一道题:
某数加上10,乘以10,减去10,除以10,其结果等于10,求这个数.小朋友,你知道答案吗?
【解析】根据题意,一个数,经过加法、乘法、减法、除法的变化,得到结果10,应用逆推法,由结果10,根据加、减法与乘、除法的互逆运算,倒着往前计算.
,,,综合算式为:
所以这个数为1.
解这种还原问题的关键是从最后结果出发,逐步向前一步一步推理,每一步运算都是原来运算的逆运算,即变加为减,变减为加,变乘为除,变除为乘.列式时还要注意运算顺序,正确使用括号,这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法.
【巩固】学学做了这样一道题:
一个数加上3,减去5,乘以4,除以6得16,求这个数.小朋友,你知道答案吗?
【解析】根据题意,一个数,经过加法、减法、乘法、除法的变化,得到结果16,应用逆推法,由结果10,根据加、减法与乘、除法的互逆运算,倒着往前计算.
综合算式为:
【例4】一次数学竞赛颁奖会上,小刚问老师:
“我得了多少分?
”老师说:
“你的得分减去后,缩小倍,再加上后,扩大倍,恰好是分”.小刚这次竞赛得了多少分?
【解析】从最后一个条件“恰好是分”向前推算.扩大倍是分,没有扩大倍之前应是(分),加上后是分,没有加上前应是(分),缩小倍是分,那么没有缩小倍前应是(分),减去后是分,没有减去前应是(分).
综合列式为:
(分)
所以,小刚这次竞赛得了分.
【例5】在小新爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100,问:
小新爷爷今年多少岁数?
【解析】采用倒推法,(岁).
【巩固】学学和思思在游玩时,遇到一位小神仙,他们问这位神仙:
“你一定不到100岁吧!
”谁知这位神仙摇摇头说:
“你们算算吧!
把我的年龄加上75,再除以5,然后减去15,再乘以10,恰好是2000岁.”小朋友,你知道这位神仙现在有多少岁吗?
【解析】这就是一个还原问题,可以用倒推法解决.从结果“2000”逐步倒着推,没乘10时是多少?
没减去15时是多少?
没除以时是多少?
没加75时是多少?
这样依次倒推,就可以知道神仙的年龄了.
⑴“乘以10,恰好是2000”,不乘10时,应该是:
⑵“减去15”是200,不减15时,应该是:
⑶“除以5”是215,不除以5,应该是:
⑷现在的年龄加上75是1075,如果不加75,这个数是:
也就是神仙现在的年龄是1000岁.
验算:
按原题顺序进行列式计算,看最后是否等于2000,如果等于2000,则解题正确.
,,,.
【例6】哪吒是个小马虎,他在做一道减法题时,把被减数十位上的6错写成9,减数个位上的9错写成6,最后所得的差是577,那么这道题的正确答案应该是多少呢?
【解析】被减数十位上的6变成9,使被减数增加,差也增加了30;减数个位上的9错写成6,使减数减少了,这样又使差增加了3,这道题可以说成:
正确的差加上30后又加上3得577,求正确的差.所以列式得:
.这题的正确答案应该是544.
【巩固】小马虎在做一道加法题时,把一个加数个位上的看作,十位上的看作,结果和是,那么正确的结果应该是多少呢?
【解析】我们可以这样理解这道题的意思:
一个数(正确答案),由于小马虎两次错误的计算,变成了另一个数(错误结果),我们知道引起这种变化的原因是:
①把个位上的看作,这就相当于把正确答案减少了
②把十位上的看作,这就相当于把正确答案增加了:
这样原题就变成了“一个数减去,再加上,所得结果是,求这个数.”我们只要把少加的加上,多加的减去,就可以求出正确的结果
【巩固】淘气在做一道减法时,把减数个位上的9看成了3,把十位上的4看成了7,得到的结果是164,请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢?
【解析】或.
【巩固】小新在做一道加法题,由于粗心,将个位上的5看作9,把十位上的8看作3,结果所得的和是123.正确的答案是多少?
【解析】倒推法,把个位上的5看作9,相当于把正确的和多算了4,求正确的和,应把4减去;把十位上的8看作3,相当于把正确的和少算了50,求正确的和,应把50加上去.所以正确的和是:
.即:
.
【例7】学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦,第一次用去全长的一半还多2米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩9米,那么这根绳子原来有多少米呢?
【解析】根据题意,画图倒推分析:
(米)
(米)
(米)
所以,这根绳子全长60米.
【巩固】一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米。
这捆电线原来有多少米?
【解析】为了帮助同学们分析数量关系,
可依照题意画出右图。
从线段图上可以看出:
余下的一半
第一次用去的
3米
图2
10米
第二次用去的
全长的一半
7米
第三次用去的15米
全长?
米
(1)(米),就是第一次用去后余下的一半。
(2)(米),就是余下的电线长度。
(3)(米),就是全长的一半。
(4)(米),就是原来电线的长度。
综合列式计算:
(米)
答:
这捆电线原来有54米。
【巩固】甲在加工一堆零件,第一天加工了这堆零件的一半又10个,第二天又加工了剩下的一半又10个,还剩下25个没有加工,问:
这批零件有多少个?
【解析】如右图所示,按照图与题目的条件,
剩下的一半
图3
零件的一半
10个
10个
?
25个
可以有如下算式:
(个)
(个)
(个)
(个)
列综合算式:
答:
这批零件共有160个。
【例8】货场原有煤若干吨。
第一次运出原有煤的一半,第二次运进450吨,第三次又运出现有煤的一半又50吨,结果剩余煤的2倍是1200吨。
货场原有煤多少吨?
【解析】这道题由于原有煤的总吨数是未知的,所以要想顺解是很不容易的,我们先看图4,然后再分析。
第二次运进450吨
现有煤的一半
第一次用去原有煤的一半
图4
1倍
第三次运出的
原有煤?
吨
1200吨
2倍
50吨
结合上面的线段图,用倒推法进行分析,题中的数量关系就可以跃然纸上,使学生们一目了然。
根据“剩余煤的2倍是1200吨”,就可以求剩余煤的吨数;根据“第三次运出现有煤的一半又50吨”和剩余煤的吨数,就可以求出现有煤的一半是多少吨,进而可求出现有煤的吨数;用现有煤的吨数减去第二次运进的450吨,就可以求出原有煤的一半是多少,最后再求出原有煤多少吨。
(1)剩余煤的吨数是:
(吨)
(2)现有煤的一半是:
(吨)
(3)现有煤的吨数是:
(吨)
(4)原有煤的一半是:
(吨)
(5)原有煤的吨数是:
(吨)
答:
货场原来有煤1700吨。
【例9】食堂买进一批大米,第一天吃了全部的一半少千克,第二天吃了余下的一半少千克,最后剩下千克.这批大米共有多少千克?
【解析】列式为:
(千克)
【巩固】山顶上有棵桃数,一只猴子偷吃桃子,第一天偷吃了总数的一半多2个,第二天又偷吃了剩下的一半多2个,这时还剩1个,问:
树上原来有多少个桃子?
【解析】(个).
【巩固】修建一条下水道,第一周修了全长的一半多米,第二周修了剩下的一半少米,第三周修了
米,最后还剩米,这条下水道长多少米?
【解析】如下图,从图中可知是第一周修后余下的一半,米是下水道全长的一半.
列式为:
(米)
所以,这条下水道长米.
画图法的关键:
标好有倍数关系的位置。
【例10】小丽用4元买了一本《童话大王》,又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》,买钢笔又用去第二次剩下的钱的一半多1元,最后还剩4元,问:
小丽原有多少钱?
4元
第一次剩下的一半
?
第二次剩下的一半
1元
4元
【解析】用倒推法,第二次剩下的一半是(元),第二次剩下(元),第一次剩下(元),原来有(元)。
列综合算式:
答:
小丽原有24元。
【巩固】有一筐苹果,甲取出一半又1个;乙取出余下的一半又1个;丙取出再余下的一半又1个,这时筐里只剩下1个苹果。
这筐苹果共值6元6角,问每个苹果平均值多少钱?
【解析】
甲取出的
余下的一半
一半
再余下的一半
乙取出的
1个
1个
1个
1个
丙取出的
从上面的线段图可以看出:
最后剩下的1个再加上丙取出的1个就是再余下的一半,即2个是再余下的一半,因此,再余下的就是(个);
4个再加上乙取出的1个就是余下的一半,所以,甲取出后余下的就是(个);
10个再加上甲取出的1个就是全筐的一半,所以,全筐苹果的总数是(个)。
22个苹果共值6元6角,于是可求出每个苹果平均值多少钱?
先求有多少个苹果:
(个)
再求每个苹果平均值多少钱:
(角)
答:
每个苹果平均值3角钱。
【例11】(2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)工程队要修一条小路,第一天修了全长的一半多米,第二天修了余下的一半少米,第三天修了米,此时还剩下米没有修,则这条小路长米。
【分析】如图所示,先根据线段图理清数量关系,可得全长为:
(米)。
【巩固】一个人沿着公园马路走了全长的一半后,又走了剩下路程的一班,还剩下1千米,问:
公园马路全长多少千米?
【解析】如图,
剩下的一半
全长的一半
?
1千米
采取倒推的方法,1千米是第一次剩下的路程的一半,所以第一次剩下路程就是(千米)。
而第一次剩下的路程2千米又是全程长的一半,所以全程长为(千米)。
答:
公园马路全长为4千米。
【例12】思思看到织女在织布,她把一段五彩布第一次剪去一半,第二次又剪去余下的一半,这时还剩下8米,你知道这段五彩布原来长多少米吗?
【解析】根据题意,画出线段图,倒推分析.
(米)
(米)
所以这段五彩布原来长米.
【巩固】一群蚂蚁搬家,原存一堆食物.第一天运出总数的一半少12克.第二天运出剩下的一半少12克,结果窝里还剩下43克.问蚂蚁家原有食物多少克?
【解析】采用倒推法,教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出12克,就是剩下的一半,所以第一天运出后,剩下的一半重量是(克);这样,第一天运出后剩下的重(克).那么同理,一半的重量是(克),原有食物(克).即
(克).
【巩固】一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米,这捆电线原有多少米?
【解析】由逆推法知,第二次用完还剩下(米),第一次用完还剩下(米),原来电线长(米).
解:
(米).
【巩固】修建一条下水道,第一周修了全长的一半多米,第二周修了剩下的一半少米,第三周修了
米,最后还剩米,这条下水道长多少米?
【解析】如下图,从图中可知是第一周修后余下的一半,米是下水道全长的一半.
列式为:
(米)
所以,这条下水道长米.
画图法的关键:
标好有倍数关系的位置。
【例13】桃园里来了第一群猴子,吃去桃子总数的一半又半个;第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个;第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个.这时桃园里还只有100个桃了.那么园中原有多少桃?
【解析】第三群猴没吃,相应有桃
(个)
第二群猴没吃,相应有桃
(个)
第一群猴没吃,相应有桃(即桃园中原有桃)
(个)
【巩固】山顶上有棵桃数,一只猴子偷吃桃子,第一天偷吃了总数的一半多2个,第二天又偷吃了剩下的一半多2个,这时还剩1个,问:
树上原来有多少个桃子?
【解析】(个).
【巩固】某水果店进一批水果,运进的是原来的水果的一半,原有的蔬菜卖出去一半以后,恰好与现在的水果同样多,已知原有的水果800千克,求原有的蔬菜多少千克?
【解析】可逐步算出:
运进水果(千克),现有水果(千克),原有蔬菜(千克)。
【例14】刚打完篮球,冬冬觉得非常渴,就拿起一大瓶矿泉水狂喝.他第一口就喝了整瓶水的一半,第二口又喝了剩下的,第三口则喝了剩下的,第四口再喝剩下的,第五口喝了剩下的.此时瓶子里还剩0.5升矿泉水,那么最开始瓶子里有几升矿泉水?
【解析】最开始瓶子里有矿泉水:
(升).
【巩固】有一堆棋子,把它四等分后剩下一枚,取走三份又一枚;剩下的再四等分又剩一枚,再取走三份又一枚;剩下的再四等分又剩一枚.问:
原来至少有多少枚棋子?
【详解】棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚.由此逆推,得到
第三次分之前有(枚),
第二次分之前有(枚),
第一次分之前有(枚).
所以原来至少有85枚棋子.
【例15】从前,有一位樵夫,整天幻想着遇见神仙,求得一种不花气力就能发财的窍门.一天,有一位老人突然来到樵夫面前,对他说:
“你不是想见到神仙吗?
”樵夫苦苦哀求:
“我在山里砍了三天柴,累的要死要活,才卖的这么几个钱.您老人家神通广大,恳求您指点,使我可以不费力气就能得到钱吧!
”老人指着东边的一座石头桥说:
“好吧!
从现在开始,你只要从那座桥上每走一个来回,口袋里的钱都会增长一倍,但是每次回来都要付给我24个钱作为报酬.”樵夫高兴的在桥上走了一个来回,他数一数口袋里的钱,果然增长了一倍.他拿出24个钱交给神仙,然后又向桥上走去,等到他第三次回来,把24个钱交给神仙后,摸一摸口袋,里面竟然一个钱都没有了.正当他焦急不安的时候,神仙按原数把钱留下飘然而去,并留下一句话:
“年轻人,不劳而获可不行啊!
”故事读完了,小朋友们,你能不能算出,樵夫原来有多少钱呢?
【解析】这个故事里包含的算题是:
樵夫每次在桥上走一个来回,口袋里面的钱会增长1倍,樵夫第三次回来,交付24个钱给神仙后,他的口袋里就一无所有了.问樵夫原来有多少钱?
我们可以倒着想,最后樵夫从桥上回来后,口袋里面只有24个钱,第二次交给神仙后有(个)钱,从桥上回来后有:
(个)钱,也就是第一次交给神仙后还剩:
(个)钱,第一次从桥上回来后有:
(个)钱,所以樵夫一开始有:
(个)钱.
【例16】学学和思思见到一种神奇的虫子,它每小时就长一倍,1天能长到20厘米,聪明的小朋友,你知道小虫长到5厘米时需要多少小时吗?
【解析】小虫每小时长一倍的意思是:
第二个小时的身长是第一个小时的2倍,第三个小时的身长是第二个小时的2倍,第四个小时的身长是第三个小时的2倍,……1天是24个小时,从24小时能长到20厘米开始,往前倒推,当长到(厘米)时,就是第23个小时,以此倒推.
(方法一)用倒推法解:
(厘米),(小时)
(方法二)用列表倒推法解:
出生天数
小虫身长(厘米)
24
20
23
10
22
5
【例17】有一个财迷总想使自己的钱成倍增长,一天他在一座桥上碰见一个老人,老人对他说:
“你只要走过这座桥再回来,你身上的钱就会增加一倍,但作为报酬,你每走一个来回要给我32个铜板.”财迷算了算挺合算,就同意了.他走过桥去又走回来,身上的钱果然增加了一倍,他很高兴地给了老人32个铜板.这样走完第五个来回,身上的最后32个铜板都给了老人,一个铜板也没剩下.问:
财迷身上原有多少个铜板?
【解析】第五次回来时有32个铜板,表明第五次走时有16个铜板(因为走到桥对面钱数要增加一倍),又表明第四次回来时有48个铜板(因为要给老人32个铜板)……依次类推即可.推算过程可列表如下:
所以原来有个铜板.
【巩固】某人发现了一条魔道,下面有一个存钱的小箱子,当他从魔道走过去的时候,箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍,这人很高兴;当他从魔道走回来时,身上的钱会飞到箱子里,使箱子里的钱增加一倍;这人一连走了3个来回后,箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币,那么原来这人身上有多少元?
箱子里有多少元?
【解析】已知这个人和钱箱里最后都有64元,采用倒推法解题,列表如下:
往返次数
第三次
第二次
第一次
从魔道走回来前身上钱数
96
88
86
从魔道走回来前箱中钱数
32
40
42
从魔道走过去前身上钱数
48
44
43
从魔道走过去前箱中钱数
80
84
85
所以最开始这个人身上有43元,箱子里有85元.
板块二、多个变量的还原问题
【例18】三人有不等的存款,只知如果甲给乙40元,乙再给丙30元,丙再给甲20元,给乙70元,这样三人各有240元,三人原来各有存款多少元?
【解析】甲:
(元);乙:
(元);丙:
.
【例19】小巧、小亚、小红共有个玻璃球,小巧给小亚个,小亚给小红个,小红给小巧个,他们的玻璃球个数正好相等.小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球?
【解析】由已知条件可知,小巧比原来多了个,小亚比原来多了个,小红少了个,三人一样多时,都是(个),所以小巧原来有(个),小亚原来有(个),小红原来有(个).
【例20】三棵树上共有36只鸟,有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上,有8只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上,有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上,这时,三棵树上的鸟同样多.原来每棵树上各有几只鸟?
【解析】这道题要采用倒推法,最后三棵树上的鸟同样多,那每棵数上就是(只),第一棵树上的鸟,先是飞了4只到第二棵树上,然后又有10只飞了回来,现在和原来比小鸟增加了6只,这样比较就能求出第一棵树上小鸟的只数;第二棵树上的鸟,先是飞来了4只,然后又有飞走了8只,现在和原来比少了4只,这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数;第三棵树上的鸟,先是飞来了8只,然后又飞走了10只,现在和原来比少了1只,这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数.
列式:
现在一样多的:
(只)
第一棵树上的小鸟只数:
(只)或(只)
第二棵树上的小鸟只数:
(只)或(只)
第三棵树上的小鸟只数:
(只)或(只)
答:
原来第一棵树上有6只小鸟,第二棵树上有16只小鸟,第三棵树上有14只小鸟.
【例21】三棵树上共有27只鸟,从第一棵飞到第二棵2只,从第二棵飞到第三棵3只,从第三棵飞到第一棵4只,这时,三棵树上的鸟同样多.原来每棵树上各有几只鸟?
【解析】三棵树上的鸟同样多的只数:
(只)
第一棵数上鸟的只数:
(只)
第二棵数上鸟的只数:
(只)
第三棵数上鸟的只数:
(只)
答:
第一棵数上有7只鸟,第二棵数上有10只鸟,第三棵数上有10只鸟.
【例22】甲、乙两班各要种若干棵树,如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班,乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班,这时两班恰好都有28棵树,问甲、乙两班原来各有树多少棵?
【解析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树,甲班应有树(棵),乙班有(棵),如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树,乙班原有树(棵),甲班原有树(棵).列表倒推如下:
甲班
乙班
35
21
14
42
28
28
【巩固】一班、二班、三班各有不同数目的图书.如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班,使这两个班的图书各增加一倍;然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班,使这两个班的图书各增加一倍;接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班,使这两个班的图书各增加一倍.这时,三个班的图书数目都是48本.求三个班原来各有图书多少本?
【解析】我们可采用倒推法,再结合列举法进行分析推理.在每一次重新变化后,三个班的图书总数目是一个不变的数,由此,可从最后三个班的图书数目都是48本出发进行倒推,求每一次重新变化以前三个班各自的图书数目,逐步倒推出原有的图书数目.依据题意可知,一班、二班的图书数目各增加一倍才是48本,因此增加前各应有24本,所以一班、二班的图书数目各应减半,还给三班.其余各次,以此类推,把倒推解答的过程用下表表示:
一班
二班
三班
结果
48
48
48
第三次
24
24
96
第二次
12
84
48
第一次
78
42
24
【例23】解放军某部参加抗震救灾,从第一队抽调一半人支援第二队,抽调35人支援第三队,又抽调剩下的一半支援第四队,后来又调进8人,这时第一队还有30人,求第一队原有多少人?
【解析】由条件“后来又调进人”和“这时第一队还有人”,可知不调进人有(人).由“又抽调剩下的一半支援第四队”后还有人,可知如果不抽调人去支援第四队,一队有(人);由“抽调人支援第三队”后还有人,可知之前有(人);由“从第一队抽调一半人支援第二队”后还有人,可知第一队原有(人).
列式为:
(人)
还原问题有一个基本方法:
列表法,教师可以再用列表法重新